专题02 整式的乘除（十四大题型）（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 整式的乘除 题型1 幂的乘法运算（常考点） 题型8 整式乘法中的规律性问题（难点） 题型2 单项式乘单项式 题型9 平方差公式（重点） 题型3 单项式乘整式及求值（重点） 题型10 完全平方公式（重点） 题型4 整式乘整式（重点） 题型11 同底幂的除法 题型5 已知整式乘积不含某项求字母的值（难点） 题型12 单项式除以单项式 题型6 化简求值（重点） 题型13 整式除以单项式（重点） 题型7 整式乘整式与图形面积（难点） 题型14 整式四则混合运算（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 幂的乘法运算（共11小题） 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·上海·期中）下列计算结果正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 3．（23-24七年级上·上海普陀·期中）的计算结果是（    ） A．； B．； C．1； D．． 4．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 5．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 8．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：．（结果用幂的形式表示） 10．（22-23七年级上·上海·期中）简便方法计算： (1)； (2) 11．（24-25七年级上·上海·期中）若，用a，b的代数式表示． 题型二 单项式乘单项式（共5小题） 12．（22-23七年级上·上海青浦·期中）在代数式中，与y的值各减少，则该代数式的值减少了（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 15．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 16．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 题型三 单项式乘整式及求值（共4小题） 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 18．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 19．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 20．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 题型四 整式乘整式（共7小题） 21．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式分解因式得，则的值分别（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·上海·期中）由整式与整式相乘的法则可知：即：，我们把这个等式叫做整式乘法的立方和公式．下列对这个立方和公式应用不正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 24．（24-25七年级上·上海·期中）若，则 ． 25．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 26．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 27．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 题型五 已知整式乘积不含某项求字母的值（共4小题） 28．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式中无x的一次项，求 ． 29．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如果关于x的整式和相乘的结果中不包含三次项，那么 ． 30．（24-25七年级上·上海宝山·期中）一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 31．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 题型六 化简求值（共3小题） 32．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 33．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ． 34．（22-23七年级上·上海静安·期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④． 问题解决：已知，且满足等式， (1)求代数式、的值； (2)化简代数式，并求当，时该代数式的值． 题型七 整式乘整式与图形面积（共4小题） 35．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）1.有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张．    36．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 37．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 38．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 题型八 整式乘法中的规律性问题（共5小题） 39．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数． ； ； ； ； 根据上述规律， ． 40．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 41．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： ．（结果用幂的形式表示） 42．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 43．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 题型九 平方差公式（共7小题） 44．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 47．（24-25七年级上·上海虹口·期中）在横线上填入适当的整式： ． 48．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 49．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 50．（24-25七年级上·上海·期中）简便方法计算：． 题型十 完全平方公式（共7小题） 51．（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 52．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 54．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是 ． 55．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 56．（24-25七年级上·上海松江·期中）简便计算：； 57．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 题型十一 同底幂的除法（共6小题） 58．（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 59．（24-25七年级上·上海虹口·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 60．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 61．（24-25七年级上·上海松江·期中）已知，，求的值是 ． 62．（24-25七年级上·上海·期中）计算：（n是正整数）． 63．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 题型十二 单项式除以单项式（共5小题） 64．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 65．（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 66．（24-25七年级上·上海·期中）用科学记数法表示： ． 67．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 68．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式M，满足（n是正整数）， (1)求整式M； (2)当正整数x、z满足时，求M的值． 题型十三 整式除以单项式（共5小题） 69．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 70．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 71．（24-25七年级上·上海·期中）某班教室墙上的“学习园地”是一块长方形区域，它的面积是，已知该长方形的宽为，它的长为 ． 72．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 73．（24-25七年级上·上海松江·期中）先化简后求值：，其中（是正整数）． 题型十四 整式四则混合运算（共5小题） 74．（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 75．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，那么 ． 76．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 77．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 78．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． $专题02 整式的乘除 题型1 幂的乘法运算（常考点） 题型8 整式乘法中的规律性问题（难点） 题型2 单项式乘单项式 题型9 平方差公式（重点） 题型3 单项式乘整式及求值（重点） 题型10 完全平方公式（重点） 题型4 整式乘整式（重点） 题型11 同底幂的除法 题型5 已知整式乘积不含某项求字母的值（难点） 题型12 单项式除以单项式 题型6 化简求值（重点） 题型13 整式除以单项式（重点） 题型7 整式乘整式与图形面积（难点） 题型14 整式四则混合运算（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 幂的乘法运算（共11小题） 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则． 根据，，列出等式即可解答． 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 2．（22-23七年级上·上海·期中）下列计算结果正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则分别判断． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用运算法则． 3．（23-24七年级上·上海普陀·期中）的计算结果是（    ） A．； B．； C．1； D．． 【答案】D 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】先把原式化为，再利用积的乘方运算的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解： ； 故选D 【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 5．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，再利用积的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查整式的加减运算，先根据符号的化简法则将原式化简，然后进行同底数幂的乘法运算，最后进行合并．掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了整式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．先计算幂的乘方、积的乘方，以及去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 9．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，积的乘方计算，先计算积的乘方和幂的乘方，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 10．（22-23七年级上·上海·期中）简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1)2023 (2)1.5 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）先变形，再利用乘法分配律合并计算； （2）先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方二次变形，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查了乘法分配律，积的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式． 11．（24-25七年级上·上海·期中）若，用a，b的代数式表示． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了幂的运算法则，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键； 将转化为以2为底的幂的形式，然后代入求值即可 【详解】解： ， ，， ． 题型二 单项式乘单项式（共5小题） 12．（22-23七年级上·上海青浦·期中）在代数式中，与y的值各减少，则该代数式的值减少了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】x与y的值各减少，则原式可变为 从而可作出判断． 【详解】x与y的值各减少，则： 原式     故选：D． 【点睛】本题主要考查的是代数式求值，列出x与y的值各减少后的代数式是解题的关键． 13．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、幂的乘方运算 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选D． 14．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知单项式乘以单项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解： 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】根据单项式乘单项式法则以及积的乘方法则分别计算式子中的两部分，再将结果相减．本题主要考查了整式的混合运算，涉及单项式乘单项式、积的乘方运算．熟练掌握单项式乘单项式法则（系数相乘，同底数幂相乘）以及积的乘方法则（先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）是解题的关键． 【详解】解： ． 题型三 单项式乘整式及求值（共4小题） 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 19．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘多项式，即可作答． 【详解】解： ． 20．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解： 题型四 整式乘整式（共7小题） 21．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式分解因式得，则的值分别（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 22．（24-25七年级上·上海·期中）由整式与整式相乘的法则可知：即：，我们把这个等式叫做整式乘法的立方和公式．下列对这个立方和公式应用不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，因此本选项符合题意； B、，因此本选项不符合题意； C、，因此本选项不符合题意； D、，因此本选项不符合题意； 故选：A． 23．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·上海·期中）若，则 ． 【答案】16 【详解】解：∵， 又， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：16． 25．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 26．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 27．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型五 已知整式乘积不含某项求字母的值（共4小题） 28．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式中无x的一次项，求 ． 【答案】3 【详解】解： ， ∵整式中无x的一次项， ∴， 解得：． 故答案为：3． 29．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如果关于x的整式和相乘的结果中不包含三次项，那么 ． 【答案】2 【详解】解： ， ∵关于的整式和相乘的结果中不含的三次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·上海宝山·期中）一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 【答案】 【详解】解： ∵不出现一次项，且三次项系数为1， ∴， 解得： 31．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 题型六 化简求值（共3小题） 32．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 33．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 34．（22-23七年级上·上海静安·期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④． 问题解决：已知，且满足等式， (1)求代数式、的值； (2)化简代数式，并求当，时该代数式的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）逆用积的乘方法则即可求得的值，逆用幂的乘方法则可求得的值； （2）利用多项式乘多项式的法则化简，并把值代入即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：， 由得：，即， 所以，故得，解得； 所以，； （2）解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了幂的运算法则的逆用，多项式的化简求值，熟练运用幂的运算法则，能正确进行多项式的乘法运算是关键． 题型七 整式乘整式与图形面积（共4小题） 35．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）1.有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张．    【答案】 2 3 7 【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量． 【详解】解：长为，宽为的矩形面积为： ， ∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张． 故答案为：2；3；7． 36．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算以及列代数式，先用、的代数式表示长、宽，再根据阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图， 由图形得：，， ． 故答案为：． 37．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键． （1）直接根据正方形的面积公式求得正方形的面积，然后再根据大正方形的面积各个小正方形的面积之和各个长方形的面积之和，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2），， ，， ， ． 38．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用割补法即可求解； （）延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； 本题整式运算的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（）， ， 故答案为：； （2）解：延长与交于，如图（）， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长与交于，延长与交于，如图（）所示， ∵， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：延长与交于，延长与交于，如图（）， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 题型八 整式乘法中的规律性问题（共5小题） 39．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数． ； ； ； ； 根据上述规律， ． 【答案】 【分析】本题考查的是有关探究规律的题目．根据“杨辉三角”的特点可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和；依据规律可得的各项系数依次为、、、、，据此即可完成本题． 【详解】解：根据题意可知图中第五行的数字依次为，，，，， 由此可得的各项展开式的系数除首尾两项外都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和， 依规律可得的各项系数依次为：、、、、， 因为它的每一行的数字正好对应了为非负整数)的展开式中按次数从大到小排列的项的系数， 所以． 故答案为：． 40．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …… 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：． 41．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式及其拓展，正确理解题意、找出规律是解题的关键．根据题目给出的规律可得出的展开式，然后令式中即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：； 令上式中，得： ． 故答案为：． 42．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【答案】(1)验证过程见解析部分 (2) (3) 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 43．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五，六，32 (2)，64 (3)，见解析 (4)1 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式取正整数）的展开式的各项系数之和； （4）把，代入即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五，六，32； （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：，64； （3）解：的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和 ， 取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：把，代入得： ， ∴， ∴． 题型九 平方差公式（共7小题） 44．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式为两数和与两数差的乘积，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式进行计算，符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选B． 45．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用两种方法表示出图形的面积即可． 【详解】解：第一个图形的面积是， 第二个图形的大平行四边形的面积为， ． 故选：C． 46．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 47．（24-25七年级上·上海虹口·期中）在横线上填入适当的整式： ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式填空即可． 【详解】解：，， 根据， 可知：， 故答案为：． 48．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 故答案为：． 49．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据多项式乘以多项式运算法则及平方差公式去掉括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 50．（24-25七年级上·上海·期中）简便方法计算：． 【答案】4 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式进行简便运算，熟练掌握知识点是解题的关键．将变形为，利用平方差公式即可求解． 【详解】解： ． 题型十 完全平方公式（共7小题） 51．（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算判断即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； D、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 52．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、乘法公式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、乘法公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，，所以，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 53．（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 所以， 故答案为：． 54．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求整式的值，完全平方公式的应用，非负数的和为零；将两个式子相减得，化为，即可求解；理解非负数的和为零的特征，能将式子化为完全平方和的形式是解题的关键． 【详解】解：①， ② ②①得： ， ， ， ，，，， ，，，， ； 故答案为：． 55．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．此题难度适中，注意首先把原式变形为：是解答此题的关键． 所求的式子可化成，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解： ． 56．（24-25七年级上·上海松江·期中）简便计算：； 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，把前三项用完全平方公式计算，后两项先变形为，再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 57．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了整式乘法公式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式运算法则． 首先根据完全平方公式和平方差公式求解，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型十一 同底幂的除法（共6小题） 58．（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法．利用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法法则求解即可求得答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 59．（24-25七年级上·上海虹口·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】按照单项式与单项式的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，故不正确；     B．，正确； C．与不是同类项，不能合并，故不正确；     D．，故不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式与单项式的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 60．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】8 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，掌握计算公式是解题的关键． 先根据幂的乘方运算将化为，再根据同底数幂的乘除法化简计算，最后代入求值． 【详解】解：， 故答案为：8． 61．（24-25七年级上·上海松江·期中）已知，，求的值是 ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方计算，先计算出的值，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 62．（24-25七年级上·上海·期中）计算：（n是正整数）． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的是同底数幂的除法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则； 把看作一个整体，根据同底数幂的除法法则即可得到结果． 【详解】解： 63．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的混合运算、同底数幂相乘 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 题型十二 单项式除以单项式（共5小题） 64．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的除法．依据整式的除法法则得到，，即可求出m，n． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解方程组得，． 故选：B． 65．（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 66．（24-25七年级上·上海·期中）用科学记数法表示： ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查整式的除法、科学记数法、幂的乘方与积的乘方等，根据整式除法的运算法则和科学记数法进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 67．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算、计算单项式乘单项式、幂的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再单项式乘以单项式，然后计算单项式除以单项式即可得． 【详解】解：原式 ． 68．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式M，满足（n是正整数）， (1)求整式M； (2)当正整数x、z满足时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式除以单项式，幂的乘方的逆运算： （1）先计算等式左边的积的乘方计算，再计算等式右边的单项式除以单项式，再把等式两边同时除以左边的单项式即可得到答案； （2）先根据幂的乘方的逆运算法则把所给式子变形为，进而求出x、z的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴， ∴， ∴． 题型十三 整式除以单项式（共5小题） 69．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选C． 70．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 71．（24-25七年级上·上海·期中）某班教室墙上的“学习园地”是一块长方形区域，它的面积是，已知该长方形的宽为，它的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的除法，利用长方形的面积公式和多项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， ∴该长方形的长为， 故答案为：． 72．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ； 73．（24-25七年级上·上海松江·期中）先化简后求值：，其中（是正整数）． 【答案】， 【详解】 ∵ ∴原式． 题型十四 整式四则混合运算（共5小题） 74．（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、同底数幂相乘 【分析】根据同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．互为同类项的再合并，即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及合并同类项，熟记相关法则是解题的关键． 75．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了整式的混合运算和完全平方公式．先利用已知条件计算得到，再利用完全平方公式得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 76．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、整式的四则混合运算，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 根据完全平方公式、整式的四则混合运算法则即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ． 77．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，先算出积的乘方，再运算单项式除以单项式，以及多项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 78．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据积的乘方、幂的乘方将原式化简，然后进行单项式的乘除运算，最后合并同类项即可．解题的关键是掌握：单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式；单项式除以单项式运算法则：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【详解】解： ． $