专题03 概率的进一步认识（七大题型）（期中专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题03 概率的进一步认识 题型1 几何概率（常考点） 题型2 列举法求概率 题型3 列表法或树状图法求概率（重点） 题型4 游戏的公平性（常考点） 题型5 求某事件的频率（常考点） 题型6 由频率估计概率（常考点） 题型7 用频率估计概率的综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何概率（共5小题） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，三个正方形的边长分别为1、3、5，若在该图形中进行撒豆子试验，则豆子落在阴影区域中的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）以下转盘分别被分成个、个、个、个面积相等的扇形，任意转动这个转盘各一次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃，则自由飞翔的小鸟，随机落在花圃上的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，地面上铺满了正方形的地砖（），现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是 ． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是 ． 题型二 列举法求概率（共5小题） 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西运城·期中）甲、乙、丙三人通过抓阄来决定谁能得到仅有的一张球票，他们准备了三张完全相同的纸条，其中一张上画了“☆”，另两张空白．将三张纸条揉成三个大小相同的纸团后混在一起，按“甲—乙—丙”的顺序每人随机各取一个纸团，谁取到的纸团上画有“☆”，谁就能得到球票．下列说法正确的是（   ） A．甲能得到球票的概率最大 B．乙能得到球票的概率最大 C．丙能得到球票的概率最大 D．三人能得到球票的概率相等 8．（24-25九年级上·河南焦作·期中）小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 9．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ． 10．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2，3，5， 6中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为 ． 题型三 列表法或树状图法求概率（共14小题） 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（  ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·北京海淀·期中）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到红色小球的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）从、、这三个数中任取两个数，其中一个数记为，另一个数记为，则点恰好落在一次函数的图象上的概率为（  ）． A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·福建·期中）如图，三角形①，②，③，④是四个完全相同的三角形，从这四个三角形中任选两个三角形，则这两个三角形只有一个公共顶点的概率是 ． 15．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，先从中抽取一张放回后，再抽取一张，则两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的概率为 ． 16．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是 ． 17．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 18．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）2023年在杭州举行的第19届亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．每位同学任意选其中一个吉祥物，吉祥物的代号和名称如下表所示： 吉祥物代号 A B C 吉祥物名称 琮琮 莲莲 宸宸 (1)甲同学选到“莲莲”的概率是______________； (2)求甲与乙两位同学恰好选择同一种吉祥物的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是红球的概率； (2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）． 20．（24-25九年级上·浙江温州·期中）有一个转盘如图，转盘可以自由转动． (1)让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． (2)让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 21．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是两种瓶装饮料，它们分别是：绿茶和红茶，抽奖规则如下：如图，①是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形区域，每个区域上分别写有“绿”、“红”、“茶”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品． 根据以上规则，回答下列问题： (1)一次“有效随机转动”可获得“茶”字的概率为 ； (2)有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的概率． 22．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________，_________； (2)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 23．（24-25九年级上·北京海淀·期中）为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下： 162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176， (1)15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：_____，______； (2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜概率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是_____；（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 (3)根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 24．（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 题型四 游戏的公平性（共7小题） 25．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 26．（24-25九年级上·山西晋中·期中）小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 27．（23-24九年级上·河北保定·期中）小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，假设每次出这三种手势的可能性相同，若手势相同，则平局，否则按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，此游戏 （填“公平”或“不公平”）；两人一起做同样手势的概率是 ． 28．（22-23九年级上·贵州六盘水·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．    29．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 30．（23-24九年级上·广东梅州·期中）小英、小康和小亮三位同学玩掷硬币游戏，规则如下：连续抛掷硬币三次，若三次都是正面朝上或三次都是反面朝上，则小英获胜；若两次正面朝上，一次反面朝上，则小康获胜；若两次反面朝上，一次正面朝上，则小亮获胜． (1)请用画树状图法表示三次抛掷硬币的所有情况． (2)求小英和小康获胜的概率． (3)这个规则对小英、小康和小亮三位同学是否公平？ 请说明理由． 31．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． (1)小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； (2)这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 题型五 求某事件的频率（共4小题） 32．（22-23九年级上·浙江温州·期中）欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上， 如图所示， 为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 (1)表格中的值为______； (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率； (3)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 34．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a (1)表中a的值等于________； (2)估算口袋中白球的个数； 35．（24-25九年级上·四川成都·期中）一个不透明的袋子中共装有个小球，其中个红球，个白球，个黄球． 这些小球除颜色外都相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球次． (1)随机摸球次，其中摸出黄球次，则这次摸球中，摸出黄球的频率是 ． (2)随机摸球次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 题型六 由频率估计概率（共8小题） 36．（23-24九年级上·广东梅州·期中）盒子中有黄色小球和橙色小球若干个，小明同学进行了如下试验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此反复1500次，摸出橙色小球300次，由此可估计摸出橙色小球的概率为（     ） A． B． C． D． 37．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（   ） A．9 B．10 C．18 D．20 38．（24-25九年级上·山东济南·期中）不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 39．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 40．（23-24九年级上·广东河源·期中）在一个不透明的袋子里装有除颜色外其它均相同的m个小球，其中6个黑球，从袋中随机摸出一个小球，记下颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出1个小球，记下颜色，下表是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的数据： 摸球试验次数 摸出黑球次数 根据表格，的值约为 ． 41．（23-24九年级上·广东梅州·期中）（1）解方程：． （2）我市某工厂对一批灯泡的质量进行了随机调查，见下表： 抽取灯泡的数量a 40 100 200 500 1000 3000 优等品的数量b 36 92 182 455 910 2730 优等品的频率b/a 0.9 0.92 0.91 0.91 填写表格； 根据所抽取的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率是多少？ （结果精确到0.01） 42．（24-25九年级上·陕西西安·期中）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格，机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将最新做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验，通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，请估计x的值． 43．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 题型七 用频率估计概率的综合应用（8小题） 44．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共个，它们除颜色外都相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此估计盒子中红色小球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 45．（23-24九年级上·山东青岛·期中）某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（    ） A．950 B．900 C．850 D．800 46．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为6m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ）      A． B． C． D． 47．（23-24九年级上·福建福州·期中）一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球，除颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在，可估计这个布袋中白球的个数为 ． 48．（23-24九年级上·山东青岛·期中）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票50张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个. 49．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 50．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 51．（23-24九年级上·陕西西安·期中）为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，对本市牡丹移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    (1)牡丹成活的频率稳定在________附近，估计成活概率为________（精确到0.01） (2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？ $专题03 概率的进一步认识 题型1 几何概率（常考点） 题型2 列举法求概率 题型3 列表法或树状图法求概率（重点） 题型4 游戏的公平性（常考点） 题型5 求某事件的频率（常考点） 题型6 由频率估计概率（常考点） 题型7 用频率估计概率的综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何概率（共5小题） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，三个正方形的边长分别为1、3、5，若在该图形中进行撒豆子试验，则豆子落在阴影区域中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的求解方法是解题的关键：有些可能的结果没法一一统计，例如雨点落在地砖上的位置、转盘上指针最后停下的位置等，这时我们可以借助几何图形的面积或线段的长度来计算：此时，事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．在数学上，这些问题的概率又称为几何概率． 按照几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：豆子落在阴影区域中的概率， 故选：． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）以下转盘分别被分成个、个、个、个面积相等的扇形，任意转动这个转盘各一次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了概率．本题是把一个圆平均分成若干份，根据阴影部分的份数占总份数的比求出指针落在阴影区域的概率即可． 【详解】解：A选项：圆形被平均分成了份，白色区域和阴影区域各占份，所以指针落在阴影区域的概率是，故A选项不符合题意； B选项：圆形被平均分成了份，白色区域占份、阴影区域占份，所以指针落在阴影区域的概率是，故B选项不符合题意； C选项：圆形被平均分成了份，白色区域占份、阴影区域占份，所以指针落在阴影区域的概率是，故C选项不符合题意； D选项：圆形被平均分成了份，白色区域占份、阴影区域占份，所以指针落在阴影区域的概率是，故D选项符合题意； 故选：D ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃，则自由飞翔的小鸟，随机落在花圃上的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何概率、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了几何概率，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定．先证明是等腰直角三角形，得到，则，再证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，进而求出，由此求出阴影部分面积，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设正方形的的边长为a， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为． ∴小鸟在花圃上的概率为． 故选：C． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，地面上铺满了正方形的地砖（），现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题主要考查几何概率，先求出正方形和圆碟的面积，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖（）的中心部位，即的范围外，则与地砖间隙相交， ∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为： 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是 ． 【答案】/0.5 【知识点】几何概率、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了几何概率，矩形的性质．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．根据概率公式求出阴影部分占整体的几分之几即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据矩形的对称性可得：四个三角形的面积之和等于长方形面积的一半，故阴影部分占长方形面积的， 故飞镖落在阴影区域的概率是， 故答案为：． 题型二 列举法求概率（共5小题） 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、列举法求概率 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限，然后列举所有的情况，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限， 由题意知，有，，，，，，，，共9种等可能的结果， 其中使一次函数的图象经过第二象限和第三象限，有，，，，共5种等可能的结果， ∴一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为， 故选：D． 7．（24-25九年级上·山西运城·期中）甲、乙、丙三人通过抓阄来决定谁能得到仅有的一张球票，他们准备了三张完全相同的纸条，其中一张上画了“☆”，另两张空白．将三张纸条揉成三个大小相同的纸团后混在一起，按“甲—乙—丙”的顺序每人随机各取一个纸团，谁取到的纸团上画有“☆”，谁就能得到球票．下列说法正确的是（   ） A．甲能得到球票的概率最大 B．乙能得到球票的概率最大 C．丙能得到球票的概率最大 D．三人能得到球票的概率相等 【答案】D 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．画出树状图，利用列举法求出甲、乙、丙各抽到五星（“☆”）的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下：    则甲抽到五星的概率为，乙抽到五星的概率为，丙抽到五星的概率为， 所以甲、乙、丙得到球票的概率一样大， 故选：D． 8．（24-25九年级上·河南焦作·期中）小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了用列举法求概率．列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．根据题意列举随机闭合两个开关的所有情况，以及能使小灯泡发光的情况，从而完成求解． 【详解】解：由题意得，随机闭合两个开关有 、 、 、 、 、 六种情况，其中能使小灯泡发光的有 、 ，即2种， ∴小灯泡发光的概率为； 故答案为：． 10．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2，3，5， 6中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】本题考查运用列举法求概率，直接列出所有的可能结果，得到符合要求的情况，利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意，从中任取两个不同的数，有，共12种情况，其中能与组成“凸数”的有，共2种情况， 所以所求概率为， 故答案为：． 题型三 列表法或树状图法求概率（共14小题） 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，发现共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，然后用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种， 则甲被选中的概率为． 故选：C． 12．（24-25九年级上·北京海淀·期中）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到红色小球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：依题意，画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到红色小球的结果有1种， 两次都取到红色小球的概率为． 故选：D． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）从、、这三个数中任取两个数，其中一个数记为，另一个数记为，则点恰好落在一次函数的图象上的概率为（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 画树状图得到共有种等可能的结果，其中点恰好落在一次函数的图象上的结果有种，根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中点恰好落在一次函数的图象上的结果有种， 点恰好落在一次函数的图象上的概率为， 故选：B． 14．（24-25九年级上·福建·期中）如图，三角形①，②，③，④是四个完全相同的三角形，从这四个三角形中任选两个三角形，则这两个三角形只有一个公共顶点的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个三角形只有一个公共顶点的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两个三角形只有一个公共顶点的结果为：①③，②④，③①，④②，共有4种， 这两个三角形只有一个公共顶点的概率是． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，先从中抽取一张放回后，再抽取一张，则两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的概率为 ． 【答案】/0.25 【知识点】轴对称图形的识别、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将这4张卡片分别记为A，B，C，D， 则正面图案是轴对称图形的卡片有：B，C． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的结果有4种， ∴两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的概率为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法求概率和概论公式等知识点，画出树状图，利用概率公式求解即可，熟练掌握树状图法求概率是解决此题的关键． 【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下，    共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】(1) (2)，详见解析 【知识点】列举法求概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点， （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案； 熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是． 故答案为：． （2）将微信、支付宝、现金三种支付方式分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有，，共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 18．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）2023年在杭州举行的第19届亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．每位同学任意选其中一个吉祥物，吉祥物的代号和名称如下表所示： 吉祥物代号 A B C 吉祥物名称 琮琮 莲莲 宸宸 (1)甲同学选到“莲莲”的概率是______________； (2)求甲与乙两位同学恰好选择同一种吉祥物的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】(1) (2) 【知识点】列举法求概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图； （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”共有中结果， 甲同学选到“莲莲”的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 共有种等可能结果，其中甲与乙两位同学恰好选择同一种吉祥物的结果有种， ， 答：甲与乙两位同学恰好选择同一种吉祥物的概率为． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是红球的概率； (2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）． 【答案】(1) (2) 【知识点】列举法求概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球恰好颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：从袋子中摸出1个球，可能是红球、白球、黑球共种结果，其中是红球的有种，故摸出一个球是红球的概率为； （2）解：画树状图为 共有种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色相同的结果有种， ∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为 ． 20．（24-25九年级上·浙江温州·期中）有一个转盘如图，转盘可以自由转动． (1)让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． (2)让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）将黄色区域平分成两部分，再运用概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，将黄色区域平分成两部分， 这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分， 所以，指针落在红色区域的概率为． （2）解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况， ∴两次指针都落在黄色区域的概率为：； 21．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是两种瓶装饮料，它们分别是：绿茶和红茶，抽奖规则如下：如图，①是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形区域，每个区域上分别写有“绿”、“红”、“茶”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品． 根据以上规则，回答下列问题： (1)一次“有效随机转动”可获得“茶”字的概率为 ； (2)有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握几何概率和列表或树状图求概率的方法是解题的关键． （1）根据转盘被等分成三个扇形区域，直接利用几何概率的概率公式求解； （2）先根据题意列表，然后由列表得到所有等可能的情况数，以及顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的情况数，即可求解． 【详解】（1）解：∵转盘被等分成三个扇形区域，每个区域上分别写有“绿”、“红”、“茶”字样， ∴一次“有效随机转动”可获得“茶”字的概率为：， 故答案为：； （2）解：画表格得： 绿 红 茶 绿 （绿，绿） （红，绿） （茶，绿） 红 （绿，红） （红，红） （茶，红） 茶 （绿，茶） （红，茶） （茶，茶） 共有种等可能的结果， 该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的有种情况， 该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的概率为：． 22．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________，_________； (2)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】(1)8.3  8.5  7 (2)估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 (3) 【知识点】求中位数、求众数、列表法或树状图法求概率、求一组数据的平均数 【分析】（1）从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； （2）计算出抽取的人中得分及以上的人的数量占总人数的比例为，用九年级总人数计算出九年得分及以上的人的数量； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【详解】（1）解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； （2）（名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； （3）将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 23．（24-25九年级上·北京海淀·期中）为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下： 162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176， (1)15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：_____，______； (2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜概率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是_____；（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 (3)根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 【答案】(1)167，166 (2)甲组 (3) 【知识点】求中位数、求众数、求方差、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，方差的确定或计算，用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计量的确定方法或计算公式，以及用列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的确定方法即可得到m，n的值； （2）利用方差公式分别求出甲，乙两组的方差，再比较即可得到两组学生中，获胜机率大的组； （3）先确定丙组5人的身高，再利用列表法或画树状图法即可求出恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 【详解】（1）解：∵将15名学生的身高（单位：）数据由小到大排列第8个数据为中位数， ∴； ∵数据166出现3次，是出现次数最多的数据， ∴， 故答案为：167，166； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵，方差越小，学生获胜机率越大． ∴胜机率大的是甲组， 故答案为：甲组； （3）解：由已知15名学生的身高和甲组，乙组的身高，可得丙组学生的身高为：168，169，169，171，173， 列表如下： 168 169 169 171 173 168 - 169,168 169,168 171,168 173,168 169 168,169 - 169,169 171,169 173,169 169 168,169 169,169 - 171,169 173,169 171 168,171 169,171 169,171 - 173,171 173 168,173 169,173 169,173 171,173 - 一共有20种等可能的结果，其中恰好抽到两名引导员身高相同有2种可能的结果， ∴P（恰好抽到两名引导员身高相同）． 24．（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率． （）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种，利用概率公式可得答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出的两张卡片均是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：乙口袋中有张卡片，其中是物理变化，、是化学变化， 共有种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种， 从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是， 故答案为：； （2）解：甲口袋中是物理变化，是化学变化， 只有同时抽到和才符合要求， 根据题意，列表如下： 由表可知，所有等可能出现的结果共有种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有种， 抽出的两张卡片均是物理变化的概率为． 题型四 游戏的公平性（共7小题） 25．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【答案】D 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 26．（24-25九年级上·山西晋中·期中）小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查画树状图求概率．根据题意画出树状图，再分别求出概率逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中： 小明获胜概率：， 小颖获胜概率：， 小凡获胜概率：即， 这个游戏不公平，故选项C说法正确，符合题意， 故选：C． 27．（23-24九年级上·河北保定·期中）小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，假设每次出这三种手势的可能性相同，若手势相同，则平局，否则按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，此游戏 （填“公平”或“不公平”）；两人一起做同样手势的概率是 ． 【答案】 公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】此题考查游戏的公平性，列表法或树状图法求概率，解题的关键是：列举出所有情况，找到符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 小 明 小 亮 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果， 其中，小明胜的情况有3种，小亮胜的情况有3种， （小明胜）（小亮胜）， ∴此游戏公平， 其中，两人一起做同样手势的有3种， ∴两人一起做同样手势的概率为， 故答案为：公平，． 28．（22-23九年级上·贵州六盘水·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．    【答案】不公平 【知识点】游戏的公平性 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平． 【详解】解：设三张纸片分别用A，B，C表示 画树状图得：   共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况 ， 这个游戏不公平 故答案为：不公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 29．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个 (2)游戏不公平，理由见解析 【知识点】已知概率求数量、游戏的公平性 【分析】本题考查的是根据概率求数量和游戏公平性的判断． （1）根据概率计算出各小球的数量即可； （2）列表求出甲、乙获胜的概率，然后比较解答即可． 【详解】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个， 蓝球个数为个， 答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个； （2）解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 30．（23-24九年级上·广东梅州·期中）小英、小康和小亮三位同学玩掷硬币游戏，规则如下：连续抛掷硬币三次，若三次都是正面朝上或三次都是反面朝上，则小英获胜；若两次正面朝上，一次反面朝上，则小康获胜；若两次反面朝上，一次正面朝上，则小亮获胜． (1)请用画树状图法表示三次抛掷硬币的所有情况． (2)求小英和小康获胜的概率． (3)这个规则对小英、小康和小亮三位同学是否公平？ 请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小英获胜的概率为小康获胜的概率为 (3)不公平，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图即可； （2）根据概率公式计算即可得解； （3）求出小亮获胜的概率，比较即可得解． 【详解】（1）解：画树状图如下 （2）解：由图可知，共有8种等可能情况，其中三个正面或三个反面的有2种情况：两次正面，一次反面的有3种情况；一次正面，两次反面的有3种情况， ∴小英获胜的概率为，小康获胜的概率为； （3）解：这个规则对三位同学是不公平的． 理由：∵P(小英获胜)，（小康获胜)， (小亮获胜) ，且， ∴这个规则对三位同学是不公平的． 31．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． (1)小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； (2)这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是； 故答案为：； （2）解：公平，理由如下： 将冰雪融化、镜花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用表示，列表如下： 小辉小宇 A B C D A B C D 由表可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽取的两张卡片上都是化学变化的有4种，他们抽取的两张卡片上都是物理变化的有4种． （抽取的两张卡片正面图案均为化学变化）， （抽取的两张卡片上都是物理变化）， 故这个规则对他们双方公平是公平的． 题型五 求某事件的频率（共4小题） 32．（22-23九年级上·浙江温州·期中）欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上， 如图所示， 为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求某事件的频率 【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 33．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 (1)表格中的值为______； (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率； (3)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)件 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率、求某事件的频率 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （）根据抽取件数为时，合格的频率趋近于，可得估计衬衣合格的概率为，进而即可求解； （）用乘以不合格品的概率即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴估计衬衣合格的概率为， ∴估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； （3）解：， 答：估计其中不合格品有件． 34．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a (1)表中a的值等于________； (2)估算口袋中白球的个数； 【答案】(1) (2)3 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率、求某事件的频率 【分析】本题考查利用频率估算概率，由表格数据得出摸到黑球的概率是0.25，再根据概率公式列出方程是解题的关键． （1）根据频率的计算公式代数求解即可； （2）观察表中数据，可知通过无数次试验，黑球的频率将稳定在0.25，即摸到黑球的概率为0.25，据此可求出白球的个数． 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，黑球的频率将稳定在0.25， ∴估计摸到黑球的概率为0.25， ∴求的总个数为（个） ∴白球的个数为（个）． 35．（24-25九年级上·四川成都·期中）一个不透明的袋子中共装有个小球，其中个红球，个白球，个黄球． 这些小球除颜色外都相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球次． (1)随机摸球次，其中摸出黄球次，则这次摸球中，摸出黄球的频率是 ． (2)随机摸球次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】(1) (2)两次摸出的小球都是红球的概率为，列表见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、求某事件的频率 【分析】本题考查求频率，画树状图或列表法求概率，概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）列表可知共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有种结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：； （2）列表如下： 红 红 白 白 黄 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） （红，黄） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） （红，黄） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） （白，黄） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） （白，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，白） （黄，白） （黄，黄） 共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有种结果， 两次摸出的小球都是红球的概率为． 题型六 由频率估计概率（共8小题） 36．（23-24九年级上·广东梅州·期中）盒子中有黄色小球和橙色小球若干个，小明同学进行了如下试验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此反复1500次，摸出橙色小球300次，由此可估计摸出橙色小球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查的是根据频率估计概率的原理，先计算橙色小球出现的频率，根据原理可得概率的估计值． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定于其概率附近，小明共进行了1500次摸球试验，其中橙色小球被摸出300次， 因此，橙色小球的频率为：， 由此可估计摸出橙色小球的概率为， 故选：A 37．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（   ） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】B 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率；解题关键是通过频率估计概率，用概率求黑球的个数． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，设布袋中黑球的个数可能有x个，列出方程求解即可． 【详解】解：设布袋中黑球的个数可能有x个， 依题意得： ， 解得， 经检验，符合题意， 故布袋中黑球的个数可能有个． 故选：B． 38．（24-25九年级上·山东济南·期中）不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键．观察统计图得该球得频率稳定在0.20左右，进而计算抽到每种颜色球的概率即可判断． 【详解】解：观察统计图可知，该球得频率稳定在0.20左右， ∴抽到该球的概率为0.20， ∵抽到黄球概率为，抽到白球概率为，抽到红球概率为，抽到黑球概率为， ∴该球最有可能是黄球， 故选：C． 39．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 【答案】 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率，概率公式求概率，解题的关键是要计算出红球所占的比例．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．先根据频率求出摸到红球的概率，再设绿球个数为个，根据红球的概率,即可求解． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到红球， 估计摸到红球的概率为， 设绿球个数为个， ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 估计箱子中有个绿球． 故答案为：． 40．（23-24九年级上·广东河源·期中）在一个不透明的袋子里装有除颜色外其它均相同的m个小球，其中6个黑球，从袋中随机摸出一个小球，记下颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出1个小球，记下颜色，下表是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的数据： 摸球试验次数 摸出黑球次数 根据表格，的值约为 ． 【答案】 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 41．（23-24九年级上·广东梅州·期中）（1）解方程：． （2）我市某工厂对一批灯泡的质量进行了随机调查，见下表： 抽取灯泡的数量a 40 100 200 500 1000 3000 优等品的数量b 36 92 182 455 910 2730 优等品的频率b/a 0.9 0.92 0.91 0.91 填写表格； 根据所抽取的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率是多少？ （结果精确到0.01） 【答案】（1）， （2）0.91；0.91；0.91 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由频率估计概率 【分析】本题考查了解一元二次方程，由频率估计概率，解题的关键是： （1）根据因式分解法求解即可， （2）①用优等品的数量除以抽取灯泡的数量求解即可； ②由表中数据可判断频率在0.91附近，利用频率估计概率即可求解． 【详解】（1）解：移项得， 将左边因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：①；． 故答案为： 0.91；0.91； ②由表可知，所抽取的灯泡优等品的频率在0.91附近， ∴估计这批灯泡优等品的概率是0.91． 42．（24-25九年级上·陕西西安·期中）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格，机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将最新做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验，通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，请估计x的值． 【答案】 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得抽到合格零件的概率为，再根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵多次重复这个试验，通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在， ∴抽到合格零件的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 43．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何概率、由频率估计概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键． （1）根据折线统计图，用频率估计概率即可； （2）用丁区域的圆心角度数除360度即可； （3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ∴； （2）解：； （3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D， 根据题意可列表如下： 甲                    乙 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种， ∴． 题型七 用频率估计概率的综合应用（8小题） 44．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共个，它们除颜色外都相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此估计盒子中红色小球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查利用频率估计概率，总个数乘以摸到红色小球的频率稳定值即可．解题的关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由题意知，估计盒子中红色小球有：（个）． 故选：A． 45．（23-24九年级上·山东青岛·期中）某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（    ） A．950 B．900 C．850 D．800 【答案】B 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了利用频率估计概率．再利用概率求解数量．本题先得到成活的概率估计值约是，再求解成活的树木数量即可． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． ∴种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（棵）， 故选B． 46．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为6m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上两点求解即可． 【详解】解：由表可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定于， 所以小球落在不规则图案上的概率约为， 则估计不规则图案的面积大约是， 故选：B． 47．（23-24九年级上·福建福州·期中）一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球，除颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在，可估计这个布袋中白球的个数为 ． 【答案】4 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】此题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据白球的频率，列出方程，然后求解即可得出答案． 解答此题的关键是根据口袋中白色球所占的比例，计算其个数． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 答：估计这个布袋中白球的个数为4个， 故答案为：4． 48．（23-24九年级上·山东青岛·期中）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票50张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个. 【答案】 【知识点】已知概率求数量、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了利用样本估计总体和频率估计概率，设袋中共有个白球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答． 【详解】解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率（红球）= 依题意， 解得：，经检验是原方程的解； 故答案为：． 49．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 【答案】(1)①0.71，0.701； ②0.7 (2)盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个 【知识点】根据概率公式计算概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， 对于（1）①，利用概率公式求出，的值即可； ②根据表格中的数据即可得出结论； 对于（2），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得， 故答案为：0.71，0.701； ②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在0.7附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 故答案为：0.7； （2）解：由（1）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）． 答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个． 50．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 【答案】(1)0.8 (2)128枪 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从图中获取准确的信息． （1）由图可确定频率，根据频率与概率的关系确定概率即可； （2）根据估计他正中靶心的枪数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，该运动员正中靶心的频率在0.8附近摆动，他正中靶心的概率估计值为0.8， 故答案为：0.8； （2）解：由题意知，， ∴估计他正中靶心的枪数为128枪． 51．（23-24九年级上·陕西西安·期中）为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，对本市牡丹移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    (1)牡丹成活的频率稳定在________附近，估计成活概率为________（精确到0.01） (2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？ 【答案】(1)0.95，0.95 (2)200 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）利用需成活的株数除以成活的概率即可． 【详解】（1）解：由图可知，牡丹成活的频率稳定在0.95附近，估计成活概率为0.95． 故答案为：0.95，0.95； （2）（株）， 答：估计购买200株. $