专题03 二次根式重难点题型汇编（十大高频题型四大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题03 二次根式重难点题型汇编 【题型01：二次根式的概念】.................................................................................................1 【题型02：二次根式有意义的条件】.....................................................................................2 【题型03：判断二次根式的性质化简】....................................................................................2 【题型04：同类二次根式的概念】.........................................................................................2 【题型05：二次根式的混合运算】.........................................................................................3 【题型06：二次根式的化简求值】........................................................................................4 【题型07：二次根式的应用】...............................................................................................5 【题型08：二次根式中新定义问题】....................................................................................7 【题型09：利用分母有理化化简求值】...............................................................................8 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】.................................11 【题型01：二次根式的概念】 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【题型02：二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若在实数范围内有意义，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．要使二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型03：判断二次根式的性质化简】 1．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ． 4．已知，化简： ． 5．若，则的取值范围是 ． 6．实数a在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【题型04：同类二次根式的概念】 1．下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 3．下列根式和是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 5．若最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 6．若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【题型05：二次根式的混合运算】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4．计算： (1)； (2)． 【题型06：二次根式的化简求值】 1．先化简，再求值：，其中． 2．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 3．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 4．先化简，再求值：．其中，． 5．先化简，再求值：，其中． 6．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值． 7．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【题型07：二次根式的应用】 1．海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积为：． (1)用公式计算如图三角形的面积； (2)你是否有其它方法求出这个三角形的面积？试试看． 2．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） (2)求矩形木板的面积； (3)木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 3．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 4．如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 5．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 6．如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【题型08：二次根式中新定义问题】 1．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 2．用“”定义新运算，对于任意实数，都有，例如：，那么 ． 3．定义运算“”的运算法则为，则 ． 4．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 5．已知，，的平方根是 ． 6．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 7．规定新运算符号“☆”☆．例如☆． (1)求☆的值； (2)若，求的值． 【题型09：利用分母有理化化简求值】 1．【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 2．阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______． (2)化简： (3)若，求的值． 3．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 4．观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： (1)化简： ． (2)化简： ；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读】 1．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 2．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 3．【阅读感悟】李林同学在计算时，采用了如下方法． ∵ ， ∵， ∴． 【迁移应用】计算下列两个式子： (1)； (2) 4．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 1．若成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 3．已知、都是实数，且，则 ． 4．已知，化简的结果为 ． 5.观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： (1)化简： ． (2)化简： ；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 6．阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式重难点题型汇编 【题型01：二次根式的概念】.................................................................................................1 【题型02：二次根式有意义的条件】.....................................................................................3 【题型03：判断二次根式的性质化简】....................................................................................4 【题型04：同类二次根式的概念】.........................................................................................7 【题型05：二次根式的混合运算】.........................................................................................9 【题型06：二次根式的化简求值】........................................................................................13 【题型07：二次根式的应用】...............................................................................................16 【题型08：二次根式中新定义问题】....................................................................................21 【题型09：利用分母有理化化简求值】...............................................................................24 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】.................................30 【题型01：二次根式的概念】 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解决本题的关键． 根据二次根式的概念，即形如的式子叫做二次根式，由此概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，中，是二次根式； B选项，中时，式子无意义，不一定是二次根式； C选项，中的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； D选项，中，式子无意义，不是二次根式． 故选：A ． 3．有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 4．下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 【题型02：二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式的概念，被开方数不小于0，进而得出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得：． 故选：C． 2．若在实数范围内有意义，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求解即可． 【详解】解： 在实数范围内有意义， ， 解得， 故选：C． 3．要使二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用当二次根式有意义时，被开方数为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 4．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义，即被开方数为非负数，当二次根式没有意义，则被开方数为负数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内没有意义， ∴ ∴， 故选：C 【题型03：判断二次根式的性质化简】 1．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 2．已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简．观察数轴可知：，，，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算化简即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ， ， 故答案为：． 4．已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用去绝对值法则及利用二次根式的性质化简是解决本题的关键． 先将原式化为，再根据化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】解：， ∵， 所以 ∴原式， 故答案为：． 5．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质可得，从而得到的取值范围，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．实数a在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数与数轴，化简二次根式． 先求出a的范围，再化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴ ， 故答案为：． 【题型04：同类二次根式的概念】 1．下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并）是解题的关键．先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再判断被开方数是否为，若为则能与合并，否则不能． 【详解】解：已是最简二次根式，被开方数是，能与合并，故A项不符合题意． 已是最简二次根式，被开方数是，能与合并，故B项不符合题意． ，被开方数是，不能与合并，故C项符合题意． ，被开方数是，能与合并，故D项不符合题意． 故选：C． 2．最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，解决此题的关键是掌握同类二次根式的定义即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 根据最简二次根式，以及同类二次根式的定义，列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故选A． 3．下列根式和是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．先根据二次根式的性质化简个选项根式，再根据含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式判断即可． 【详解】解：A、，和不是同类二次根式，不符合题意； B、，和不是同类二次根式，不符合题意； C、，和是同类二次根式，符合题意； D、，和不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 4．若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：， 若最简二次根式与可以合并， 则最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得， 故选：D． 5．若最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．掌握同类二次根式的概念是解本题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，求出． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ， ． 故答案为2． 6．若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 【题型05：二次根式的混合运算】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）利用完全平方公式展开，化简二次根式，最后进行加减即可； （2）利用二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数混合运算法则，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可； （3）根据算术平方根定义，立方根定义和绝对值意义，进行计算即可； （4）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型06：二次根式的化简求值】 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，然后去括号合并化简，再把a的值代入计算． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适用． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 2．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握平方差公式分解因式，分式加法，完全平方公式变形计算，二次根式的化简求值，是解题的关键． （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）根据，结合，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴．， ∴， ∴． 3．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）然后利用完全平方公式进行变形为，进而代值求解即可； （2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：当，时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ． 4．先化简，再求值：．其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，准确利用平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值即可； 【详解】解：原式， ， 当，时 原式． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查整式的混合运算，二次根式的运算，正确计算整式的运算是解题关键，先计算整式的混合运算，再代入后运用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 6．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值． 【答案】（1），（2）15 【分析】本题主要考查整式的变形和二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式及二次根式的性质是解题的关键． （1）同类项，再把字母的值代入，进行根式的混合运即可； （2）分别求出的值，再利用完全平方公式把原式表示为关于的代数式，最后整体代入即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当时， 原式 ． （2）解：，， ，， ． 7．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出的值是解题的关键． （1）先把x、y分母有理化得到，，则可求出的值，再由计算求解即可； （2）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 【题型07：二次根式的应用】 1．海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积为：． (1)用公式计算如图三角形的面积； (2)你是否有其它方法求出这个三角形的面积？试试看． 【答案】(1) (2)有其他方法，解法见解析 【分析】本题主要考查二次根式的应用，勾股定理，弄清海伦公式的计算方法以及勾股定理是解答此题的关键． （1）依据题意，先求出p的值，再代入公式即可； （2）依据题意，过点A作于D，设，则，根据，得出，进而求得，然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）有其他方法，解答如下． 如图所示，过点A作于D， 设，则， 又∵在中，， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 2．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） (2)求矩形木板的面积； (3)木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）正方形的边长等于面积的算术平方根； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可； （3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ， 即矩形木板的面积为； （3）解： ，， 最多能截出的木条数量为：， 故答案为：4． 3．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）代入和到，即可求解； （2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为； （2）解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 4．如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用， （1）首先求出，，得到，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积是，正方形的面积是 ∴， ∴ ∴长方形的周长； （2）∵ ∴ ∴长方形的面积． 5．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 6．如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)1120元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）用长方形空地的面积减去长方形水池的面积可得种植草莓的面积，进而可求出销售收入． 【详解】（1）解：， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， （元）， 答：销售收入为1120元． 【题型08：二次根式中新定义问题】 1．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 2．用“”定义新运算，对于任意实数，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算， 二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据定义，代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．定义运算“”的运算法则为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加法运算．根据新定义运算，利用二次根式的运算，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二次根式的加减运算，先根据新定义列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 5．已知，，的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故答案为：． 6．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 7．规定新运算符号“☆”☆．例如☆． (1)求☆的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值以及新定义，根据已知定义正确将原式变形是解题关键． （1）根据新运算法则代数求解即可； （2）根据新运算法则代入列方程求解即可． 【详解】（1）☆ ． （2）由题意，得， 解得． 【题型09：利用分母有理化化简求值】 1．【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）直接分母有理化即可； （2）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （3）先将两边进行分母有理化后观察对比即可得出结果； （4）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），， ∵， ∴， ∴； 故答案为：＞； （3）∵ ， ∴， ，是有理数， ，且， ； 故答案为：1； （4）∵ ， ∴ ． 2．阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______． (2)化简： (3)若，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根有理化因式的概念和题中的方法进行解答即可； （2）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （3）先分母有理化得到，进一步得到，再整体代入计算即可 【详解】（1）解：∵ ∴的一个有理化因式是， 故答案为：（答案不唯一） （2）解： （3）解：∵ ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 3．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化为最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． （1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，根据完全平方公式将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解： ， ， ∴ ． 4．观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： (1)化简： ． (2)化简： ；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】本题为二次根式规律题，考查了二次根式化简与二次根式的混合计算、分母有理化运算等知识． （1）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （2）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （3）利用（1）、（2）的结论，将各式进行化简，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解： 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读】 1．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，算术平方根的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得隐含条件，得到，然后根据二次根式化简知识，即可求解； （2）先根据题意得到，再根据，求得或，然后即可求解； 【详解】（1）解：隐含条件，解得，所以， ∴原式． （2）解：∵，若，则，显然不成立，故． ∴，解得． ∵， ∴或． 当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 综上所述，的值为或． 2．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【答案】(1)6；3； (2)；； (3)10； 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【详解】（1）由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 3．【阅读感悟】李林同学在计算时，采用了如下方法． ∵ ， ∵， ∴． 【迁移应用】计算下列两个式子： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，理解题意并进行正确地计算是解题的关键． （1）将原式利用完全平方公式计算，再根据题意求得其算术平方根即可； （2）将原式立方并计算，再根据题意求得其立方根即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 4．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 1．若成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质得，解不等式组即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得， 故选：A． 2．若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：成立， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 3．已知、都是实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式及绝对值的化简，整式的加减运算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据题意得出，然后化简二次根式及绝对值求解即可． 【详解】解： 原式， 故答案为：7． 2 5.观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： (1)化简： ． (2)化简： ；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】本题为二次根式规律题，考查了二次根式化简与二次根式的混合计算、分母有理化运算等知识． （1）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （2）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （3）利用（1）、（2）的结论，将各式进行化简，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解： 6．阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $