专题05 二次根式3考点（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期湘教版

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题05二次根式 ☆3大高频考点概览 考点01二次根式的概念及性质 考点02最简二次根式 考点03二次根式的混合运算 考点01 二次根式的概念及性质 1.(24-25八下·湖南长沙浏阳·期中)下列式子中，是二次根式的是() A.a B.a C.-1 D.2 2.(24-25七下，湖南岳阳湘阴县城南四校联考·期中)已知R2≈1.414，则只200的近似值是() A.14.14 B.141.4 C.1.414 D.0.1414 3.(24-25九上·湖南衡阳华新实验中学·期中)实数α在数轴上的位置如图所示，则化简 (a-4+(a-11结果为() 0 5a10→ A.7 B.-7 C.2a-15 D.无法确定 4.(24-25七下·湖南郴州第三中学·期中)一个数值转换器，原理如图.当输入的x为16时，输出的y是 () 输入x 取算术平方根 是无理数 输出y 是有理数 A.8 B.V16 C.2 D.2 5.若一个三角形的三边长分别是a、b、c,记p=a+b+c, 那么三角形的面积为 2 s=Yp(p-al(p-bl(p-c ①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在△ABC中，BC=4'AC=6'AB=8 则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是() 1/5 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.315 B.2V15 c.V15 D.4V15 6.(24-25八下·湖南长沙宁乡西部六乡镇期中)当x时，二次根式 2有意义. x- 7.(24-25八上·湖南株洲二中莲花中学·期中)要使代数式x-3有意义，则x的取值范围是一 8.2425九下湖南长沙明德教育集团期中若x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 X-3 9.(24-25八下湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期中)当a>0时，-a=。一 10.定义运算“☆”的运算法则为x☆y=xy+1,则2☆4☆9=元· 1.24-25七下潮南常德桃源县：期中)已知a+b=-2,b=1则a+b的值为 12.(24-25八下·湖南长沙梨江中学·期中)实数α，b在数轴上的位置如图所示，化简 a2-b2+V(a-b2=— 6 -101 13.(23-24八下·湖南长沙长沙县·期中)先来看一个有趣的现象： 228-222,这里限号 23=13=13 里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一 3 4」 4 性质的数还有许多，如： 4 V415 4 等等 8 V15 (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数nn≥2来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律： (3)按此规律， 8 若a .(a,b为正整数)，则a+b的值为 考点02 最简二次根式 1.(23-24八下·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)下列根式是最简二次根式的是() A.8 B.24 C.3 D.20 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是() 2/5 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.0.4 B.15 D.27 3.(24-25八下·湖南长沙浏阳·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是() B.V8 C.0.12 D.a+1 4.(24-25八下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考期中)下列二次根式中，最简二次根式是() B.V18 c.V2.3 D.-14 5.(24-25八下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)下列二次根式中是最简二次根式的是() 人阳 B.V12 C.V7 D.V9 6.(24-25九上·湖南衡阳衡阳四校·期中)下列各式中是最简二次根式的是() A.4 B.x2+1 C.x3 考点03 二次根式的混合运算 1.(24-25九下·湖南娄底涟源·期中)下列运算正确的是() A.3-8=-2 B.V-22=-2 c31=号 D.(2-12=3 2.(23-24八下·湖南长沙宁乡·期中)下列计算正确的是（) A.R32=9 B.-2=-2 C.V8÷V2=2 D.V6÷V2=3 3.(24-25八下·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校·期中)比较大小：23_3（请填写“>”、“<”或 “=”） 4.(23-24八下·湖南湘西期中)计算/10×V40的结果为 5.(23-24八下·湖南长沙湖南师大附中教育集团期中)计算√6a÷V2a=一· 6.(23-24九下·湖南邵阳邵东·期中)已知a+b=2,a-b=V5,那么a2-b2=一 7.(23-24七下·湖南衡阳衡南县栗江镇隆初级中学·期中)计算： 3/5 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ()3-27+6× 2)3-2V+9-R(-6--64 8.(23-24八下·湖南长沙长沙县百熙实验中学期中)计算： 0四12+20+3-5 227÷3×232-632. 9。Q2324八下测盾长沙装南师大阳中软含实团拥钓光化简，再果值：口-2a+2+a口-》其中 a=-5. 10.(24-25八下·湖南长沙长沙县春华镇春华中学·期中)计算： (2y12- 1-2 +元3-2V+(m-3.14)° 11.计算： (1)18-V32+V2: 28×2 +1+2×1-2 12.(2425八下湖南湘西士家族黄族花垣县华鑫学校期中)先化简，再求值：Q-1:Q-2a+1,其中 a-22a-4 a=V2+1. 13.(24-25八下·湖南长沙长沙县春华镇春华中学·期中)已知a=5+2,b=5-2,求下列代数式的值. (1)a2-b2: (2)a2+b2+ab. 14.阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上 2+ 1一这样的式 .如3+2 子，其实我们还可以将其进一步化简： 1 1 V3-2 2+2-++222阳物 4/5 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 这种化简的方法叫分母有理化.请将下列代数式分母有理化： 1 (07+6 232-17 15.(24-25八下·湖南长沙浏阳·期中)【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化 因式 如：2.2=2：(3+1)·(3-1)=3-1=2，我们称2的一个有理化因式为2,3+1的一个有理化 因式是3-1. 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含 根号，这种变形叫做分母有理化. 如：1 1×(2-V3) 2+32+3)-2-3=2-3 【理解应用】 (1)填空：5-2的有理化因式是 :将2一分母有理化得 3V2 3,35 (2)化简： 10710 【拓展应用】 (3)利用以上解题方法比较3-22与5-2V6的大小，并说明理由： (4)已知有理数a,b满足a,-b=3-2,求a,6的值. 92-1V2 5/5 专题05 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式的概念及性质 考点02 最简二次根式 考点03 二次根式的混合运算 地 城 考点01 二次根式的概念及性质 1．(24-25八下·湖南长沙浏阳·期中)下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次分式的性质，解题关键是掌握二次根式需满足两个条件：根指数为2且被开方数非负．根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、中被开方数a的正负未知，若，则为二次根式；否则无意义，不符合题意； B、中，无论a取何值，被开方数始终非负，符合二次根式的定义，符合题意； C、中被开方数为负数，在实数范围内无意义，不符合题意； D、，根指数为3，不符合二次根式根指数为2的要求，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25七下·湖南岳阳湘阴县城南四校联考·期中)已知，则的近似值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简．将分解为，利用平方根的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A 3．(24-25九上·湖南衡阳华新实验中学·期中)实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 4．(24-25七下·湖南郴州第三中学·期中)一个数值转换器，原理如图．当输入的为16时，输出的是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查的是条件程序图、求一个数的算术平方根和无理数的判断，掌握条件程序图的运算顺序、算术平方根的定义和无理数的定义是解决此题的关键．根据程序图的运算，求出16的算术平方根，如果结果是无理数，输出结果；如果结果是有理数，再取算术平方根，直至结果为无理数即可求出结论． 【详解】解：的算术平方根为4，4是有理数； 4的算术平方根为2，2是有理数； 2的算术平方根为，是无理数， ． 故选：C． 5．若一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、海伦 - 秦九韶公式的应用，熟练掌握海伦 - 秦九韶公式中半周长的计算及面积公式的代入运算是解题的关键．先依据三角形三边长度，利用公式算出半周长，再把以及三边与的差值代入海伦 - 秦九韶公式计算面积 ． 【详解】解： ∵ ，，， ∴ ． ∵ ，，，， ∴ ． 故选：A ． 6．(24-25八下·湖南长沙宁乡西部六乡镇·期中)当x 时，二次根式有意义． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负、分式的分母不为0是解题的关键； 根据二次根式的被开方数非负、分式的分母不为0列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：； 故答案为：． 7．(24-25八上·湖南株洲二中莲花中学·期中)要使代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数必须是非负数进行解题即可．熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：代数式有意义， ， ． 故答案为：． 8．(24-25九下·湖南长沙明德教育集团·期中)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数大于等于，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 9．(24-25八下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期中)当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的运算法则可得：，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 10．定义运算“☆”的运算法则为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意列式后利用二次根式的性质即可求得答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶ ． 11．(24-25七下·湖南常德桃源县·期中)已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】解题思路为：利用完全平方公式，对进行变形，再代入已知条件求出的值，最后求其算术平方根．本题主要考查了完全平方公式的变形应用以及算术平方根的计算，熟练掌握“完全平方公式的变形，通过已知条件求出的值”是解题的关键． 【详解】解：由完全平方公式， 变形可得 ． ∵，， ∴ ． ∴， 故答案为： ． 12．(24-25八下·湖南长沙梨江中学·期中)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的化简，解题关键是根据数轴上的位置．根据数轴上的位置确定被开方数的正负，再化简计算即可． 【详解】解：实数a、b在数轴上的位置如图所示， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 13．(23-24八下·湖南长沙长沙县·期中)先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； (3)按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：有“穿墙”现象的数为，验证如下： ； （2）解： ∴； （3）解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 地 城 考点02 最简二次根式 1．(23-24八下·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，它不是最简二次根式，则A不符合题意， B、，它不是最简二次根式，则B不符合题意， C、是最简二次根式，则C符合题意， D、，它不是最简二次根式，则D不符合题意， 故选：C． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可. 【详解】解：选项A： 将化为分数，则，被开方数含分母，不符合最简二次根式条件，需分母有理化，故排除； 选项B： 分解被开方数，无平方数因数，且不含分母，满足最简二次根式的条件； 选项C： 被开方数含分母，不符合条件，需化为，故排除； 选项D： 分解被开方数，含平方因数，可化简为，故排除； 综上，只有选项是最简二次根式， 故选：B 3．(24-25八下·湖南长沙浏阳·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、被开方数无法分解为平方数或含分母的形式，且无开得尽方的因数，是最简二次根式． 故选：D． 4．(24-25八下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期中)下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数不含开的尽方的因式或因数，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 5．(24-25八下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方数中都不含分母，并且也不含有能开的尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫做最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有能开的尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 6．(24-25九上·湖南衡阳衡阳四校·期中)下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据定义进行化简判断即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； 是最简二次根式，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选B． 地 城 考点03 二次根式的混合运算 1．(24-25九下·湖南娄底涟源·期中)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根、立方根、负整数指数幂、二次根式的乘法．根据算术平方根、立方根、负整数指数幂以及二次根式的乘法法则计算逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 2．(23-24八下·湖南长沙宁乡·期中)下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘除法及利用二次根式的性质化简，根据二次根式的运算法则逐一计算验证正误即可． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误， 故选：C． 3．(24-25八下·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校·期中)比较大小： 3（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，将两个实数平方即可比较出大小． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：>． 4．(23-24八下·湖南湘西·期中)计算的结果为 ． 【答案】10 【分析】根据二次根式的乘法公式计算即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】， 故答案为：10． 5．(23-24八下·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 6．(23-24九下·湖南邵阳邵东·期中)已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值问题，也考查二次根式的乘法运算，利用平方差公式进行因式分解是解决本题的关键． 将原式进行因式分解，然后整体代入求值． 【详解】解：， 故答案为：． 7．(23-24七下·湖南衡阳衡南县栗江镇隆初级中学·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． （1）先计算立方根，二次根式的乘法运算，再合并即可； （2）先化简绝对值，计算算术平方根，立方根，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 8．(23-24八下·湖南长沙长沙县百熙实验中学·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的性质化简，同时把除法变成乘法，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．(23-24八下·湖南长沙湖南师大附中教育集团·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先利用平方差公式、单项式乘以多项式进行化简，再代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， 把代入上式中，原式． 10．(24-25八下·湖南长沙长沙县春华镇春华中学·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的乘法进行运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再合并同类项即可； 【详解】（1）解： （2）解：， 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的性质，二次根式的加减法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质等计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解∶原式 12．(24-25八下·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 13．(24-25八下·湖南长沙长沙县春华镇春华中学·期中)已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）首先求出，，根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）首先求出，根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 14．阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可； （2）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解； ． 15．(24-25八下·湖南长沙浏阳·期中)【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数a，b满足，求a，b的值． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题的关键． （1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可； （2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可． （3）把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较； （4）先把等式左边各项分母有理化，根据为有理数，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 的有理化因式为， 故答案为：； ， 故答案为：． （2） ； （3），理由如下： ， ∴ ； （4） ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $