第十三章 三角形全章压轴题专项卷-2025-2026学年人教版八年级数学上册必考点分类集训系列

第十三章 三角形全章压轴题专项卷 【人教版2024】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷旨在聚焦全章核心考点与重难点，集中攻克解题瓶颈，提升解决复杂问题的能力。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（　　） A．0根 B．1根 C．2根 D．5根 2．（3分）三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（　　） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 3．（3分）如图，在△ADE中，DB⊥AE于B，AC平分∠EAD交BD于F，交ED于C，∠AEC＝60°，∠ADB＝20°，则∠ACE＝（　　） A．70° B．75° C．85° D．95° 4．（3分）有两个形状如图所示的零件，按照规定，AB所在直线和CD所在直线的夹角为40°的零件为合格零件．小明测出其中一个零件的∠B＝65°，∠C＝75°，小亮测出另一个零件的∠BAD＝120°，∠CDA＝90°，则（　　） A．只有小明测量的零件合格 B．只有小亮测量的零件合格 C．两个零件均合格 D．两个零件均不合格 5．（3分）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为AB上的一点，延长CA到点D，连接DE．以下结论错误的是（　　） A．∠1＞∠4 B．∠5＝∠2+∠B+∠D C．∠5＝∠1 D．∠2+∠3＝180°﹣∠B 6．（3分）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．1cm B．5cm C．9cm D．5cm或9cm 7．（3分）如图，已知AP平分∠BAC，DP平分∠CDB，∠C＝50°，∠B＝20°，则∠P的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 9．（3分）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，AD平分∠BAM，BC平分∠OBA，交OM于点E，与AD的反向延长线交于点C．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若∠BAD＝65°，则∠ABC＝40°； 结论Ⅱ：无论点A，B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 10．（3分）如图，△ABC，点P为△ABC外一点（点P不在直线AB、BC、AC上），连接PB、PC．若∠PBA＝α，∠PCA＝β，∠BAC＝γ，对于 ①α+γ﹣β； ②α﹣β﹣γ； ③β﹣α﹣γ； ④360°﹣α﹣β﹣γ， 则∠BPC的度数可能是（　　） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 第ⅠⅠ卷 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 　 　 ． 12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝3，则PE+PF＝　 　 ． 13．（3分）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为 　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，E，F分别在DB，DC的延长线上，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF，BG，CG相交于点G，若∠A＝48°，则∠G的度数是 　 　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝42°，AH，BD分别是△ABC的高和角平分线，点E为BC边上一点，当△BDE为直角三角形时，则∠CDE的度数为 　 　 ． 16．（3分）在三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为90°、30°、60°的三角形是“高倍三角形”．如图，∠MON＝66°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°），当△ABC为“高倍三角形”时，∠OAC为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 18．（6分）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 19．（8分）（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一点，PE⊥AD于P交直线BC于点E，交直线AB、AC于F、G，若∠B＝50°，∠BCA＝70°时，∠PED＝　 　 度； （2）如图2，AD平分∠BAC的外角，其余条件不变，若∠B＝α，∠BCA＝β，求∠PED的度数；（用含有α，β的式子表示）． 20．（8分）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞　 　 ，PD+CD＞　 　 ． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞　 　 ，即AB+AC＞　 　 ． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由． 21．（10分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为线段CB上一点（不与C、B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE＝∠AED．设∠BAD＝α，∠CDE＝β． （1）如图1，①若∠BAC＝42°，∠DAE＝30°，则α＝　 　 ，β＝　 　 ； ②写出α与β的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E在CA的延长线上时，其它条件不变，写出α与β的数量关系，并说明理由． 22．（10分）直角三角形ABC，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，BE为△BCD的高线． （1）求证：∠CAD+∠CBE＝∠CDB； （2）如图（2）：AF⊥CD交直线CD于F，G为EF上一点，BK⊥AG交直线AG于点K，AK交BE于点H，若∠CAB＝∠CBA＝∠AGF，请你在不添加任何辅助线，直接写出与∠DAF相等的角（不包括∠DAF）． 23．（12分）如图1，AD，AE分别是∠ABC的高和角平分线（∠C＞∠B）． （1）求证：； （2）如图2，若点F为AE上一点，且FD⊥BC于点D，试推导∠EFD与∠C，∠B之间的等量关系； （3）当点F在AE的延长线上时，且FD⊥BC于点D，其余条件都不变，请直接写出∠EFD与∠C，∠B之间的等量关系． 24．（12分）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系． （3）在图3中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　 　 （用x、y的代数式表示）． （4）在图4中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形全章压轴题专项卷 【人教版2024】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷旨在聚焦全章核心考点与重难点，集中攻克解题瓶颈，提升解决复杂问题的能力。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（　　） A．0根 B．1根 C．2根 D．5根 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：如图所示， 根据三角形具有稳定性， 所以至少还要在架子上钉上的木棒根数是2， 故选：C． 2．（3分）三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（　　） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 【分析】先由a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，得2c﹣6＜c＜3c﹣6，解得3＜c＜6，结合c为整数即可作答． 【解答】解：∵三角形的三边分别为a，b，c， ∴a﹣b＜c＜a+b， ∵a＞b，且a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6， ∴2c﹣6＜c＜3c﹣6， 解得3＜c＜6， ∵c为整数， ∴c的长是4或5， 故选：B． 3．（3分）如图，在△ADE中，DB⊥AE于B，AC平分∠EAD交BD于F，交ED于C，∠AEC＝60°，∠ADB＝20°，则∠ACE＝（　　） A．70° B．75° C．85° D．95° 【分析】先根据DB⊥AE于B得出∠ABD＝90°，再由∠ADB＝20°可得出∠BAD的度数，再由AC平分∠EAD交BD于F可得出∠EAC的度数，再根据∠AEC＝60°即可得出结论． 【解答】解：∵DB⊥AE于B， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ADB＝20°， ∴∠EAD＝90°﹣20°＝70°， ∵AC平分∠EAD交BD于F， ∴∠EAC∠EAD＝35°， ∵∠AEC＝60°， ∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAC＝180°﹣60°﹣35°＝85°． 故选：C． 4．（3分）有两个形状如图所示的零件，按照规定，AB所在直线和CD所在直线的夹角为40°的零件为合格零件．小明测出其中一个零件的∠B＝65°，∠C＝75°，小亮测出另一个零件的∠BAD＝120°，∠CDA＝90°，则（　　） A．只有小明测量的零件合格 B．只有小亮测量的零件合格 C．两个零件均合格 D．两个零件均不合格 【分析】延长BA，CD，相交于点E，利用三角形内角和定理求出∠E的大小，根据∠E是否等于40°可判定结果． 【解答】解：如图，延长BA，CD，相交于点E， 若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠E＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°， 满足AB所在直线和CD所在直线的夹角为40°，零件为合格零件； 若∠BAD＝120°，∠CDA＝90°， 则∠EAD＝180°﹣∠BAD＝60°，∠ADE＝180°﹣∠CDA＝90°， ∠E＝180°﹣∠EAD﹣ADE＝180°﹣60°﹣90°＝30°， 不满足AB所在直线和CD所在直线的夹角为40°，零件为不合格零件； 故选：A． 5．（3分）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为AB上的一点，延长CA到点D，连接DE．以下结论错误的是（　　） A．∠1＞∠4 B．∠5＝∠2+∠B+∠D C．∠5＝∠1 D．∠2+∠3＝180°﹣∠B 【分析】由三角形的外角性质，三角形内角和定理，即可判断． 【解答】解：∵∠1＞∠3，∠3＞∠4， ∴∠1＞∠4， 故A不符合题意； ∵∠5＝∠D+∠DAE，∠DAE＝∠2+∠B， ∴∠5＝∠D+∠B+∠2， 故B不符合题意； 由条件得不到∠1＝∠5， 故C符合题意； 由三角形内角和定理得到∠2+∠3＝180°﹣∠B， 故D不符合题意． 故选：C． 6．（3分）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．1cm B．5cm C．9cm D．5cm或9cm 【分析】设腰长为x，得出方程（2x+x）﹣（5+x）＝4或（5+x）﹣（2x+x）＝4，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【解答】解：设腰长为2x，一腰的中线为y， 则（2x+x）﹣（5+x）＝4或（5+x）﹣（2x+x）＝4， 解得：x＝4.5，x， ∴2x＝9或1， ①三角形ABC三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理； ②三角形ABC三边是1、1、9，1+1＜9，不符合三角形三边关系定理； 故选：C． 7．（3分）如图，已知AP平分∠BAC，DP平分∠CDB，∠C＝50°，∠B＝20°，则∠P的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【分析】延长BD交AC于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠CDP，然后根据三角形的内角和定理列式∠P+∠CDP＝∠CAP+∠C，整理即可得解． 【解答】解：如图，延长BD交AC于E， 由三角形的外角性质得，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+50°+20°＝∠BAC+70°， ∵DP平分∠CDB， ∴∠CDP∠BDC∠BAC+35°， ∵AP平分∠BAC， ∴∠CAP∠BAC， 由三角形的内角和定理，∠P+∠CDP＝∠CAP+∠C， ∴∠P∠BAC+35°∠BAC+∠C， ∴∠P＝∠C﹣35°＝50°﹣35°＝15°． 故选：B． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】根据折叠得出∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义可得∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°，由此即可得答案． 【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， ∴由折叠可知：∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED， ∴∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°． ∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°， 又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2+2（180°﹣∠A）＝360°，即， ∵，，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°， ∴． 故选：B． 9．（3分）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，AD平分∠BAM，BC平分∠OBA，交OM于点E，与AD的反向延长线交于点C．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若∠BAD＝65°，则∠ABC＝40°； 结论Ⅱ：无论点A，B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【分析】结论Ⅰ：依据题意，由AD平分∠BAM，∠BAD＝65°，可得∠MAB＝2∠BAD＝130°，可得∠ABO＝∠MAB﹣∠O＝130°﹣90°＝40°，再由BC平分∠OBA，可得再判断即可； 结论Ⅱ：由三角形的外角性质得∠BAD＝∠C+∠ABC，再由角平分线定义得，∠ABC∠ABO，则∠C∠MAB∠ABO，然后结合∠MAB＝90°+∠ABO，即可得出结论． 【解答】解：结论Ⅰ：∵AD平分∠BAM，∠BAD＝65°， ∴∠MAB＝2∠BAD＝2×65°＝130°， ∴∠ABO＝∠MAB﹣∠O＝130°﹣90°＝40°， ∵BC 平分∠OBA， ∴，故结论Ⅰ错误，不符合题意； 结论Ⅱ：∠C的大小不会变，∠C＝45°，理由如下： ∵∠BAD＝∠C+∠ABC， ∴∠C＝∠BAD﹣∠ABC， ∵AD平分∠MAB，BC平分∠ABO， ∴，∠ABC∠ABO． ∴∠C∠MAB∠ABO， 又∵∠MAB＝∠O+∠ABO＝90°+∠ABO， ∴∠C∠MAB∠ABO （∠MAB﹣∠ABO） 90°＝45°． ∴∠C的大小不会变，∠C＝45°，故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：B． 10．（3分）如图，△ABC，点P为△ABC外一点（点P不在直线AB、BC、AC上），连接PB、PC．若∠PBA＝α，∠PCA＝β，∠BAC＝γ，对于 ①α+γ﹣β； ②α﹣β﹣γ； ③β﹣α﹣γ； ④360°﹣α﹣β﹣γ， 则∠BPC的度数可能是（　　） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据点P有4种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【解答】解：如图一，∠P+∠PDB+α＝∠ADC+β+γ， ∵∠PDB＝∠ADC， ∴∠P+α＝β+γ， ∴∠P＝β+γ﹣α； 如图二，在四边形ABPC中，α+β+γ+∠P＝360°， ∴∠P＝360°﹣α﹣β﹣γ； 如图三，α+γ+∠ADB＝∠P+β+∠PDC， ∵∠ADB＝∠PDC， ∴α+γ＝∠P+β， ∴∠P＝α+γ﹣β； 如图四，延长CA交PB于点D， ∵∠BDA是△PCD的外角， ∴∠BDA＝∠P+β， ∵∠BAC是△ABD的外角， ∴γ＝α+∠BDA＝α+β+∠P， ∴∠P＝γ﹣α﹣β； 如图五，延长CB， ∵∠1是△BCP的外角， ∴∠1＝∠4+∠BPC， 同理，∠2＝∠3+∠BAC， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠BPC+∠BAC， 又∵∠1+∠2＝α，∠3+∠4＝β，∠BAC＝γ， ∴α＝β+γ+∠BPC， ∴∠BPC＝α﹣β﹣γ； 如图6，延长BC， ∵∠3是△ABC的外角， ∴∠3＝∠1+∠BAC， 同理，∠4＝∠2+∠BPC， ∴∠3+∠4＝∠1+∠2+∠BAC+∠BPC， ∵∠1+∠2＝α，∠3+∠4＝β，∠BAC＝γ， ∴β＝α+γ+∠BPC， ∴∠BPC＝β﹣α﹣γ． 综上判断①、②、③、④都正确， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 　15　 ． 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到a＝7，b＝1，再结合三角形的三边关系，确定c＝7，即可求出△ABC的周长． 【解答】解：根据平方和绝对值的非负性， ∵|a﹣7|+（b﹣1）2＝0， ∴a﹣7＝0，b﹣1＝0， ∴a＝7，b＝1， ∵a，b，c是△ABC的三边， ∴根据三角形三边关系，a﹣b＜c＜a+b， ∵a﹣b＝6，a+b＝8，且c为奇数， ∴c＝7， ∴△ABC的周长为a+b+c＝7+1+7＝15，即△ABC的周长为15， 故答案为：15． 12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝3，则PE+PF＝　3　 ． 【分析】连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，依据S△ACPAC×PF，S△ABPAB×PE，代入计算即可得到PE+PF＝3． 【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP， ∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F， ∴S△ACPAC×PF，S△ABPAB×PE， 又∵S△ABC＝3，AB＝AC＝2， ∴3AC×PFAB×PE， 即32×PF2×PE， ∴PE+PF＝3． 故答案为：3． 13．（3分）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为 　6　 ． 【分析】根据三角形中线的性质推得，再根据高相等的两个三角形面积比等于底边比得到、，最后根据三角形中线性质即可推得两阴影部分的面积和． 【解答】解：由题意可得：， ∵AG：GD＝2：1， ∴，， ∵BE、CF是△ABC的中线， ∴E、F是AB、AC的中点， ∴，， ∴S阴影＝S△BFG+S△CEG＝3+3＝6． 故答案为：6． 14．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，E，F分别在DB，DC的延长线上，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF，BG，CG相交于点G，若∠A＝48°，则∠G的度数是 　33°　 ． 【分析】先根据已知条件求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义先求出∠DBC+∠BCD，再求出∠CBG+∠BCG，最后根据三角形的内角和求出∠G即可． 【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝48°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣48°＝132°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴， ∴， ∵∠CBE+∠DBC＝180°，∠BCF+∠BCD＝180°， ∴∠CBE+∠BCF+∠DBC+∠BCD＝360°， ∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣66°＝294°， ∵BG平分∠EBC，CG平分∠BCF， ∴， ∴， ∵∠CBG+∠BCG+∠G＝180°， ∴∠G＝180°﹣147°＝33°， 故答案为：33°． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝42°，AH，BD分别是△ABC的高和角平分线，点E为BC边上一点，当△BDE为直角三角形时，则∠CDE的度数为 　48°或24°　 ． 【分析】当∠BED＝90°时，由三角形的外角性质得到∠CDE＝48°；当∠BDE＝90°时，由直角三角形的性质求出∠ABC＝48°，由角平分线定义求出∠CBD∠ABC＝24°，由三角形内角和定理求出∠BDC＝114°，即可得到∠CDE＝24°，于是得到答案． 【解答】解：当∠BED＝90°时， ∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝90°﹣42°＝48°； 当∠BDE＝90°时， ∵∠BAC＝90°，∠C＝42°时， ∠ABC＝90°﹣42°＝48°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABC＝24°， ∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝114°， ∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝＝24°， ∴当△BDE为直角三角形时，∠CDE的度数为48°或24°． 故答案为：48°或24°． 16．（3分）在三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为90°、30°、60°的三角形是“高倍三角形”．如图，∠MON＝66°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°），当△ABC为“高倍三角形”时，∠OAC为　6°或18°或51°或82°　 ． 【分析】在△AOB中，利用三角形内角和定理，可求出∠OBA＝24°，设∠OAC＝x，则∠BAC＝90°﹣x，∠ACB＝66°+x，根据“高倍三角形”的定义，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：在△AOB中，∠AOB＝66°，∠OAB＝90°， ∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣66°﹣90°＝24°． 设∠OAC＝x，则∠BAC＝90°﹣x，∠ACB＝66°+x， 当∠ACB＝3∠ABC时，66°+x＝3×24°， 解得：x＝6°； 当∠ACB＝3∠BAC时，66°+x＝3（90°﹣x）， 解得：x＝51°； 当∠BAC＝3∠ABC时，90°﹣x＝3×24°， 解得：x＝18°； 当∠BAC＝3∠ACB时，90°﹣x＝3（66°+x）， 解得：x＝﹣27°（不符合题意，舍去）； 当∠ABC＝3∠BAC时，24°＝3（90°﹣x）， 解得：x＝82°； 当∠ABC＝3∠ACB时，24°＝3（66°+x）， 解得：x＝﹣58°（不符合题意，舍去）． 综上所述，∠OAC的度数为6°或18°或51°或82°． 故答案为：6°或18°或51°或82°． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）﹣（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c； （2）解方程组， 解得， 根据三角形的三边关系得5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，三角形的三边为2，5，4，2+4＞5，能够成三角形； 当c＝6时，三角形的三边为2，5，6，2+5＞6，能够成三角形， ∴这个三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 18．（6分）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 【分析】（1）首先由CD是中线得BD＝AD，再分别求出△BCD和△ACD的周长，然后再求出它们的差即可； （2）先根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝31°，然后根据三角形的外角定理可得∠BOC的度数． 【解答】解：（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝3+AD+CD，△ACD的周长＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴△BCD的周长﹣△ACD的周长＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1． 故答案为：1． （2）CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE∠ABC62°＝31°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． 19．（8分）（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一点，PE⊥AD于P交直线BC于点E，交直线AB、AC于F、G，若∠B＝50°，∠BCA＝70°时，∠PED＝　10　 度； （2）如图2，AD平分∠BAC的外角，其余条件不变，若∠B＝α，∠BCA＝β，求∠PED的度数；（用含有α，β的式子表示）． 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAB的度数，从而根据三角形的外角的性质即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数； （2）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠DAC，从而根据三角形的外角的性质即可求出∠D，进一步求得∠PED． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠BCA＝70°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DABBAC＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝50°+30°＝80°， ∴∠E＝90°﹣∠ADC＝10°； 故答案为10； （2）∵∠B＝α，∠BCA＝β， ∴∠CAF＝α+β， ∵AD平分∠BAC的外角， ∴∠DACCAF（α+β）， ∵∠ACB＝∠D+∠DAC， ∴∠D＝β（α+β）（β﹣α）， ∴∠PED＝90°﹣∠D＝90°（β﹣α）． 20．（8分）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞　BD　 ，PD+CD＞　PC　 ． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞　BD+PC　 ，即AB+AC＞　PB+PC　 ． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由三角形两边的和大于第三边得到AB+AD＞BD，PD+CD＞PC．将不等式左边、右边分别相加，得到AB+AC＞PB+PC； （2）由三角形三边关系定理得到AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC，将不等式左边、右边分别相加，得到AD+BD+CD（AB+AC+BC）． 【解答】解：（1）如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞BD，PD+CD＞PC． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，即AB+AC＞PB+PC， 故答案为：BD，PC，BD+PC，PB+PC； （2）如图②，AD+BD+CD（AB+AC+BC）理由如下： 由三角形三边关系定理得到：AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC， ∴2（AD+BD+CD）＞AB+BC+AC， ∴AD+BD+CD（AB+AC+BC）． 21．（10分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为线段CB上一点（不与C、B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE＝∠AED．设∠BAD＝α，∠CDE＝β． （1）如图1，①若∠BAC＝42°，∠DAE＝30°，则α＝　12°　 ，β＝　6°　 ； ②写出α与β的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E在CA的延长线上时，其它条件不变，写出α与β的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）①直接求α的度数，根据三角形的内角和与等腰三角形的性质求∠ACB和∠AED的度数，再根据外角定理求出β的度数； ②设∠BAC＝x，∠DAE＝y，则α＝x﹣y，同理求出∠ACB和∠AED，利用外角定理得：β＝∠AED﹣∠ACB，代入可得α＝2β； （2）设∠BAC＝x，∠DAE＝y，根据图形先表示α＝x﹣（180°﹣y）＝x﹣180°+y，同理得∠ACB和∠AED的度数，在△EDC中利用外角定理列式可得2β＝180°+α． 【解答】解：（1）如图（1）， ①∵∠BAC＝42°，∠ACB＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ACB69°， ∵∠DAE＝30°，∠ADE＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED＝75°， ∵∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED＝∠EDC+∠ACB， ∴∠EDC＝∠AED﹣∠ACB＝75°﹣69°＝6°， 即β＝6°， α＝∠BAC﹣∠DAE＝42°﹣30°＝12°； 故答案为：12°，6°； ②α＝2β，理由是： 设∠BAC＝x，∠DAE＝y，则α＝x﹣y， ∵∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB， ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠AED， ∴β＝∠AED﹣∠ACB， ∴α＝2β； （2）如图（2），2β＝180°+α，理由是： 设∠BAC＝x，∠DAE＝y， α＝x﹣（180°﹣y）＝x﹣180°+y， ∵∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB， ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠AED， ∴∠EDB是△EDC的一个外角， ∴∠EDB＝∠AED+∠ACB， ∴180°﹣β， ∴2β＝x+y， ∴2β＝180°+α． 22．（10分）直角三角形ABC，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，BE为△BCD的高线． （1）求证：∠CAD+∠CBE＝∠CDB； （2）如图（2）：AF⊥CD交直线CD于F，G为EF上一点，BK⊥AG交直线AG于点K，AK交BE于点H，若∠CAB＝∠CBA＝∠AGF，请你在不添加任何辅助线，直接写出与∠DAF相等的角（不包括∠DAF）． 【分析】（1）由直角三角形两个锐角互余得出∠DBE+∠EDB＝90°，且∠CAD+∠CBE+∠EBD＝90°，则有结论成立． （2）根据题意可知∠CAB＝∠CBA＝45°，进一步得到∠CAB＝∠GAF，则有∠CAG+∠GAB＝∠GAB+∠DAF，即∠CAG＝∠DAF；由题意得∠BDE＝∠ADF，则∠ABE＝∠DAF；由题意得∠CAK＝∠CBK，结合∠CAG＝∠DAF，则有∠CBK＝∠DAF成立． 【解答】（1）证明：∵BE为△BCD的高线， ∴∠BED＝90°， ∴∠DBE+∠EDB＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠CBE+∠EBD＝90°， ∴∠CAD+∠CBE＝∠CDB； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵∠CAB＝∠AGF，AF⊥CD， ∴∠CAB＝∠GAF， ∴∠CAG+∠GAB＝∠GAB+∠DAF， 即∠CAG＝∠DAF． ∵BE为△BCD的高线，∠BDE＝∠ADF， ∴∠ABE＝∠DAF． ∵∠ACB＝90°，BK⊥AG， ∴∠CAK＝∠CBK ∵∠CAG＝∠DAF， ∴∠CBK＝∠DAF， 故与∠DAF相等的角有∠CAG、∠ABE和∠CBK． 23．（12分）如图1，AD，AE分别是∠ABC的高和角平分线（∠C＞∠B）． （1）求证：； （2）如图2，若点F为AE上一点，且FD⊥BC于点D，试推导∠EFD与∠C，∠B之间的等量关系； （3）当点F在AE的延长线上时，且FD⊥BC于点D，其余条件都不变，请直接写出∠EFD与∠C，∠B之间的等量关系． 【分析】（1）由三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），由角平分线定义得∠EAC∠BAC＝90°（∠B+∠C），再根据∠CAD＝90°﹣∠C即可得出∠DAE（∠C﹣∠B）； （2）过点A作AH⊥BC于H，由（1）得∠EAH（∠C﹣∠B），再证明EF∥AH得∠EFD＝∠EAH，由此可得出∠EFD与∠B，∠C的大小关系； （2）过点A作AK⊥BC于K，由（1）得∠EAK（∠C﹣∠B），再证明EF∥AK得∠EFD＝∠EAK，由此可得出∠EFD与∠B，∠C的大小关系． 【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）， ∵AE是∠ABC的平分线， ∴∠EAC∠BAC＝90°（∠B+∠C）， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝90°（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）； （2）解：∠EFD与∠C，∠B之间的等量关系是：∠EFD（∠C﹣∠B），理由如下： 过点A作AH⊥BC于点H，如图2所示： 由（1）可知：∠EAH（∠C﹣∠B）， ∵FD⊥BC于点D，AH⊥BC于点H， ∴FD∥AH， ∴∠EFD＝∠EAH， ∴∠EFD（∠C﹣∠B）； （3）解：∠EFD与∠C，∠B之间的等量关系是：∠EFD（∠C﹣∠B），理由如下： 过点A作AK⊥BC于点K，如图3所示： 由（1）可知：∠EAK（∠C﹣∠B）， ∵FD⊥BC于点D，AK⊥BC于点K， ∴FD∥AK， ∴∠EFD＝∠EAK， ∴∠EFD（∠C﹣∠B）． 24．（12分）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系． （3）在图3中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　∠P（3x+y）　 （用x、y的代数式表示）． （4）在图4中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论． 【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可． （2）设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （3）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （4）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中， ∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2中， 设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y， 则有， ∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D， ∴∠P（∠B+∠D）； ∴2∠P＝∠B+∠D； （3）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，设∠C＝x，∠B＝y， 则有， ∴4∠P＝3∠C+∠B， ∴∠P（3x+y）， 故答案为：∠P（3x+y）． （4）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y． 则有∠A+2x＝∠C+180°﹣2y， ∴x+y＝90°（∠C﹣∠A）， ∵∠P+x+∠A+y＝180°， ∴∠P＝90°∠C∠A． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $