微考点 恒成立中的共零点4类常见考点全归纳讲义-备战2026年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用)

微考点 恒成立中的共零点4类常见考点全归纳 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 单变号零点×单变号零点 考点二 单变号零点×双变号零点 考点三 双变号零点×双变号零点 考点四 隐形的共零点 一、基本原理 我们定义:的解区间为的正值区间,的解区间为的负值区间. 1.假设对任意的恒成立,说明与有相同的正值区间,即它们需要有共同的解区间端点,如果有零点,那么这两个函数的零点必须是共有的. 如图1,二次函数与具有相同的正值区间,有相同的负值区间具有相同的零点. 图1基本原理1示意图 图2基本原理2示意图 2.假设对任意的恒成立,说明的正值区间是的负值区间或者的负值区间是的正值区间,此时它们也需要有共同的解区间端点,如果有零点,那么这两个函数的零点也必须是共有的. 如图2,二次函数的正值区间与的负值区间均为,二次函数的负值区间与的正值区间均为,具有相同的零点. 3.这些零点有的是变号零点，有的是不变号零点，可以按照以下解决策略进行： ①对于变号零点，可以利用“分离函数+数形结合”分析； ②对于不变号零点，利用“续轴标根法（穿针引线法）”分析， ③复杂问题，先讨论参数范围，转化为恒成立问题或者共零点问题. 二、共零点法的应用举例 1.直接求参数的值 【典例1】设,若时均有,则_____. 【解析】因为若时均有,又在上有一个零点,所以只需在上具有相同的零点且,的零点为,所以,解得或,又,所以 注：若两个函数乘积恒大于0(或小于0)且在定义域内有零点,则这两个函数在定义域内有相同的零点 【典例2】设,若时,恒有,则_____. 【解析】因为时,恒成立,所以令,得,所以,即,所以,即对任意的恒成立,所以函数与具有相同的零点,所以,所以,所以. 注：本题解题的关键是找到隐藏着的的关系,通过因式分解,转化为两函数乘积不等式恒成立问题,即,从而使用共零点法求解. 2.利用双参数的制约关系求范围与最值 【典例3】若不等式对任意的恒成立,则( ). A. B. C. D. 【解析】由于时,,而不等式对任意的恒成立,所以时,,即.又因为在上需具有相同的零点,所以,得,故选B. 【典例4】若对于任意的都有恒成立,则的取值范围为_____. 【解析】由题意得,函数有相同的零点,记为,则,所以,设,则在上单调递增,且0,所以当时,,当时,,所以在(-1,0)上单调递减,在上单调递增,所以,又当时,,当时,,所以的值域为,即. 注：此题通过零点相同,把目标函数表示为关于隐零点的函数,再利用导数求函数的值域,从而求得范围. 【典例5】已知当时,均有不等式成立,则实数的取值范围为_____. 【解析】当时,,解得,不合题意,舍去;当时,由于无零点,所以只需成立,即恒成立,又,可得; 当时,由于有零点,所以也是的零点,所以,解得. 综上所述,的取值范围为. “共零点法解题”是解决函数乘积不等式恒成立问题的一种方法,通常用于解决涉及函数的零点或方程根的问题.这种方法的核心思想是利用已知条件来确定一个或多个函数的共同零点,从而解决问题.要注意,当一个函数的零点情况不确定的时候,需要根据情况分类讨论,无零点的情况,一般转化为恒成立问题,有零点的情况,用共零点法求解 考点一 单变号零点×单变号零点 1.设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2.已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为_________． 3.若关于的不等式在（0，+）上恒成立，则实数的取值范围是 ． 4.设函数，其中，，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 考点二 单变号零点×双变号零点 5.设，若时均有，则_________． 6.已知函数，当时，，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 7．若对任意，不等式恒成立，则实数的值是 . 8．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 9．若对任意的，恒成立，则实数a= ． 10．已知函数对定义域内的任意，有恒成立，则的取值范围 （请用区间表示） 11．若存在实数使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 13．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为 ； 14．设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 15．若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 17．已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 18．当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 19．若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 考点三 双变号零点×双变号零点 20.若不等式对任意实数恒成立，则（） A．B．0 C．1 D．2 21.若不等式对恒成立，则的值等于（ ） A． B． C．1 D．2 22.已知，满足在定义域上恒成立，则的值为． 23.若在上始终成立，则的值为 ． 24.若不等式对恒成立，则 . 考点四 隐形的共零点 25.已知函数在上单调递增，则实数的取值集合为_________． $微考点 恒成立中的共零点4类常见考点全归纳 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 单变号零点×单变号零点 考点二 单变号零点×双变号零点 考点三 双变号零点×双变号零点 考点四 隐形的共零点 一、基本原理 我们定义:的解区间为的正值区间,的解区间为的负值区间. 1.假设对任意的恒成立,说明与有相同的正值区间,即它们需要有共同的解区间端点,如果有零点,那么这两个函数的零点必须是共有的. 如图1,二次函数与具有相同的正值区间,有相同的负值区间具有相同的零点. 图1基本原理1示意图 图2基本原理2示意图 2.假设对任意的恒成立,说明的正值区间是的负值区间或者的负值区间是的正值区间,此时它们也需要有共同的解区间端点,如果有零点,那么这两个函数的零点也必须是共有的. 如图2,二次函数的正值区间与的负值区间均为,二次函数的负值区间与的正值区间均为,具有相同的零点. 3.这些零点有的是变号零点，有的是不变号零点，可以按照以下解决策略进行： ①对于变号零点，可以利用“分离函数+数形结合”分析； ②对于不变号零点，利用“续轴标根法（穿针引线法）”分析， ③复杂问题，先讨论参数范围，转化为恒成立问题或者共零点问题. 二、共零点法的应用举例 1.直接求参数的值 【典例1】设,若时均有,则_____. 【解析】因为若时均有,又在上有一个零点,所以只需在上具有相同的零点且,的零点为,所以,解得或,又,所以 注：若两个函数乘积恒大于0(或小于0)且在定义域内有零点,则这两个函数在定义域内有相同的零点 【典例2】设,若时,恒有,则_____. 【解析】因为时,恒成立,所以令,得,所以,即,所以,即对任意的恒成立,所以函数与具有相同的零点,所以,所以,所以. 注：本题解题的关键是找到隐藏着的的关系,通过因式分解,转化为两函数乘积不等式恒成立问题,即,从而使用共零点法求解. 2.利用双参数的制约关系求范围与最值 【典例3】若不等式对任意的恒成立,则( ). A. B. C. D. 【解析】由于时,,而不等式对任意的恒成立,所以时,,即.又因为在上需具有相同的零点,所以,得,故选B. 【典例4】若对于任意的都有恒成立,则的取值范围为_____. 【解析】由题意得,函数有相同的零点,记为,则,所以,设,则在上单调递增,且0,所以当时,,当时,,所以在(-1,0)上单调递减,在上单调递增,所以,又当时,,当时,,所以的值域为,即. 注：此题通过零点相同,把目标函数表示为关于隐零点的函数,再利用导数求函数的值域,从而求得范围. 【典例5】已知当时,均有不等式成立,则实数的取值范围为_____. 【解析】当时,,解得,不合题意,舍去;当时,由于无零点,所以只需成立,即恒成立,又,可得; 当时,由于有零点,所以也是的零点,所以,解得. 综上所述,的取值范围为. “共零点法解题”是解决函数乘积不等式恒成立问题的一种方法,通常用于解决涉及函数的零点或方程根的问题.这种方法的核心思想是利用已知条件来确定一个或多个函数的共同零点,从而解决问题.要注意,当一个函数的零点情况不确定的时候,需要根据情况分类讨论,无零点的情况,一般转化为恒成立问题,有零点的情况,用共零点法求解 考点一 单变号零点×单变号零点 1.设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【分析】由已知可得，函数与函数在定义域内有相同的零点，即可得，代入可得最值． 【详解】由题意可知：的定义域为，令，则， 与在定义域内为增函数， 对任意恒成立， 与有相同的正值区间和有相同的负值区间， 这两个函数的零点必须是共有的， 等介于函数和在定义域内有相同的零点， 令解得；令解得； 即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 2.已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为_________． 【解析】只须与的零点重合，所以，解得． 3.若关于的不等式在（0，+）上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令， 令． （1） 当时，，不符合题意； （2） 当时，在上恒为负，在上恒为正；在上单调递增，则需 ,此时，符合题意； （3） 当时，在恒为负；在单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值也即是最大值，，解得． 4.设函数，其中，，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立，分类讨论得出，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令，则或， 因为在上恒成立，其中，， 当时，则恒成立，即有； 当时，显然不等式恒成立； 当时，则恒成立，即有. 综上，， 又，，则，当且仅当时取等号. 所以的最小值是. 故选：A. 考点二 单变号零点×双变号零点 5.设，若时均有，则_________． 【解析】设．注意到都过定点，如图所示，分析易知两个函数有共同的零点，即且，解得． 6.已知函数，当时，，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，先画出的图象，函数过点， 若， 当时， 那么函数也必须过点， 即， 那么， 另外一个实根是，需满足条件， 解得：， 故选：C. 7．若对任意，不等式恒成立，则实数的值是 . 【答案】 【分析】不等式转化成，结合和在上的单调性即可求解. 【详解】因为，所以恒成立，即恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 若要满足不等式恒成立，则必须两函数图象交于轴正半轴上一点（否则必存在，使）， 所以当，即且时，原不等式恒成立， 所以（负值舍去）. 故答案为： 8．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 9．若对任意的，恒成立，则实数a= ． 【答案】/ 【分析】分两种情况分别化简恒成立为等价不等式组计算求参即可. 【详解】对任意的，恒成立， 当时，对任意的或恒成立， 当恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 在单调递增，所以恒成立转化为， 所以，得； 当恒成立， ，开口向上，对称轴为， 在单调递增，所以恒成立转化为， 所以，得； 综上； 当时，对任意的，恒成立， ，开口向上，对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以不能恒成立，所以无解； 所以上. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解题的思路是分类讨论，把不等式应用符号法分为两部分，分别恒成立计算求参. 10．已知函数对定义域内的任意，有恒成立，则的取值范围 （请用区间表示） 【答案】 【分析】根据题意由在不同区间上的符号确定出函数的取值，再对的取值进行分类讨论，结合二次函数性质得出不等式可求得的取值范围. 【详解】易知函数的定义域为， 若对定义域内的任意，有恒成立， 显然满足题意； 当时，，则在上恒成立， 当时，，则在上恒成立； 即可知函数在和上的符号相反， 当时，，，符合题意； 时，可得，此时在上恒成立； 为保证在上恒成立，可知即可，解得； 综上可知，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用的定义域及其在不同区间上的符号，转化为二次函数在某区间上恒成立问题，即可实现问题求解. 11．若存在实数使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定满足条件，在，分，，讨论确定的范围，由此可得结论. 【详解】若，当时， 当时，不等式成立， 当时，不等式成立， 当时，不等式成立， 所以满足条件， 若， 当时，不等式对任意的成立， 当时，不等式可化为， 又抛物线的对称轴方程为， 由已知，且， 当时，不等式可化为， 由已知结合条件，且可得， ，且， 所以的取值范围是， 综上：； 故选：A. 12．已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得，的关系，消再利用基本不等式求解最值可得． 【详解】设，，又，所以在单调递增， 当时，；当时，，由图象开口向上，，    可知方程有一正根一负根，即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意知，则当时，； 当时，， 所以是方程的根，则，即，且， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 则的最小值是8. 故选：C 13．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为 ； 【答案】 【分析】令可得，解得，进而分析可知原不等式等价于在上恒成立，结合二次函数分析求解即可. 【详解】因为不等式在上恒成立， 令可得，解得， 若，则在上恒成立， 原不等式等价于在上恒成立， 因为二次函数的图像开口向上，对称性， 当，即时， 则在上恒成立，符合题意； 当，即时，则， 可知，符合题意； 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 14．设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 15．若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分，和讨论，再利用二次函数根的分布得到不等式，解出的范围，再计算得，即可得到其最小值. 【详解】当时，，则需， 当时，恒成立， 当时，，则需. 设，则， 解得或， 所以，当时，取得最小值，且最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对的分类讨论，从而得到一元二次方程根的分布情况，得到相关不等式和等式，再换元计算即可. 16．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 17．已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【详解】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 18．当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】将不等式分解可得，根据不等式恒成立对的取值分类讨论可得结果. 【详解】由已知可得， 易知该不等式对应的三个根为，且恒成立； 由已知时，不等式恒成立， 则需满足（1），解得成立； （2）时，，，解得成立； 综上可得或. 故答案为：或 19．若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法，把原不等式转化为恒成立问题，再分，，讨论即可. 【详解】设，则，. 原不等式可化为：. 因为，所以，. 当时，，所以在恒成立，所以； 当时，，所以成立； 当时，，所以在上恒成立，所以. 综上可得：. 故选：A 考点三 双变号零点×双变号零点 20.若不等式对任意实数恒成立，则（） A．B．0 C．1 D．2 【解析】本题是对任意的恒成立的模型，同时发现和均有两个零点，依题意只须与的零点重合即可. 如图，作出的图象，易知； 平移图象，依题意只须与的零点重合即可，即知；同时，结合对称性，易知，即，代入，故．则，故选D. 【题后反思】对于“双变号零点双变号零点”的情形，很多问题都存在着对称性，通过零点相等和对称性的特征，便可求出结果． 21.若不等式对恒成立，则的值等于（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设，得出的符号变化情况，根据的单调性和对称性即可得出，的值． 【详解】解：当或时，， 当时，， 当或时，，当时，， 设，则在上单调递减，在上单调递增， 且的图象关于直线对称， ， ，即，又，故． ． 故选：B． 22.已知，满足在定义域上恒成立，则的值为． 【解析】令，则 在定义域上恒成立， 由恒成立问题中的共零点问题得：和有共同零点， 由得， 也是的零点， 得． 23.若在上始终成立，则的值为 ． 【解析】，． 由恒成立问题中的共零点问题得：的两个零点为1和， 的两根也为1和， 解得． 24.若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 考点四 隐形的共零点 25.已知函数在上单调递增，则实数的取值集合为_________． 【解析】本题并不是或对任意的恒成立的模型.但通过求导之后便知（一定要进行因式分解）在上恒成立，按共零点考虑. 由，即在上恒成立，则的零点0也是的零点，即，解得． 【题后反思】对于不是直接是乘积形式出现的问题，绝大可能是需要考虑能否进行因式分解，再利用共零点分析解决． $