专题05 圆周角、圆内接四边形、正多边形、弧长与扇形面积（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题05 圆周角、圆内接四边形、正多边形、弧长与扇形面积 4大高频考点概览 考点01 圆周角 考点02 圆内接四边形与正多边形 考点03 弧长与扇形面积 考点04 圆综合问题探究 地 城 考点01 圆周角 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．任意三点可以确定一个圆 D．相等的弧所对的圆周角相等 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在圆O中，，为半径，点C为圆O上一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，点、、在上，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，的顶点均在上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，海岸线，经过、的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为，船保持怎样的航行不会进入暗礁区（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，量角器外缘边上有、、三点，它们所表示的读数分别是、、，则的大小是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）一个半径为的圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥．已圆周角．则桥的长为 ． 10．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是半圆的直径，且，，则的度数是 ． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，半径，互相垂直，点C在劣弧AB上，若，则 ． 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，C、D是以线段为直径的上两点（位于两侧），，且， 则的度数是 ． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是 度． 14．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，为弧上的中点，连结交于点，作于点，连结，若为的角平分线，则 ， ． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于， 高相交于点F， 若， 则的长为 ． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且交于点D，如图2所示，若弧为，则的度数 ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点O是格点，与网格线分别交于点A，B．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，画出格点的外接圆圆心O． (2)在图2中，先在优弧上画点C，使得，再画的平分线，交于点D． 19．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知内接于，直径于点，交于点，且． (1)若，且，求的长． (2)求证：． 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，． (1)求的半径长； (2)如图1，若，求的长； (3)如图2，若，求的度数． 21．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图1，四边形内接于，是的中点，连结． 【初步尝试】 （1）在弦上有一点D，且，连结，求证：； 【变式应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若恰为的直径，且，求弦的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，若恰为的直径，过点E作，交的延长线于点，求的长． 地 城 考点02 圆内接四边形与正多边形 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．圆内接平行四边形一定是矩形 C．二次函数的图象开口向上 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽2件，其中有红衣服 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，在的内接四边形中，E为直径延长线上的一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则 度． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形内接于圆，连接, 交于点F，则的度数为 ． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C，D在上，若，，则 ，度． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求半径长． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知经过四边形的，两个顶点，并与四条边分别交于点，，，，且． (1)如图1所示，连结，若是直径，求证：． (2)如图2所示，若，，弧的度数为，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 地 城 考点03 弧长与扇形面积 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则点旋转经过的路线长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的内接四边形中， ， ． 若⊙O的半径为， 则弧的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是（  ） A． B． C．1 D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知一个扇形的弧长为，半径为2，则这个扇形的面积为 ． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图所示，在扇形中，，半径，点位于的处且靠近点的位置．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 三、解答题 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，圆心角，． (1)求的长； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为_________． (2)连接、，求的半径及的长（结果保留）； (3)有一点，判断点E与的位置关系． 10．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 四边形是的内接四边形，，连接，，，，与相交于点E． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 地 城 考点04 圆综合问题探究 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③，其中正确的是 （   ） A．只有① B．①② C．①③ D．①②③ 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径画圆弧围成如图所示的阴影部分，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了 ．（结果保留） 7．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是 ． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，过A，C，D的圆交于点E，连结，已知，．若，则圆的半径为 ． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证； (3)若弧长是周长的，，求的值． 11．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），用直尺和圆规在上找一个点，使得是“圆等三角形”． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且： ①当时，求的度数； ②如图3，当，时，求阴影部分的面积． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 13．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．那么如何来证明这个结论呢？小明运用“截长法”来证明此结论． 具体证明思路是：如图2，在上截取，连接、、和，……，请你按照小明的思路完成证明过程． （2）【理解运用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： ①如图3，已知等边三角形内接于，，点是上的一点，，于点，则的周长为________． ②如图4，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则的长为________； ③如图5，是的直径，点A圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，求长． 试卷第1页，共3页 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆周角、圆内接四边形、正多边形、弧长与扇形面积 4大高频考点概览 考点01 圆周角 考点02 圆内接四边形与正多边形 考点03 弧长与扇形面积 考点04 圆综合问题探究 地 城 考点01 圆周角 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．任意三点可以确定一个圆 D．相等的弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】根据圆的性质，垂径定理，圆周角定理，等弧概念，圆的确定条件等解答即可． 【详解】解：A、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，此选项错误； B、平分弦（非直径的弦）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，此选项错误； C、 不共线的任意三点可以确定一个圆，此选项错误； D、 相等的弧所对的圆周角相等，正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在圆O中，，为半径，点C为圆O上一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据定理进行计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，点、、在上，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得：，进而可得答案． 【详解】解：∵点在上，， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，的顶点均在上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理得到，由于，所以，然后解方程即可． 【详解】∵，且， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，海岸线，经过、的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为，船保持怎样的航行不会进入暗礁区（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交圆O于D，连接、，过O作于H，延长交圆O于E，连接、，根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得，可证明是等边三角形得到，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角性质可得，进而可得结论． 【详解】解：连接交圆O于D，连接、，过O作于H，延长交圆O于E，连接、， 则，，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即， ∴船保持的航行不会进入暗礁区， 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，量角器外缘边上有、、三点，它们所表示的读数分别是、、，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，掌握同弧（或等弧）所对圆周角为圆心角的一半是解题关键．设量角器的圆心为O，连接，，由题意得出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，设量角器的圆心为O，连接，， ∵量角器外缘边上有、两点，它们所表示的读数分别是、， ∴， ∴． 故选C． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，圆周角定理等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、，进而垂直平分垂直平分，结合圆周角定理推出，即可求出的度数． 【详解】解：作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴的度数为， 故选：B． 二、填空题 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）一个半径为的圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥．已圆周角．则桥的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．”，熟练掌握圆周角定理是解题关键．设圆的圆心为点，连接，则，先根据圆周角定理可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点，连接， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是半圆的直径，且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，根据平角定义求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，半径，互相垂直，点C在劣弧AB上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键；由圆周角定理可得，由三角形内角和定理即可得到的度数． 【详解】解：半径，互相垂直， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，C、D是以线段为直径的上两点（位于两侧），，且， 则的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据，只要求出即可． 【详解】解：∵是 直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是 度． 【答案】80 【分析】本题主要考查圆周角定理及推论．熟练掌握圆周角定理及推论，三角形内角和定理和角平分线定义，是解题的关键． 根据圆周角定理及推论得到，，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解: ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：80． 14．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，为弧上的中点，连结交于点，作于点，连结，若为的角平分线，则 ， ． 【答案】 【分析】连接，，设于交于点，过点作于，由得，再证明是等腰直角三角形得，则，进而在中，由勾股定理可求出的长，先由三角形的面积求出，再由垂径定理得，，则，然后证明，进而可得的长． 【详解】解：连接，，设于交于点，过点作于，如图所示： ∵是半圆的直径，点是弧上的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是弧上的中点， 根据垂径定理得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于， 高相交于点F， 若， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点．作直径，证明四边形是平行四边形，推出，，在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作直径，连接，设的半径为， ∵为的直径， ∴，即，， ∵是的高， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴， 在中，，即， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且交于点D，如图2所示，若弧为，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到． 由折叠的性质得到：，又是圆的直径，即可求出的度数． 【详解】解：由折叠性质可得：， ， ， 为直径， ． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； （2）解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点O是格点，与网格线分别交于点A，B．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，画出格点的外接圆圆心O． (2)在图2中，先在优弧上画点C，使得，再画的平分线，交于点D． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与涉及作图，三角形的外接圆，解题的关键是掌握网格的特征和圆的相关性质． （1）线段的垂直平分线交于O，点O即为格点的外接圆圆心O； （2）设过O的格线交于C，连接，取格点K，作射线交于D，作射线，点C，点D，射线即为所求． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线交于O，如图， ， 点O即为格点的外接圆圆心O； （2）解：O的格线交于C，连接，取格点K，作射线交于D，作射线，如图： ， 点C，点D，射线即为所求． 19．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知内接于，直径于点，交于点，且． (1)若，且，求的长． (2)求证：． 【答案】(1)6 (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题关键． （1）连接，设，则，，，，从而可得，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得； （2）连接，先证出四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再证出，从而可得，由此即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， 设，则， ∴， ， ， 是的直径， ， ， ∵直径于点，， ， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 在中，． （2）证明：如图，连接， ∵，，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，． (1)求的半径长； (2)如图1，若，求的长； (3)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先根据勾股定理求出的长度，然后根据的圆周角所对的弦是直径判断出是直径，即可求解； （2）设与相交于点E，根据等面积法求出，然后根据垂径定理求解即可； （3）证明是等边三角形，得出，根据勾股定理的逆定理证明，结合等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】（1）解∶∵，，， ∴， ∵， ∴是是直径， ∴的半径为； （2）解：设与相交于点E， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∵，是是直径， ∴； （3）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 21．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图1，四边形内接于，是的中点，连结． 【初步尝试】 （1）在弦上有一点D，且，连结，求证：； 【变式应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若恰为的直径，且，求弦的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，若恰为的直径，过点E作，交的延长线于点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意得，结合同弧所对的圆周角相等得，即可证明； （2）过点E作，交于点F，则，可得，则有，结合等腰三角形的性质得，可得； （3）连结，过E作交于点M，设，利用勾股定理得，根据题意得，可证明和，则和，再次利用勾股定理即可求得x，即可求得． 【详解】（1）证明：为的中点， ． 又，， ， （2）解：过点E作，交于点F，如图， 为的中点，为的直径， ， ， ， ， ， ， ． ； （3）连结，过E作交于点M，如图， 设， ， ， ． 为的中点， ． 又， ， ． ， ∵， ∴， ∴， 又为的直径， ， 即． 解得：， ． 地 城 考点02 圆内接四边形与正多边形 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．圆内接平行四边形一定是矩形 C．二次函数的图象开口向上 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽2件，其中有红衣服 【答案】B 【分析】本题考查随机事件、不可能事件、必然事件的可能性，理解不可能事件、随机事件、必然事件是正确解答的关键． 必然事件发生的可能性为，随机事件发生的可能性介于之间，逐个分析发生的可能性，找到发生可能性为的选项即可． 【详解】解：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，A选项不是必然事件，不合题意； 圆内接平行四边形一定是矩形，B选项是必然事件，符合题意； 二次函数的图象开口向下，C选项是不可能事件，不合题意； 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽2件，其中可有红衣服，D选项是不是必然事件，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，在的内接四边形中，E为直径延长线上的一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，三角形外角的性质，先根据圆内接四边形的性质得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则 度． 【答案】140 【分析】首先根据圆内接四边形的性质得，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， 又∵， ∴， ∴°． 故答案为：140． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形内接于圆，连接, 交于点F，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正五边形性质，圆周角的性质，三角形外角的性质． 根据题意可知，都等于，利用圆周角与所对弧之间的度数关系可知， ，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵正五边形内接于圆， ∴，都等于，即中心角是， ，， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C，D在上，若，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，圆的基本性质，如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为，先证明，进而证明，得到，由三线合一求出，再求出的长，进而求出，进一步求出的长，即可利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为， 由折叠的性质可得， ∵，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数； （2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得； （2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，，则，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，从而得为直径． 本题主要考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆，熟练掌握无刻度直尺作图，垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：与长度相等的弦如图所示： （2）解：直径如图所示： 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2)半径长 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理； （1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明； （2）连接，根据圆周角定理可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点，，，均在上， ∴四边形为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：如图所示连接， ∵ ∴ 设的半径为，则中， 解得：（负值舍去） ∴半径长 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知经过四边形的，两个顶点，并与四条边分别交于点，，，，且． (1)如图1所示，连结，若是直径，求证：． (2)如图2所示，若，，弧的度数为，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补； （1）根据圆周角定理及同弧所对的圆周角相等，得到 ，然后利用外角的性质等量代换求证； （2）利用外角性质及圆内接四边形对角互补求解. 【详解】（1）证明：连结，      是直径，           （2）连结， 同（1）可得，且，     四边形是的内接四边形， ，     ，， ， ．     地 城 考点03 弧长与扇形面积 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则点旋转经过的路线长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长，旋转的性质；根据旋转的性质可得点旋转经过的路线为为半径圆心角为的弧，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：依题意 ∴点旋转经过的路线长是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的内接四边形中， ， ． 若⊙O的半径为， 则弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理，连接，求出及的度数，进而得出的度数，最后根据弧长公式即可求解，熟知弧长的计算公式及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵的半径为， ∴弧的长为：， 故选：． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是（  ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，根据题意得出长方形的面积是解答此题的关键． 根据正方形的性质可知，，则阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：∵正方形的边长为1，， ∴， ，四边形是矩形， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知一个扇形的弧长为，半径为2，则这个扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式． 根据扇形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 根据折叠的性质可得，可得，，可得四边形是正方形，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵将扇形折叠，点落在弧的中点处， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图所示，在扇形中，，半径，点位于的处且靠近点的位置．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查弧长，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时． 连接，，结合题意得，再求出当，，共线时，的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ，， ， ∵E为的中点， ， ， ， 当，，共线时，的值最小，如图， 此时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，则， 故答案为：2． 三、解答题 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，圆心角，． (1)求的长； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查求弧长以及不规则图形的面积，熟练掌握基本公式是解题关键． （1）先求出半径，再直接利用弧长公式求解即可； （2）先求出扇形的面积，再减去直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵圆心角，． ∴，且， ∴， ∴的长为：； （2）解：扇形的面积为：， 直角三角形的面积为：， ∴阴影部分拱形面积为：． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为_________． (2)连接、，求的半径及的长（结果保留）； (3)有一点，判断点E与的位置关系． 【答案】(1) (2)， (3)点E在内部 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系、垂径定理、弧长公式等，用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心． （1）找到，的垂直平分线的交点即为圆心坐标； （2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得，那么，即可得到圆心角的度数为，根据弧长公式可得； （3）求出的长与半径比较可得． 【详解】（1）解：如图，即为圆心； ∴D点坐标为， （2）解：； 作轴，垂足为E． ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴扇形的圆心角为90度， ∴的长为； （3）解：∵，， ∴， 点E到圆心D的距离为， ∴点E在内部． 10．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 四边形是的内接四边形，，连接，，，，与相交于点E． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是的内接四边形得到，结合已知条件得到，进而求解即可； （2）根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可； （3）首先根据得到，从而得到 为直角，然后利用求解． 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， ， ， ， 在中，，， ，又， ， ， ， ． 地 城 考点04 圆综合问题探究 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，理解并掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理求出当点P为圆心时的度数，从而得解． 【详解】解：∵，P点为圆心， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称与最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，然后根据对称的性质可知，再由圆周角定理可求出的度数，从而得到，再过点作于，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，连接，， 关于直线对称 ，点为弧的中点， ， 过点作于，在中， 即的最小值． 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③，其中正确的是 （   ） A．只有① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确． 【详解】解：如图所示：    ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∴，， ∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故③说法正确； 故选：． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，由直角三角形斜边中线可得，得到点在以为圆心，为半径的圆上运动，再求出两种特殊位置时，，的值，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形的边长为3， ∴，， ∵线段的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点Q与A重合时，在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， 当与C重合时，同法可得， ∵， ∴， ∴线段的中点M所经过的路线长， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径画圆弧围成如图所示的阴影部分，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，作辅助线构造成等边三角形是解题的关键，难点在于熟练掌握图形的对称性． 连接、，根据圆的定义判断出是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质求出，同理可得弧的圆心角是然后求出弧的圆心角是，再根据弧长公式求出弧的长，然后根据对称性，图中阴影部分的四条弧都相等列式计算即可得解． 【详解】解：连接，， 由圆的定义， ∴是等边三角形， ， ， 同理，弧的圆心角是 ∴弧的圆心角是， ∴弧的长 ， 由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，所以图中阴影部分的周长为， 故选： D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；因此此题可直接根据弧长公式及题意进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 7．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】根据正多边形与圆的对称性、垂径定理以及正多边形与圆的计算，可求出，，由直角三角形的边角关系求出、、，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接、、、，过点作，垂足为， 由圆的对称性可知，点、点是的三等分点，四边形是正方形， ，， 在中，，， ，， 在中，，， ， ， 个阴影三角形的面积和为：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，过A，C，D的圆交于点E，连结，已知，．若，则圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】由， ，可得，如图，作于，于，则，由勾股定理得，，由，可求，由四边形是圆内接四边形，，，可得，则四边形是等腰梯形，如图，作于，于，则，，由勾股定理得，，则，如图，作圆心，连接，作于，交于，则，，设，则，由勾股定理得，，即①；，即②；①②联立求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作于，于， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， 如图，作于，于， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 如图，作圆心，连接，作于，交于， ∴，， 设，则， 由勾股定理得，，即①； ，即②； 得，， 将代入①得，， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识．求出点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，以为直径作，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证； (3)若弧长是周长的，，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等边三角形的判定与性质即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用三角形的内角和定理即可得证； （3）过点作于点，作于点，先求出，从而可得，都是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵弧长是周长的， ∴， ∴，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴在中，， 在中，， 在中，，解得， 在中，，解得， ∴， ∴， 即的值为． 11．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），用直尺和圆规在上找一个点，使得是“圆等三角形”． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且： ①当时，求的度数； ②如图3，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)①的度数为或或；② 【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题的关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题． （1）根据等腰三角形的画法画图即可； （2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答； ②连接，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点C，此时可使得是“圆等三角形”； （2）①四边形是的内接四边形，，， ，， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的度数为或或． ②连接， 四边形是的内接四边形，， ， 是圆等三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 过点O作， ， ，， ， ， 扇形的面积为：， 阴影部分面积为：． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式； （2）由于经过、两点, 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案； （3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：代入到抛物线中， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵经过、两点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴点坐标为． （3）解：存在，理由如下： ①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示，    由（2）得：，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点横坐标为， ∴点坐标为 ， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点坐标为，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去； 故点不存在； ②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示，   ，， ， ， ， 同理①中的方法可得：， ∴，， 设，， 则，解得：， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为． 13．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．那么如何来证明这个结论呢？小明运用“截长法”来证明此结论． 具体证明思路是：如图2，在上截取，连接、、和，……，请你按照小明的思路完成证明过程． （2）【理解运用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： ①如图3，已知等边三角形内接于，，点是上的一点，，于点，则的周长为________． ②如图4，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则的长为________； ③如图5，是的直径，点A圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，求长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③或 【分析】（1）在上截取，连接、、和，由是的中点，得到，从而得到，进而证明，得到，再由“三线合一”得到，即可得证． （2）①由，，得到是等腰直角三角形，从而可求得，又由等边三角形得到，，从而，进而点A是的中点，由（1）结论可得，根据即可解得； ②在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，即可解答； ③分两种情况分别讨论：①点在下方，②点在上方，分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接、、和， ∵是的中点， ∴， ∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． （2）①解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点A是的中点， ∵， ∴由（1）可得， ∴； 故答案为： ②在上截取，， 连接、、、，   是弧的中点， ∴ ，， 又， ， ， ， 又， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：8 ③解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵，圆的半径为5， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴由②可得， ∴， ∴在等腰中，； 当点在上方时，，同理得， 综上所述：的长为或． 试卷第1页，共3页 2 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $