2.1-2.2 直线倾斜角与斜率、直线方程 课后练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课后训—直线斜率与方程- 日期：2025. 时长：45-60分钟/次 【题组一 求直线的斜率、倾斜角】 1．如图，直线l的斜率为    【答案】－ 【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果. 【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°．所以，斜率为－ 2．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的方向向量的定义，即可得到结果. 【详解】因为直线的斜率为， 对比选项检验可知：该直线的一个方向向量是. 故选：B 3．已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________． 【答案】/ 【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可. 【详解】因为过两点的直线的斜率为：， 因为，是直线的倾斜角，且 所以直线的倾斜角为：． 故答案为：. 【题组二 倾斜角、斜率的范围】 4．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，， 作出()的图象，如图所示： 由此可得. 故选：A. 5．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故选：C 【题组三 直线与线段相交问题】 6．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】计算，，画出图像，根据图像得到答案. 【解答过程】，，画出图像，如图所示：    根据图像知：. 故选：D. 7．已知两点，过点的直线与线段有公共点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案； （2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）因为，， 所以 因为直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以直线的斜率的取值范围是．    （2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是， 所以的取值范围是． 8．点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在函数的图象上， 所以时， ；当时，； 故设 而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率， 故时，, 而 ,所以 故选：B. 【题组四 求直线方程】 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．不能表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过两点，的直线方程为 【答案】AD 【详解】＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确； 在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误； 直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线 当时，直线方程为，变形为， 当时，直线方程为，也适合方程， 所以D正确． 故选：AD． 10.（1）已知，，则过的中点且倾斜角为的直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果. 【详解】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： （2）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 又直线经过点，所以直线的方程为，即. 故选：D （3）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________. 【答案】或 【分析】对两坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，再利用待定系数法即可求得直线方程. 【详解】若直线在两坐标轴上的截距为0，则直线过坐标原点， 所以直线方程可以写为，即； 当截距不为零时，不妨设直线方程为， 代入点可得，即； 综上可知，直线方程为或. 故答案为：或 11.已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，得到边上的高所在直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，得到角平分线的倾斜角为，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】（1）解：因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点， 所以边上的高所在直线的方程为． （2）解：由，可得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率，且过点， 所以角平分线所在直线l的方程为．      【题组五 一般式下的平行与垂直】 12．判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行 (2)重合 (3)垂直 (4)垂直 【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【详解】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 13．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【解题思路】（1） ， ，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2） ， ，若，则，由此求参数即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 14.已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点. （1）求经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程； （2）求经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题可求直线BC的斜率，再写出直线的点斜式方程； （2）先求出所求直线的斜率为，再写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由题得直线BC的斜率为，所以经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程为：； （2）由题得直线BC的斜率为，所以所求直线的斜率为. 所以直线的方程为，即， 所以经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程. 【题组六 直线过定点】 15．不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原方程可化为，由直线恒过定点可知， ，解得，所以直线恒过定点 故选：B 16．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 【题组七 直线与坐标轴围成三角形】 17．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线l过定点A(－3,4)，求直线l的方程 ． 【解析】由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴、y轴上的截距分别是－－3，3k＋4， 则×|3k＋4|×＝3， 显然k>0时不成立． 解得k1＝－，k2＝－. 所以直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. 18．已知直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为______________ 【答案】 【分析】先由题意及直线的几何意义可推得，再分别令与求得在两坐标轴的截距，由此利用三角形面积与基本关系式即可求得面积的最小值. 【详解】因为直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点， 所以由化为，得，即，故， 令，则；令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即面积的最小值为. 故答案为：. . 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $课后训一直线斜率与方程 日期：2025. 时长：45-60分钟/次 【题组一求直线的斜率、倾斜角】 1.如图，直线1的斜率为 105° 45 0 2.直线3x-2y-3=0的一个方向向量是() A.（2,-3 B.（2,3 c.（-3,2 D.（3,2 3.已知直线1经过点A(3,√3)、B(√3,1).直线1的倾斜角是 【题组二倾斜角、斜率的范围】 4.设直线I的斜率为k,且-V3≤k<1,则直线I的倾斜角的取值范围为 5.若过点A(3,4),Q(6,3a的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为() A.acg B.as4 C.a 第1页 【题组三直线与线段相交问题】 6.经过点P(一2,0)作直线1，若直线1与连接A(3,1),B(一1，一2)两点的线段总有公共点，则直 线1的斜率k的取值范围为() A.(-∞-2]U[3+0)B.（--]U[2,+∞)C.[-言2] D.[-2] 7.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线1与线段AB有公共点. (1)求直线1的斜率k的取值范围： (2)求直线1的倾斜角α的取值范围. 8.点M(K,)在函数y=2x+4的图象上，当x∈[2,5]时， 2+y的取值范围是(） x+1 e. . 第2页 【题组四求直线方程】 9.（多选)下列说法正确的是() 4.s -当=k不能表示过点M(x,y)且斜率为k的直线方程 x一X B.在x轴。)铺上的截距分别为a,6的直线为程为后+片=1 C.直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D.过两点A(x1,y),B(x2,y2)的直线方程为(x-x)y-)-y-)x-)=0 10.(1)己知A3,4),B(-1,0),则过AB的中点且倾斜角为120°的直线的点斜式方程是_ (2)已知直线1的一个方向向量为(2，-1)，且经过点A1,0,则直线1的方程为 (3)过点(4，-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为」 第3页 11.已知△ABC中，点A(-1,0),点B(2,0),点C0,V3. (1)求边BC上的高所在直线的方程； (2)求∠BAC角平分线所在直线的方程。 【题组五一般式下的平行与垂直】 12.判断下列各组中的直线4与马是否平行或垂直： (1)l:3x-4y-2=0,2:6x-8y+1=0; (2)1:3x+2y-1=0,l2:6x+4y-2=0; (3)1的斜率为-10，Z经过点A(10,2),B(20,3): (4)1经过点A(3,4),B(3,100),Z经过点M-10,40),N(10,40). 13.已知直线l1:(2a+1x-(a+2y+3=0,直线l2:(a-1)x+2y+2=0. (1)若/12，求实数a的值； (2)若1⊥12，求实数a的值. 第4页 14.已知A(4,6),B(-3,-1)，C(4,-5)三点. (1)求经过点A且与直线BC平行的直线1的点斜式方程； (2)求经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程. 【题组六直线过定点】 15.不论k为何实数，直线2k-)x-(k+3)y-(k-11)=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是() A.（5,2 B.（2,3) C.(5,9) 16.直线1x+(m+1)y-2m-2=0与直线l2:(m+1x-y-2m-2=0相交于点P,对任意实数m, 直线ll2分别恒过定点AB,则PA+PB的最大值为() A.2 B.2V2 c.42 D.4 第5页 【题组七直线与坐标轴围成三角形】 17.已知直线1与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线1过定点A(一3,4)，求直线1的方 程 18.己知直线1：mx-y-4m+1=0与两坐标轴正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，则△A0B面 积的最小值为 第6页