专题02 二次根式的运算和化简求值问题的八种模型（高效培优专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题02二次根式的运算和化简求值问题的八种模型 目录 题型一：二次根式的乘除混合运算 1 题型二：同类二次根式 2 题型三：分母有理化 2 题型四：二次根式的混合运算 3 题型五：已知字母的值，化简求值 4 题型六：已知条件式，化简求值 4 题型七：二次根式的应用 4 题型一：二次根式的乘除混合运算 1．计算： ． 2．按下列步骤计算： = = 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)． (2)． 5．计算： 6．计算： (1)； (2)． 题型二：同类二次根式 7．下列各组二次根式是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．能与合并的是（　　） A． B． C． D． 9．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 10．若最简二次根式与可以合并，使有意义的的取值范围是 ． 11．若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 12．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 题型三：分母有理化 13．观察以下各式： ，，，利用以上规律计算： ． 14．化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果 ①________； ②________． (2)应用：化简． 15．阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 题型四：二次根式的混合运算 16．计算： (1)； (2) 17．计算． (1)； (2)． 18．计算：． 19．计算： (1)； (2) 20．计算： 21．计算： (1)； (2)． 题型五：已知字母的值，化简求值 22．已知，则 ． 23．已知，，则的值是 ． 24．先化简，再求值：，其中． 25．已知：，．求的值． 26．已知：求值： (1) (2)． 27．已知，，求和的值． 题型六：已知条件式，化简求值 28．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 29．已知，则的值为 ． 30．已知，求的值． 31．已知，求的值． 题型七：二次根式的应用 32．若正方形的边长为，则此正方形的面积约是（    ） A．0.20 B．0.19 C．0.18 D．0.17 33．图是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图所示的正方形，则该正方形的边长为 ． 34．如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 35．某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 36．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛物到落地所需时间是多少，从高空抛物到落地所需时间是多少； (2)是的多少倍？ 题型八：比较二次根式的大小 37．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 38．比较大小： ． 39．比较大小： （1） ； （2） ．   40．比较大小关系： ， ． 41．试比较与的大小． 42．阅读下面的解题过程，回答问题．   ……………………………    第一步 …………………………    第二步 ………………………………    第三步 …………………………………    第四步 (1)以上解题过程从第几步开始出现错误？ (2)比较与的大小，并写出你的判断过程．   2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02二次根式的运算和化简求值问题的八种模型 目录 题型一：二次根式的乘除混合运算 1 题型二：同类二次根式 4 题型三：分母有理化 6 题型四：二次根式的混合运算 9 题型五：已知字母的值，化简求值 12 题型六：已知条件式，化简求值 14 题型七：二次根式的应用 16 题型一：二次根式的乘除混合运算 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．按下列步骤计算： = = 【答案】 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：，． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）根据二次根式的除法运算法则即可求出答案； （2）根据二次根式的乘除运算法则运算即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 5．计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘法，然后化简二次根式即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二：同类二次根式 7．下列各组二次根式是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，理解其定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A：，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B：，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C：，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D：，与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B ． 8．能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，与不能合并，故此选项不符合题意； B、，与不能合并，故此选项不符合题意； C、，与能合并，故此选项符合题意； D、，与不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 9．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 10．若最简二次根式与可以合并，使有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知得出，求出的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得∶， 要使有意义，必须≥， 解得： 故答案为： 11．若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的定义得出，即可求出m的值，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：4． 12．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可．熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：． 题型三：分母有理化 13．观察以下各式： ，，，利用以上规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式，根据进行分母有理化，再利用平方差公式求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14．化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果 ①________； ②________． (2)应用：化简． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）先进行分母有理化，然后进行计算即可得到答案； 【详解】（1）解：①； ② （2）解：原式 ． 15．阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；② (3)， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可； （2）①根据有理化因式得到，，即可比较大小； ②仿照题意根据分母有理化的方法得到，再把所求式子裂项求解即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， ， 故答案为：，； （2）解：①，， ，， ， ， ， 故答案为：； ②∵ ， ． （3）解： ， ， ， ， ，， ． 题型四：二次根式的混合运算 16．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式减法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，完全平方公式和平方差公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据二次根式的运算法则化简并计算即可． 【详解】解： ． 19．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简各二次根式后合并同类二次根式； （2）根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式和绝对值，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型五：已知字母的值，化简求值 22．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题可先对所求代数式进行变形，使其出现与已知条件中的表达式相关的形式，然后将代入变形后的式子进行计算．本题主要考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，并能对代数式进行灵活变形是解题的关键． 【详解】解：． 当时，原式 ， 故答案为：． 23．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知求出，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； ； ； ∴， 故答案为：． 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将括号内的分式通分并计算，然后将除法化为乘法并约分，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 25．已知：，．求的值． 【答案】97 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 26．已知：求值： (1) (2)． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了分母有理化，已知字母的值求式子的值，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得到再代入进行计算，即可作答． （2）先整理得到再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得 ∴ ． （2）解：由（1）得 ∴ ． 27．已知，，求和的值． 【答案】，6 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． 【详解】解：； ． 题型六：已知条件式，化简求值 28．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 29．已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 30．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简，再分、同正或同负两种情况作答． 【详解】解：， 、同号， 原式， 当时，原式； 当时，原式； 故原式． 31．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 题型七：二次根式的应用 32．若正方形的边长为，则此正方形的面积约是（    ） A．0.20 B．0.19 C．0.18 D．0.17 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，完全平方公式及无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法法则结合完全平方公式求出正方形的面积为，再估算即可． 【详解】解：根据题意正方形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此正方形的面积约是． 故选：D． 33．图是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图所示的正方形，则该正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】依据题意，由长方形的周长与正方形的周长相等，进而可以计算得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能准确进行计算是关键． 【详解】解：由题意得，长方形的周长正方形的周长． 又用铁丝围成的长为，宽为的长方形， 正方形的周长长方形的周长． 正方形的边长为：． 故答案为：． 34．如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据公式计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 35．某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键； （1）依据题意，由铝合金板的长：（分米），可得另一边长为：（分米），则剩余材料的面积：（平方分米），即可得解； （2）依据题意，由，但，即可判断得解． 【详解】（1）解：铝合金板的长：（分米）， 另一边长为：（分米）， 剩余材料的面积：（平方分米）． （2）解：不能裁出；理由：（分米），（分米）， ，但， 不能裁出． 36．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛物到落地所需时间是多少，从高空抛物到落地所需时间是多少； (2)是的多少倍？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将和分别代入，即可求出对应的时间和． （2）用除以，通过化简计算得出结果． 本题主要考查了二次根式的代入求值与化简运算，熟练掌握二次根式的运算规则是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，（s） 当时，（s） （2）解：， 因此，是的倍． 题型八：比较二次根式的大小 37．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 38．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，先比较两数的绝对值，再根据绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 39．比较大小： （1） ； （2） ．   【答案】 【分析】（1）将与分别平方后比较大小即可． （2）将根式外的数移到根号内，再比较被开方数的大小． 本题主要考查了实数大小的比较，特别是含有根式的实数大小比较．熟练掌握将含有根式的数进行平方或移到根号内进行比较的方法是解题的关键． 【详解】解：（1） ， ， ∵，且，， ∴． 故答案为：； （2）， ， ∵， ∴． 故答案为：． 40．比较大小关系： ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据二次根式运算及分母有理化比较无理数的大小，根据二次根式的乘方及分母有理化计算比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，． 41．试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查比较两个数大小的方法，熟练掌握作差法比较两数大小关系是解题的关键：将与进行作差，比较差值与0的大小关系即可判断这两个数的大小． 【详解】， ． 42．阅读下面的解题过程，回答问题．   ……………………………    第一步 …………………………    第二步 ………………………………    第三步 …………………………………    第四步 (1)以上解题过程从第几步开始出现错误？ (2)比较与的大小，并写出你的判断过程．   【答案】(1)第二步 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行判断即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后比较大小即可． 【详解】（1）解： ． ∴解题过程从第二步开始出现错误； （2）解：，理由如下： ，， ∵， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$