2.2.1 有理数的乘法教学设计2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦有理数乘法法则及运算律，课堂导入通过“向后走速度与时间”的实际情境（如每分钟-3米走2分钟的位置），衔接正数与0的乘法旧知，引导探究负数参与的乘法运算，构建从具体到抽象的学习支架，为后续除法、乘方学习奠基。 资料以问题驱动探究，通过观察乘数递变算式（如3×2到3×(-1)的规律推导）归纳“同号得正，异号得负”法则，发展抽象能力与推理意识，结合运算律实例验证（如(-2)×(-5)=10理解负负得正）培养运算能力。对学生提升符号意识与归纳能力，对教师提供结构化探究流程与分层例题，助力高效教学。

初中数学人教版（2024）七年级上册 2.2.1 有理数的乘法 课标分析 根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本课内容属于"数与代数"领域，要求学生掌握有理数乘法法则及其运算律。课标强调通过观察算式规律，引导学生归纳得出"同号得正，异号得负"的乘法法则（如），理解倒数的概念（如与互为倒数）。同时要求掌握乘法交换律（）、结合律（）和分配律（），并能运用"负因数个数确定积的符号"的规律进行多个有理数的乘法运算（如）。这些内容培养了学生的运算能力和推理意识。 教材分析 本节课通过观察正数与0的乘法规律，引导学生将运算扩展到有理数范围，借助数列变化趋势归纳出有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值等于各乘数绝对值的积，同时明确任何数与0相乘结果为0；进而通过具体算式探究乘法交换律、结合律和分配律在有理数范围内仍然成立，并推广到多个有理数相乘时积的符号由负因数个数决定的规律。教学过程以问题驱动、规律探究为主线，引导学生从特殊到一般进行归纳推理。本节内容承接有理数加减运算，是进一步学习有理数除法、乘方及代数式运算的基础。通过本课学习，学生不仅能掌握有理数乘法的计算技能，还能发展符号意识和运算能力，理解运算律的一致性，为后续代数运算和函数学习奠定坚实基础。 学情分析 七年级学生已掌握正数及0的乘法运算，并学习了有理数的加减法，具备初步的数轴与相反数概念，为学习有理数的乘法奠定了基础，同时，该阶段学生正处于由具体运算向抽象思维过渡的关键期，能通过观察算式规律进行归纳推理，但对负数参与运算的符号规则理解仍存在困难，本节课要求学生通过观察乘数递变引起的积的变化规律，自主发现并归纳有理数乘法法则，特别是的合理性，帮助学生建立“同号得正，异号得负”的符号判断意识，并结合绝对值运算确定积的大小，理解乘法运算律在有理数范围内仍然成立，从而发展学生的归纳能力、符号意识和运算能力，为后续学习代数式运算、方程与函数提供必要的运算基础。 教学目标 1. 理解有理数乘法法则的推导过程，掌握两数相乘的符号规则与绝对值运算，通过归纳算式规律，发展符号意识和逻辑推理能力，提升数学抽象与运算能力核心素养。 2. 运用有理数乘法法则进行运算，能正确确定积的符号和绝对值，通过多步计算训练，提高运算准确性和数学表达的规范性，增强数学运算与推理能力。 3. 探索并验证乘法运算律在有理数范围内的适用性，理解交换律、结合律和分配律的意义，培养类比推理能力，发展逻辑思维与数学建模素养。 4. 分析多个有理数相乘时积的符号规律，掌握含零与负数相乘的结果特征，通过归纳总结提升概括能力和分类讨论意识，强化逻辑推理与运算能力。 重点难点 重点：理解并掌握有理数乘法法则，会运用运算律进行有理数乘法运算。 难点：理解有理数乘法法则的归纳过程，准确确定多个有理数相乘时积的符号。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了有理数的加法法则，请回顾有理数加法运算时，是如何确定和的符号与绝对值的？并计算和。 2.预习教材： 阅读教材中有理数乘法法则及运算律的内容。了解有理数乘法法则如何从正数、0的乘法推导而来，关注乘法运算律的探究过程。把乘法法则、运算律及自己的疑问记录在预习笔记上。 3.问题思考： 观察式子与，根据有理数加法的符号确定方法，思考这两个乘法式子的积的符号与绝对值该如何确定？猜测有理数乘法的规律。 课堂导入 同学们，我们已经学过正数及 0 的乘法运算，比如去商店买文具，一支笔 3 元，买 5 支，元。现在数的范围扩大到有理数了，如果规定向前走为正，向后走为负，一个人以每分钟 3 米的速度向后走，2 分钟后他在什么位置呢？从位置变化角度看，就需要计算 。类似这样涉及有理数的乘法该怎么运算呢？今天我们就一起来探究有理数的乘法法则，看看如何解决这类新问题。 有理数的乘法法则 探究新知 （1） 知识精讲 首先，我们通过观察两组乘法算式来探究有理数乘法的规律。请看第一组算式： 可以发现，随着第二个乘数逐次递减1，积也逐次递减3。为了使这个规律在引入负数后仍然成立，我们可以推导出： 再看第二组算式： 同样地，随着第一个乘数逐次递减1，积也逐次递减3。将这个规律推广到负数范围，可以得到： 通过观察这些算式，我们可以归纳出有理数乘法的符号规律：正数乘正数得正数，正数乘负数得负数，负数乘正数也得负数。积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 接下来，我们继续探究负数乘负数的规律。观察下面的算式： 可以发现，随着第二个乘数逐次递减1，积反而逐次增加3。按照这个规律，我们可以推导出： 由此我们得出有理数乘法的重要结论：负数乘负数得正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 综合以上规律，我们可以总结出有理数乘法的完整法则： 1. 两数相乘，同号得正，异号得负； 2. 积的绝对值等于乘数的绝对值的积； 3. 任何数与0相乘，都得0。 用数学符号表示就是： 设、为正有理数，为任意有理数，则 最后，我们引入倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。例如，和互为倒数，因为。 （二）师生互动 教师提问：同学们，我们已经知道，那么的结果是多少呢？为什么？ 学生回答：也是，因为乘法交换律在有理数范围内仍然成立，所以。 教师追问：很好！那么的结果是多少？你能解释为什么结果是正数吗？ 学生思考后回答：结果是20。因为根据有理数乘法法则，负数乘负数得正数，且，所以。 教师继续提问：如果两个数的乘积是1，比如和，它们之间有什么关系？ 学生回答：它们互为倒数，因为。 （三）设计意图 通过观察具体算式和归纳推理，引导学生发现有理数乘法的规律，培养学生的观察能力和逻辑推理能力。从特殊到一般的推导过程，帮助学生理解有理数乘法法则的形成过程，掌握"同号得正，异号得负"的符号法则。通过师生互动，巩固学生对乘法法则的理解，特别是负数乘负数为正数这一难点。整个探究过程注重培养学生的数学思维能力和严谨的学习态度，让学生体会数学规律的普遍性和一致性。 新知应用 例题： 计算： (1) ; (2) ; (3) 解答： (1) 计算 · 首先判断两个数的符号：一个是正数 ，另一个是负数 ，属于异号相乘。 · 根据有理数乘法法则：“异号得负”，所以积的符号为负。 · 再计算绝对值的乘积：，，所以 。 · 因此，结果为负的 ，即： (2) 计算 · 两个数都是负数： 和 ，属于同号相乘。 · 根据有理数乘法法则：“同号得正”，所以积的符号为正。 · 计算绝对值的乘积：，， 所以 。 · 因此，结果为正的 ，即： · 注意：这里乘积为 ，说明这两个数互为倒数。 (3) 计算 · 两个数都是负数，属于同号相乘，因此积为正数。 · 先去掉符号，计算绝对值的乘积： · 因为同号得正，所以结果为： 总结： 1.题目考查内容 ① 有理数乘法法则的应用：同号得正、异号得负； ② 积的绝对值等于各乘数绝对值的积； ③ 分数形式的有理数相乘的运算方法； ④ 倒数概念的初步引入（当乘积为1时）。 2.题目求解要点 ① 第一步始终是判断符号：看两数是否同号或异号； ② 第二步是计算绝对值的乘积，尤其是分数相乘时，分子乘分子，分母乘分母； ③ 特别注意负负得正，不要遗漏符号变化； ④ 若结果为1，则可指出两数互为倒数。 有理数乘法运算律 探究新知 （一）知识精讲 让我们通过具体计算来探究有理数乘法的运算律。首先计算和，可以看到交换乘数的位置，积保持不变。再尝试其他例子，如和，结果依然相同。这说明在有理数范围内，乘法交换律仍然成立：。 类似地，我们验证乘法结合律。计算和，结果相同。这说明乘法结合律在有理数范围内也成立：。 接下来验证分配律。计算和，结果相同。再尝试和，结果依然相同。这说明分配律在有理数范围内成立：。 最后探究多个有理数相乘的符号规律。观察以下例子： （两个负数，积为正） （三个负数，积为负） （四个负数，积为正） 由此得出结论：几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；如果其中有乘数为0，那么积为0。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果计算，积的符号会是怎样的呢？为什么？ 学生回答：积应该是负数，因为有三个负数相乘，负数的个数是奇数。 教师追问：很好！那如果在这个算式中再乘以一个负数，比如，积的符号会怎样变化？ 学生思考后回答：现在有四个负数相乘，负数的个数变成偶数了，所以积应该变成正数。 教师继续引导：那么谁能总结一下，多个有理数相乘时，我们计算的一般步骤是什么？ 学生回答：首先数负数的个数确定积的符号，然后把所有数的绝对值相乘得到积的绝对值。 （三）设计意图 通过具体计算实例引导学生发现有理数乘法运算律的普遍性，培养学生的观察能力和归纳总结能力。以循序渐进的问题设计帮助学生理解多个有理数相乘的符号规律，体现从具体到抽象的学习过程。通过师生互动中的层层设问，引导学生主动思考运算规律的本质，培养其逻辑推理能力和数学表达能力，同时建立对数学运算严谨性的认识。 新知应用 例题： (1) 计算 ； (2) 用两种方法计算 解答： (1) 我们来计算： 观察这个算式，有四个有理数相乘，我们可以利用乘法交换律和结合律，先把容易计算的数先乘起来。 注意到：，这是一个简便运算点。 同时， 所以我们将算式重新组合： 先算括号内的： 然后： 因此，结果是： (2) 计算： 我们用两种方法来做。 解法1：先算括号里的加减，再乘 首先把括号内的分数通分。分母4、6、2的最小公倍数是12。 所以： 然后再乘以12： 解法2：使用乘法分配律 乘法分配律是：，这里是一个三项式乘一个数，也可以用： 分别计算每一项： · · · 所以： 两种方法都得到相同的结果： 总结： 1.题目考查内容 ①有理数的乘法运算律（乘法交换律、结合律）的应用； ②乘法对加法的分配律在有理数中的应用； ③多个有理数连乘时，合理运用运算律简化计算。 2.题目求解要点 ①在多个有理数相乘时，可利用乘法交换律和结合律调整顺序，优先计算能凑整或化简的部分（如 ）； ②在括号内为加减、外面乘一个数时，既可以先算括号，也可以使用分配律展开计算； ③两种方法对比说明了运算律的正确性和实用性，体现了“数感”与“运算能力”的结合。 板书设计 有理数的乘法 ├─ 乘法法则 │ ├─ 同号得正，异号得负， │ └─ 任何数与相乘，都得 ├─ 倒数 │ └─ 乘积是的两个数互为倒数 ├─ 运算律 │ ├─ 交换律： │ ├─ 结合律： │ └─ 分配律： └─ 多个数相乘 ├─ 负乘数个数为偶数，积为正 ├─ 负乘数个数为奇数，积为负 └─ 有乘数为，积为 教学反思 本节课围绕有理数乘法法则及其运算律展开，通过观察算式规律引导学生归纳出两数相乘的符号法则与绝对值运算规则，并借助探究活动验证乘法交换律、结合律和分配律在有理数范围内的成立性，进而推广到多个有理数相乘的符号判定方法。教学设计符合课标“从具体到抽象、从特殊到一般”的理念，注重学生思维的连贯性与逻辑性。整体教学目标基本达成，学生能理解并运用有理数乘法法则进行计算，多数学生掌握了积的符号判断规律。成功之处在于以问题驱动引导自主探究，强化了数学归纳能力；不足在于对运算律的形式化证明略显薄弱，部分学生在多因数相乘时符号判断仍易出错，后续需加强变式训练与个别辅导，提升运算熟练度与准确性。 学科网（北京）股份有限公司 $