1.7 角平分线的性质 教案 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

第一章 三角形的初步认识 1.7角平分线的性质   一、教材分析 角平分线的性质是平面几何的重要内容.它承接了之前所学的角的度量、角的平分线定义等基础知识,同时为后续学习三角形的内心、证明线段和角相等等等几何问题提供了重要依据，是构建完整几何知识体系的关键环节，起到了承上启下的作用. 教材先呈现工人师傅用角尺平分角的实际例子，让学生理解平分角方法的原理，再引导学生学习用直尺和圆规作角平分线的规范方法，并对作图的正确性进行证明.这部分内容让学生从实际操作中抽象出数学方法，培养其动手能力和逻辑思维能力.通过让学生在角平分线上取点并测量点到角两边的距离，猜想并证明角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等.接着，教材引入其逆定理，完善知识体系.  二、教学目标 1.进一步了解角平分线的定义，掌握角平分线的性质定理，能准确表述并运用性质解决简单几何问题． 2.学会用直尺和圆规作角平分线，明晰作图原理，规范作图步骤. 3.在探究角平分线性质和作图方法中，运用逻辑推理、操作实践，培养分析问题、解决问题的能力，发展空间观念． 4.借助我国纸伞等传统文化元素，感受数学与生活、文化的联系，增强民族文化认同感，激发学习兴趣．   三、教学重难点 重点：掌握角平分线的性质定理． 难点：运用角平分线的性质解决问题，会用直尺和圆规作角平分线．   四、教学过程 · 情境导入 我国纸伞的结构十分巧妙.如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AE=AF，DE=DF，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.为什么? 这背后藏着角平分线的数学奥秘，今天咱们就一起探究角平分线的性质，解开纸伞结构的数学密码！ 师生活动：教师展示实例，提出问题，学生观察思考． 设计意图：借中国纸伞结构，引出角平分线性质探究，激发兴趣，感受数学与生活、文化关联． · 探究新知　　 活动一：探究尺规作角平分线 工人师傅用角尺来平分一个角.如图∠AOB是任意角，在OA，OB上分别取OM=ON.移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线. 想一想：这种方法的依据是什么? 预设：在△OMC和△ONC中，OM = ON(已知)， 角尺两边相同刻度分别与M、N重合，即CM = CN，OC为公共边，根据SSS得△OMC≌△ONC ，所以∠MOC = ∠NOC，即OC是∠AOB的平分线， 依据是 “边边边”全等的基本事实. 思考：由此你能想到怎样作一个角的平分线? 1.已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD. 分析：如果能找到∠BAC的平分线上一点D，那么射线AD就是∠BAC的平分线.由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个全等三角形来作出点D. 作法：如图． ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点； ②分别以点E，F 为圆心，大于EF长为半径作弧， 两条弧交于∠BAC内一点D. ③作射线AD． 射线 AD 就是所求作的∠BAC的平分线． 2.你能说明上述作法的道理吗? 预设：如图， 连结DE，DF. 由作法可知，AE=AF，DE=DF，AD=AD，所以△ADF≌△ADE(SSS). 所以∠CAD=∠BAD(全等三角形的对应角相等) 即AD平分∠BAC. 设计意图：借工人用角尺平分角的实例，引导探究角平分线尺规作图.经操作、思考、证明，让学生掌握作图方法与原理，提升动手、推理及对几何知识的理解运用能力. 活动三：探究角平分线的性质 1.任意作一个角，记为∠BAC，P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，比较PD和PE的大小. 预设：点P到AB和AC的距离相等，即PD=PE. 2.在∠BAC的平分线上再任意取一些点，你的结论还是成立吗？ 预设：仍然成立. 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等. 设计意图：通过让学生在角平分线上再任取一些点，用圆规比较距离，经历操作、猜想过程，自主发现角平分线的性质，培养探究与归纳能力，加深对性质的理解. 证明：角平分线上的点到角两边的距离相等. 已知：如图，OA是∠BAC的角平分线， 点P在OA上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E.求证：PD=PE. 证明:证明:因为OA是∠BAC的角平分线，PD⊥AB，PE⊥AC 所以∠PAE=∠PAD，∠PDA= ∠PEA=90° 由AP=AP(公共边)， 所以△PAE≌△ PAD (AAS) 所以PD=PE(全等三角形的对应边相等). 总结：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： 如图，OA平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC， 则PD=PE. 师生活动：教师通过圆规或直尺比较、讨论、总结等方法引导学生探究角平分线的性质，学生动手操作和思考讨论，教师进行总结． 设计意图：通过严谨证明推导角平分线性质定理，规范几何推理，帮助学生理解定理本质，掌握证明方法，提升逻辑推理能力. 做一做：你现在能回答情境导入中的问题吗？ 我国纸伞的结构十分巧妙.如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AE=AF，DE=DF，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.为什么? 预设：因为AP平分∠BAC，所以∠EAD = ∠FAD. 又因为AE = AF，DE = DF，且AD为公共边. 所以△ADE ≌△ADF(SAS). 所以∠ADE =∠ADF， 所以点D在角平分线AP上，故伞圈 D 可沿伞柄滑动. 设计意图：结合情境实例，运用角平分线的性质，让学生在生活情境中巩固知识，理解数学应用价值. · 应用新知 【典型例题】 例1某地区要在区域S内(即∠COD内部)建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？(要求：尺规作图，保留作图痕迹) 分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可. 解：如图． ①作∠COD的角平分线OP； ②连接AB，作线段AB的垂直平分线EF； ③直线OP与EF交于点M. 所以点M就是所要求作的建立超市的位置. 总结：此类题只需作角平分线和线段垂直平分线，两线交点即为所求. 【教材例题】 例2 如图，AB//CD，PB，PC分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直. 求证： PA=PD. 分析：由AB//CD，AD⊥AB，可得AD⊥CD，则PA，PD的长分别是点P到AB，CD的距离.根据角平分线的性质定理可知，它们与点P到BC的距离相等.因此，可先作出点P到BC的垂线段. 解：如图，作PE⊥BC于点E，因为AB∥CD(已知) 所以∠BAD+∠CDA=180°(两直线平行，同旁内角互补) 由AD⊥AB(已知)，知∠BAD=90°(垂直的定义) 所以∠CDA=180°-∠BAD=180°- 90°=90°， 即AD⊥CD(垂直的定义) 因为PB平分∠ABC(已知)，PA⊥AB，PE⊥BC 所以PA=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理，PD=PE，所以PA=PE=PD. 总结：遇角平分线与垂直条件，可利用 “角平分线上的点到角两边距离相等”，通过作辅助线构造相等线段，结合平行线、垂直等知识，实现线段等量代换，证明线段相等. 师生活动：教师讲解例1、例2的解题思路和方法，引导学生分析问题，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项． 设计意图：通过实际应用作图、利用性质解题等例题，让学生掌握角平分线的作图与性质运用，提升知识应用和解决实际问题的能力． · 课堂练习 教材练习 1.证明：三角形的两条角平分线的交点到各边的距离相等. 已知：在△ABC中，角平分线AD，BE交于点O，过O作OF⊥BC，OH⊥ AC，OI⊥AB.求证：OF=OH=OI. 证明：因为AD平分∠BAC，且 OH⊥AC，OI⊥AB， 所以OH = OI(角平分线上的点到两端的距离相等) 同理，OF = OI， 所以OF=OH=OI，即交点到各边距离相等. 2.用直尺和圆规过已知直线上一点作已知直线的垂线. 作法：①以已知点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于A，B两点； ②分别以A，B为圆心，大于1/2AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点(直线两侧)； ③连接CD，则直线CD即为过点P垂直于直线l的垂线. 自选练习 3.已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°.求证：BC=BD. 证明：因为AB平分∠CAD， 所以∠CAB =∠DAB 在△ABC和△ABD中， 所以△ABC≌△ABD(AAS). 所以BC=BD. 4.如图，已知BD平分∠ABC，BA=BC，点P在BD上，作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M，N.求证: PM=PN. 证明：因为BD平分∠ABC， 所以∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中 所以△ABD≌△CBD(SAS). 所以∠ADB=∠CDB. 又PM⊥AD， PN⊥CD，所以 PM=PN. 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=9，DE=2，AB=5.求AC的长. 解：过点D作DF⊥AC，垂足为F. 因为AD平分∠BAC，DE⊥AB 所以DF=DE=2 S△ABC=S△ABD+S△ADC =AB∙DE+AC∙DF=5+AC=9 所以AC=4. 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC. 证明：因为∠ACB=90°， 所以AC⊥BC. 因为ED⊥AB，BE平分∠ABC， 所以CE=DE. 因为DE垂直平分AB， 所以AE=BE 因为AC=AE+CE，所以BE+DE=AC. 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握角平分线的定义及性质，提高学生的解题能力和应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.说一说，角平分线的定义？ 3.角平分线的性质定理是怎样的，你能用几何语言表示吗？ 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备． 学科网（北京）股份有限公司 $