21.2 3.二次函数表达式的确定（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

2025秋季学期 《学练优》·九年级数学上·HK 第21章　二次函数与反比例函数 21.2　二次函数的图象和性质 ＊3.二次函数表达式的确定 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　利用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二 次函数的表达式 1. 抛物线y＝x2＋x＋c与y轴的交点坐标为(0，－ 3)，则抛物线的表达式为(　B　) A. y＝x2＋x＋3 B. y＝x2＋x－3 C. y＝x2＋3x＋c D. y＝x2－3x＋c B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 2. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数 的表达式为(　B　) A. y＝x2－2x＋3 B. y＝x2－2x－3 C. y＝x2＋2x－3 D. y＝x2＋2x＋3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 3. 教材P22例4变式 已知二次函数y＝x2＋bx＋c， 当x＝－2时，y＝3，当x＝1时，y＝－3，则该二 次函数的表达式为 ，当x＝2时， y＝ ⁠. y＝x2－x－3　 －1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 x －1 0 1 ax2 1 ax2＋bx＋c 8 3 求此二次函数的解析式. 4. (2025·安庆大观区期中)若二次函数y＝ax2＋bx ＋c中，部分对应数值如下表所示： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解：把x＝1代入ax2＝1，解得a＝1. 把x＝0代入ax2＋bx＋c＝3， 得0＋0＋c＝3，解得c＝3. 把x＝－1，a＝1，c＝3代入ax2＋bx＋c＝8，得1 －b＋3＝8， 解得b＝－4. ∴此二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3. 解：把x＝1代入ax2＝1，解得a＝1. 把x＝0代入ax2＋bx＋c＝3， 得0＋0＋c＝3，解得c＝3. 把x＝－1，a＝1，c＝3代入ax2＋bx＋c＝8，得1 －b＋3＝8， 解得b＝－4. ∴此二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 知识点二　利用顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)求二 次函数的表达式 5. 已知某抛物线与二次函数y＝－5x2的图象的开口 大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为(1， 2025)，则该抛物线对应的函数表达式为(　A　) A. y＝5(x－1)2＋2025 B. y＝－5(x－1)2＋2025 C. y＝5(x＋1)2＋2025 D. y＝－5(x＋1)2＋2025 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 6. 已知某抛物线如图所示，其中点A为顶点，则该 抛物线的解析式为 . y＝2(x－2)2－4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. (2025·合肥瑶海区期中)已知抛物线的顶点坐标是 (1，－5)，且过点(0，－3)，求抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k. ∵抛物线的顶点坐标是(1，－5)， ∴y＝a(x－1)2－5. 把(0，－3)代入y＝a(x－1)2－5， 得－3＝a(0－1)2－5，解得a＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5. 解：设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k. ∵抛物线的顶点坐标是(1，－5)， ∴y＝a(x－1)2－5. 把(0，－3)代入y＝a(x－1)2－5， 得－3＝a(0－1)2－5，解得a＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 知识点三　利用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)求 二次函数的表达式 8. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x ＝1，且与x轴的一个交点为(－2，0)，则与x轴的 另一个交点坐标为 ，它对应的函数表达 式是 (化为一般式). (4，0)　 y＝－x2＋2x＋8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 9. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且 该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线对应的函 数表达式为(　D　) A. y＝－ x2－2x B. y＝－ x2＋2x C. y＝ x2－2x D. y＝ x2＋2x D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 10. 若直线y＝kx＋4和抛物线y＝ax2－x＋c都经 过点A(2，0)，且与y轴有相同的交点，则抛物线的 解析式为 ⁠. y＝－ x2－x＋4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 11. 如图，▱ABCD的边AB在x轴正半轴上，AB＝ 2，点D的坐标是(0，－4)，以点C为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋12(a＞0)经过点A，B. 求抛物线对应 的函数表达式. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB＝2. ∵点D的坐标是(0，－4)，∴点C的坐标为(2，－ 4). ∵点C为抛物线y＝ax2＋bx＋12(a＞0)的顶点， ∴抛物线的表达式可设为y＝a(x－2)2－4， 即y＝ax2－4ax＋4a－4. ∴4a－4＝12，解得a＝4. ∴抛物线对应的函数表达式为y＝4x2－16x＋12. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB＝2. ∵点D的坐标是(0，－4)，∴点C的坐标为(2，－4). ∵点C为抛物线y＝ax2＋bx＋12(a＞0)的顶点， ∴抛物线的表达式可设为y＝a(x－2)2－4， 即y＝ax2－4ax＋4a－4. ∴4a－4＝12，解得a＝4. ∴抛物线对应的函数表达式为y＝4x2－16x＋12. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12. 新考向 定义新概念 定义：将抛物线平移，有一 个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线 上，则称这个点为“平衡点”. 应用：现将抛物线C1：y＝x2＋2x＋5向右平移a(a ＞0)个单位长度，向下平移3个单位长度，得到新的 抛物线C2，若(－2，b)为“平衡点”，求抛物线C2 的表达式. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解：∵抛物线C1的函数表达式为y＝x2＋2x＋5＝ (x＋1)2＋4， ∴平移后所得抛物线C2的函数表达式为y＝(x－a ＋ 1)2＋1. ∵(－2，b)为“平衡点”，则将此点坐标代入y＝ x2＋2x＋5， 得b＝4－4＋5＝5， ∴此点坐标为(－2，5). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解得a＝－3或a＝1. ∵a＞0，∴a＝1. ∴抛物线C2的表达式为y＝x2＋1. 将(－2，5)代入C2的函数表达式，得(－2－a＋1)2＋ 1＝5， 解得a＝－3或a＝1. ∵a＞0，∴a＝1. ∴抛物线C2的表达式为y＝x2＋1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 13. (2025·合肥庐阳区期中)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与坐标轴交于A(－3，0)，B(0，3)两点，点M，N在x轴上，且横坐标分别是t和t＋2，过点M作直线MD∥y轴交抛物线于点D，线段DN的中点为C. (1)求b和c的值； 解：(1)将点A，B的坐标代入抛物线的表达式， 得 解得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)若点D在x轴上方且满足MC＝ ，求t的值； 解：(2)由题意可得MN＝2， ∵MD∥y轴，∴△DMN为直角三角形. ∵点C为DN的中点，MC＝ ， ∴DN＝2 .∴由勾股定理得DM＝4. 由(1)知，抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3， ∵点D的横坐标为t，∴－t2－2t＋3＝4， 解得t1＝t2＝－1，即t的值为－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∵点D的横坐标为t，∴－t2－2t＋3＝4， 解得t1＝t2＝－1，即t的值为－1. (3)新考法 模型观念 设点C的坐标为(m，n)，求n 与m之间的函数关系式. 解：(3)由题可得D(t，－t2－2t＋ 3)， 则点N(t＋2，0)， ∴由中点公式得m＝t＋1，n＝ . 将t＝m－1代入n＝ 中， 得n＝ [－(m－1)2－2(m－1)＋3] ＝－ m2＋2， 即n与m之间的函数关系式为n＝－ m2＋2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 $