22.3实际问题与二次函数 同步训练题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数 同步训练题 一．选择题 1．一个小球以15m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系式h＝15t﹣5t2，当小球的高度为10m时，t为（　　） A．1s B．2s C．1s或2s D．以上都不对 2．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m，那么水位下降1m时，水面的宽度为（　　）m． A． B．2 C．4 D．24 3．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　） A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 4．如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．18° B．28° C．37° D．58° 5．若二次函数y＝ax2+4x+a的最小值是3，则a的值是（　　） A．4 B．﹣1或3 C．3 D．4或﹣1 6．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x） C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x） 7．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为“海伦一秦九韶公式”．当p＝5，c＝4，且三角形面积的最大值时，则此时边长a的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 8．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 9．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（　　） A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266 10．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个顶点分别在菱形的四边上，AP＝AQ＝CM＝CN，则矩形PMNQ的最大面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二．填空题 11．二次函数y＝（x+5）2﹣8的最小值为 　 　 ． 12．一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y（x﹣10）（x+2），则该学生推铅球的水平距离为 　 　 m． 13．某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+12t+1．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面 　 　 m处打开． 14．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围为 　 　 ． 15．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 　 　 ，宾馆利润最大利润是 　 　 元． 16．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件．当x为 　 　 时，每天的销售利润最大，最大利润是 　 　 ． 17．如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．设框架的宽AB为x厘米． （1）框架的长AD为 　 　 厘米（用含x的代数式表示）； （2）矩形框架ABCD面积的最大值为 　 　 平方厘米． 三．解答题 18．某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下： 商品种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 20 45 乙种商品 40 销售总价y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： （1）求乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式； （2）该商店购进甲、乙两种商品共200千克，并全部销售完．当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润． 19．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A（3，）处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2+bx的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 20．根据以下素材，探索完成任务． 设计小区大门灯笼的悬挂方案 素材1 图1是某小区的正门，图2是正门的示意图，小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为10m，高为12m，抛物线形拱的高为2m． 素材2 为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为1m的灯笼，如图3．为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在0.8﹣1.5m之间． 问题解决 任务1 确定抛物线形拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂数量 给出符合所有悬挂条件的灯笼数量． 任务3 拟定设计方案 根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 21．综合与实践 问题情境：学校开展实践活动，科学探究实验小组的同学们在综合实验楼前做了“从地面竖直向上发射小球”的实验． 实验数据：根据实验小组多次测得的数据，综合分析可得小球离地面的高度h（m）与小球运动的时间t（s）之间是二次函数的关系，其部分对应数据如表： t/s 0 1 1.5 2.5 3 4 h/m 0 15 18.75 18.75 15 0 问题解决： （1）求小球离地面的高度h（m）与小球的运动时间t（s）（0≤t≤4）之间的函数关系式； （2）求小球发射后离地面的最大高度； （3）小宇在实验楼三层的观察点，观察小球运动，已知观察点离小球发射点的竖直高度为12.8m．小宇说：“两次看到小球经过观察点，且这两次间隔的时间为2.4s．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 22．根据以下信息，探索完成任务． 如何设计种植方案？ 素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践，现有A、B两种作物的相关信息如下表所示： A作物 B作物 每平方米种植株树（株） 2 10 单株产量（千克） 1.2 0.5 素材2 由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克． 素材3 若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植． 问题解决 单一种植（全部种植A作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有 　 　 株，单株产量为 　 　 千克． （用含x的代数式表示） 任务2：计算产量 要使A作物每平方米产量为4.8千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植（种植A、B两种作物） 任务3：规划种植方案 设这100平方米的土地中有a平方米用于种植A作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米10株种植B作物，当这100平方米总产量不低于496千克时，则a的取值范围是 　 　 . 23．综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙MN．研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边CD＝x，矩形种值园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园（边AB为墙MN的一部分） 思考二；将墙MN的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园（墙MN为边AB的一部分） 解决问题 根据分析，分别求出思考一与思考二两种方案中的S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C A D D C A D 二．填空题 11．﹣8． 12．10． 13．37． 14．0≤a≤3． 15．y，10240． 16．55，450． 17．150． 三．解答题 18．解：（1）当0≤x＜40时，设y＝kx（k≠0）． ∵经过点（40，3200）， ∴40k＝3200． 解得：k＝80． ∴y＝80x； 当x≥40时，设y＝ax+b（a≠0）． ∵经过点（40，3200），（80，5600）， ∴． 解得：． ∴y＝60x+800． 综上：乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式为：y． （2）设商店销售甲、乙两种商品所获得的利润为w元，购进乙m件，则购进甲（200﹣m）件． ∴200﹣m≤4m． 解得：m≥40． ∴w＝（45﹣20）（200﹣m）+60m+800﹣40m ＝5000﹣25m+60m+800﹣40m ＝﹣5m+5800． ∵﹣5＜0， ∴w随m的增大而减小． ∴m＝40时，w最大，最大值为5600元． 答：甲、乙两种商品所获得的最大利润为5600元． 19．解：（1）由题意，∵点 是抛物线 y＝﹣x2+bx 上的一点， ∴． ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为． （2）由题意，∵抛物线为， ∴抛物线最高点的坐标为． （3）由题意，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， 又∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO， ∴△OBD∽△OAE． ∴． 由点B是OA的三等分点， ①当B在靠近O时，． ∵， ∴，OE＝3． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴1． ∴点C的横坐标为1． 将x＝1代入 ， ∴． ∴点C的坐标为 ． ∴． ∴． ②当B在靠近A时，． ∵， ∴，OE＝3． ∴． ∴BDAE＝1． 又∵， ∴ODOE＝2． ∴点C的横坐标为2． 将x＝2代入 ， ∴y＝3． ∴点C的坐标为（2，3）． ∴CD＝3． ∴CB＝CD﹣BD＝3﹣1＝2． 答：这棵树的高度是2． 20．解：任务1．如图，以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立平面直角坐标系． ∵正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，矩形的宽为10m，高为12m，抛物线形拱的高为2m． ∴拱顶E的坐标为（0，14），点D的坐标为（5，12）． 设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0）． ∴． 解得：． ∴yx2+14； 任务2． 设灯笼数量有x盏，那么间隔有（x+1）个． ∴0.8（x+1）≤10﹣x≤1.5（x+1）． 解得：3x≤5． ∵悬挂灯笼的数量为双数， ∴灯笼数量为4个； 任务3． ∵灯笼数量有4个， ∴灯笼之间的间隔有5个． ∵矩形的宽为10 m，每个灯笼的直径为1 m． ∴灯笼的半径是0.5 m，每个间隔的长度为：1.2（m）． 由题意得：点A的横坐标为﹣5， ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为：﹣5+1.2+0.5＝﹣3.3． 答：最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为﹣3.3． 21．解：（1）设小球离地面的高度h（m）与小球的运动时间t（s）之间的函数关系式为h＝at2+bt（0≤t≤4）， 将t＝1，h＝15和t＝4，h＝0代入h＝at2+bt，得， 解得， ∴小球离地面的高度h（m）与小球的运动时间t（s）之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）； （2）h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20． ∵﹣5＜0， ∴当t＝2时，h有最大值，为20， ∴小球发射后离地面的最大高度为20m； （3）小宇的说法正确， 理由：令h＝12.8， 则﹣5t2+20t＝12.8， 解得 l1＝3.2，l2＝0.8， 故小宇的说法正确． 22．解：任务一：设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有（2+x）株，单株产量为（1.2﹣0.1x）千克， 故答案为：（2+x），（1.2﹣0.1x）； 任务二：根据题意得：（2+x）（1.2﹣0.1x）＝4.8， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， ∴x+2＝6或x+2＝8， 答：每平方米应种植6株或8株； 任务三：设种植A作物每平方米的产量为y千克， 根据题意得：y＝（2+x）（1.2﹣0.1x）＝﹣0.1x2+x+2.4＝﹣0.1（x﹣5）2+4.9， ∵﹣0.1＜0， ∴当x＝5时，y有最大值，最大值为4.9， ∴种植A作物每平方米最大产量为4.9千克， 根据题意得：4.9a+（100﹣a）×10×0.5≥496， 解得a≤40， 则a的取值范围是0＜a≤40， 故答案为：0＜a≤40． 23．解：思考一：∵CD＝x，篱笆共40米，MN＝12米， ∴BC＝[（40﹣x）]米， ∴S（40﹣x）•x（x﹣20）2+200， 由题意得，0＜x≤12， ∴当x＝12时，S取最大值为168平方米， 思考二：如图，AN＝（x﹣12）米， ∴BC＝（26﹣x）米，（12≤x＜26）， ∴S＝（26﹣x）•x＝﹣（x﹣13）2+169， ∴当x＝13时，S取最大值为169平方米， ∵168＜169， ∴矩形种植园的面积最大值为169平方米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/16 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