第二十五章 锐角的三角比 章节（6知识点回顾+20题型巩固）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册满分全攻略备考系列

该初中数学讲义围绕“锐角的三角比”单元构建了清晰的知识体系，通过六大学习模块与二十类典型题型形成闭环复习路径。知识梳理部分采用表格对比呈现正弦、余弦、正切、余切的定义、表达式及取值范围，辅以图形直观展示边角关系，帮助学生建立概念间的逻辑联系，突出特殊角三角函数值的记忆规律和解直角三角形的基本类型，体现重难点分布与内在结构。 讲义的亮点在于融合核心素养理念设计练习，如题型十一中利用等腰直角三角形求三角函数值，强化几何直观与运算能力；题型十七仰角俯角问题引导学生从现实情境抽象出数学模型，提升应用意识与建模能力；题型十九坡度问题则结合生活实际，训练数据处理与推理意识。每类题型均配有方法指导与易错提示，基础薄弱生可掌握基本步骤，优等生能拓展思维深度，教师据此实现分层教学与精准反馈，助力学生自主建构知识网络。

第二十五章 锐角的三角比 章节（6知识点回顾+20题型巩固） 目录 知识梳理 1、正切和余切 2、正弦和余弦 3、锐角的三角比 4、特殊锐角的三角比的值 5.解直角三角形的基本类型 6.解直角三角形的应用 题型巩固 一、正弦的概念辨析 二、余弦的概念辨析 三、正切的概念辨析 四、求角的正弦值 五、已知正弦值求边长 六、求角的余弦值 七、已知余弦求边长 八、求角的正切值 九、已知正切值求边长 十、求锐角三角比的求值 十一、特殊三角形的三角函数 十二、特殊角三角函数值的混合运算 十三、根据特殊角三角函数值求角的度数 十四、互余两角三角函数的关系 十五、解直角三角形的相关计算 十六、解非直角三角形 十七、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 十八、方位角问题(解直角三角形的应用) 十九、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 二十、其他问题（解直角三角形的应用） 知识梳理 知识点1、正切和余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点2、正弦和余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．锐角A的余弦记作cos A． ． 知识点3、锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 知识点4、特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 知识点5.解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 知识点6.解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 3.坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 题型巩固 题型一、正弦的概念辨析 1.在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果． 【详解】在中，，那么锐角的正弦=， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ． 【答案】60° 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】利用正弦定义计算即可． 【详解】解：如图， ∵sinB＝， ∴∠B＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义． 3．理解写作 如下图1，在探究锐角的对边与直角三角形斜边之比的数学实验中包含两个环节，一是通过在的边AB上取不同的点， ，分别作高，利用三角形相似，可以说明 ，即的对边与斜边的比值固定，与点的位置无关． 二是说明的度数发生变化时，的对边与斜边的比值也会发生变化．请根据下图2简要说明做法并证明第二个环节的结论，并在图3中再构造一种思路证明此结论． 【答案】答案见解析． 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】环节一，我们用相似论证了当不变时，的对边与斜边的比值固定不变；环节二，再次为我们论证了当改变时，的对边与斜边的比值也随之变化，不再固定不变；进而从斜边相等，或直角边相等，两个方面论证即可． 【详解】解：环节二证明过程如下： （1）如下图所示：过点A在内部做射线，截取，过点 作，此时构造出了，显然 此时；， 因为，而，所以 所以当的度数发生变化时，的对边与斜边的比值也会发生改变． （2）图3中构造另外一种思路证明： 由上题我们自然想到控制变量法．环节二我们使斜边相等，现在我们使直角边BC与与相等，如图所示： 此时；；因为 ，而，所以 ． 【点睛】本题考查了对边与斜边的比，即正弦值，会随着角度的变化而变化，熟悉相关性质是解题的关键． 题型二、余弦的概念辨析 4．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦的概念辨析 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【知识点】余弦的概念辨析 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 题型三、正切的概念辨析 6．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正切的概念辨析 【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案． 【详解】∵，， 而， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键． 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 【答案】 【知识点】正切的概念辨析 【分析】本题主要考查了解直角三角形、坐标与图形等知识点，能根据题意画出示意图及熟知余切的定义是解题的关键． 先根据题意画出图形，再结合余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：过点P作y轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，即． 故答案为：． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹. （1）在图①中画一条射线，使. （2）在图②中画一条射线，使. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】正切的概念辨析 【分析】（1）先确定直角三角形的直角，①当∠ACB为直角时，需要保证AC=2BC；②当∠ABC为直角时，需要保证AB=2BC； （2）∠ABD是直角，需要保证BD=即可. 【详解】解：（1）如图所示. （2）如图所示. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，能够找到合适的直角三角形进行转换是解题的关键. 题型四、求角的正弦值 9．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查了求角的正弦值，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：如图， ， 故选：． 10．（22-23九年级上·上海崇明·期中）已知在中，，，，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值 【分析】画出图形，直接利用正弦函数值的定义进行求解即可． 【详解】 在中，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数值的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数值的定义．正弦函数值等于对边比斜边． 11．如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，连接BE、DE、BF、DF． （1）求证：四边形BEDF是菱形： （2）求tan∠AFD的值． 【答案】（1）证明见解析（2）3 【知识点】求角的正弦值 【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质得到OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，证明OE=OF，得到四边形BEDF是平行四边形，根据菱形的判定定理证明； （2）根据正方形的性质得到OD=3OF，根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）连接BD交AC于点O． ∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC，OB=OD，且AC⊥BD． ∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF． 又∵OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形． 又∵AC⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形； （2）∵EF=2OF，EF=CF，∴CF=2OF，∴OC=3OF． 又∵OD=OC，∴OD=3OF． 在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠DOF=90°．在Rt△DOF中，tan∠AFD3． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、正切的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等是解题的关键． 题型五、已知正弦值求边长 12．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）在中，，，，那么边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】根据三角函数值的求值可以求得，故根据即可求得的值，即可解题． 【详解】解：，，， 则， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形三角函数值的计算，解题的关键是明确三角函数值得定义求得． 13．在△ABC中，，，，则△ABC的面积是 ． 【答案】． 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】过作于， 根据中， ，，，可求得，再根据 ，可求得答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 在中，， ，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切值，三角形的面积计算等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 14．在⊿ABC中，∠C=90°，BC=2，．求AC的长． 【答案】 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】先利用正弦的定义得到 ，可计算出AB=3，然后根据勾股定理计算AC的长． 【详解】解：△ABC中，∠C=90°， ∵，BC=2， ∴AB=3， ∴AC=． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，解题关键是三角函数是在直角三角形中的． 题型六、求角的余弦值 15．（2025·上海普陀·一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 16．（2023·上海松江·一模）如图，中，，于点，如果，，那么的值是 【答案】/ 【知识点】求角的余弦值 【分析】根据题意得出，继而根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键． 17．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠B的余弦值． 【答案】 【知识点】求角的余弦值 【分析】先利用勾股定理求得斜边AB的长，再根据余弦函数的定义求解可得． 【详解】如图， 在Rt△ABC中，∵BC=2、AC=4， ∴AB=， 则cosB=． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及余弦函数的定义． 题型七、已知余弦求边长 18．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查解直角三角形，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：A 19．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 【答案】 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 题型八、求角的正切值 20．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了正切的定义，根据正切的定义计算即可得解，熟练掌握正切的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 21．（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查角的正切，过点P作轴于点A，构造直角三角形，根据正切等于对边比邻边进行求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点A， ∵点P的坐标为， ∴，， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴的正切为， 故答案为：． 题型九、已知正切值求边长 22．（2023·上海徐汇·一模）在中，，如果，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正切值求边长 【分析】根据解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 23．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，则 ． 【答案】8 【知识点】已知正切值求边长 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴． 故答案为：8． 题型十、求锐角三角比的求值 24．已知， 其中为锐角，求、、的值． 【答案】，， 【知识点】求角的余弦值、求角的正切值 【分析】根据已知锐角α的正弦，设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】∵ ∴设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k， ∴，，． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，解题关键是熟练掌握三角函数定义． 25．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】三角函数综合、已知余弦求边长 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 26．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，在中，，．求： (1)； (2)的余弦值． 【答案】(1)； (2)的余弦值为 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、已知正切值求边长 【分析】（1）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义设，则，从而利用勾股定理求出，进而可得，然后可得，，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴的余弦值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型十一、特殊三角形的三角函数 27．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，那么为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数 【详解】本题考查了特殊角的三角函数值，把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， ， 故选：C． 28．（22-23九年级·上海·假期作业）填空： ； ； ， ． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：；；；． 故答案为：；1；；． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 29．计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案． 【详解】 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 题型十二、特殊角三角函数值的混合运算 30．的值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故选：C． 31．（2025·上海宝山·一模）计算： ． 【答案】0 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记三角函数值是解题的关键 【详解】解： ， 故答案为：0． 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查特殊三角函数的混合运算，理解并掌握三角函数的计算方法是解题的关键．根据特殊角的三角函数的混合运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 题型十三、根据特殊角三角函数值求角的度数 33．（2023·上海金山·一模）中，若，则 ． 【答案】/度 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 34．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知是锐角，且，那么 ． 【答案】/45度 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】∵，是锐角， ∴． 故答案为：． 题型十四、互余两角三角函数的关系 35．在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 36．已知，，则 ． 【答案】/ 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】应用互余两角三角函数的关系进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系进行求解是解决本题的关键． 题型十五、解直角三角形的相关计算 37．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查锐角三角函数，掌握定义是解题关键．根据三角函数定义，sinα等于对边与斜边的比值，由此建立方程求解。 【详解】解： 在Rt△ABC中， , , ． 故选：D． 38．（24-25九年级上·上海·期中）在锐角中，，那么 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，根据，得到，勾股定理求出，再根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 39．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1，已知锐角的正切值等于3，中，，点D在的边上，点P在内，，．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线于点A，交射线于点C．设． (1)求时，点A到的距离； (2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值． 【答案】(1)点A到的距离为； (2)； (3)为等腰三角形时，或或． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题是几何变换的综合题，主要考查相似三角形的判定和性质和锐角三角函数，由相似三角形的性质建立方程是解本题的关键． （1）由得到，推出，即可求解； （2）由得到，再由，比例式表示出，，即可； （3）为等腰三角形时，分三种情况①，②，③利用，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 过点A作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2， 过点C作， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， ， ∴， ∴为等腰三角形时，或或． 题型十六、解非直角三角形 40．金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　） A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米 【答案】D 【知识点】解非直角三角形 【分析】在Rt△BCF中，根据BC的坡度i＝1：，求得∠CBF＝30°，根据三角函数的定义得到CF＝1300，BF＝1300，根据矩形的性质得到DE＝BF＝1300，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：， ∴∠CBF＝30°， ∵BC＝2600， ∴CF＝1300，BF＝1300， ∵CD⊥AD于点D，BF⊥CD，BE⊥AD， ∴四边形BEDF是矩形， ∴DE＝BF＝1300， ∵AE＝1000米， ∴AD＝AE+DE＝1000+1300， ∵∠CAD＝37°， ∴CD＝AD•tan37°＝（1000+1300）×0.75＝2436.75， ∴BE＝DF＝2436.75﹣1300≈1136.8米， 答：BE的高度为1136.8米． 故选：D． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义． 41．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝ ． 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．只要证明∠D＝60°，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b． 由题意四边形ABCE是矩形， ∴CE＝AB＝a，∠A＝∠AEC＝∠CED＝90°， ∵∠BCF＝∠DCF＝∠D， 又∵∠BCF+∠DCF+∠D＝180°， ∴∠D＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查直角梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，利用角相等这个信息解决问题，发现特殊角是解题的突破口，属于中考常考题型． 42．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，. 求：（1）BC的长． （2）tanE的值． 【答案】（1）BC =8; （2）tanE=3. 【知识点】解非直角三角形 【分析】（1）先利用直角三角形斜边的性质求出AC，再利用即可求出AB．再利用勾股定理即可求出BC的长；（2）作EH⊥BC垂足为，求得△EHC∽△ACB，利用相似三角形的性质求出EH,CH，BH，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】（1） ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，是边的中点; ∴, ∵;∴; ∵sin∠ABC=;    由解得; ∵  ∴. （2）作EH⊥BC垂足为； ∴； ∵D是边AB的中点；     ∴BD=CD=AB； ∴∠DCB=∠ABC; ∵∠ACB=90°；  ∴∠EHC=∠ACB ；  ∴△EHC∽△ACB ∴； 由BC=8，CE=CB,得CE=8，∠CBE=∠CEB，； ∴解得EH=,CH=；;    ∴，即tanE=3. 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质. 题型十七、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 43．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了仰角俯角问题，用辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点作于点，根据题意得，，，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得，，， 在中，， 在中，， ， 即这栋楼的高度为， 故选A． 44．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，小华在教学楼距地面9米高的窗口处，测得正前方旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为，升旗时，国旗上端悬挂在距地面米处，若国旗随国歌声匀速升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗上升的速度为 米/秒．（参考数据：，，） 【答案】/ 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．作，垂足为点D，通过解直角和直角分别求得以及的长度，则易得的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由速度=上升的高度/时间进行解答即可． 【详解】解：作，垂足为点D， 在中，米，， 则米． 在中，米，， 则（米）． 所以，米， 整个过程中旗子上升高度是：（米）， 因为耗时， 所以上升速度（米/秒）． 则国旗应以米/秒的速度匀速上升， 故答案为：． 45．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 【答案】(1) (2)米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，分别交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 解得， （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 题型十八、方位角问题(解直角三角形的应用) 46．（2023·上海徐汇·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出，海里，，再由，根据平行线的性质得出．然后解，得出海里． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ， 在中， ，，海里， 海里． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 47．（2025·上海杨浦·一模）如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有 海里．（结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于D，设海里，，则，根据可得，列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点A作于点D， 根据题意得：（海里）， ， 设海里，则海里， ∴, 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得，． 48．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心、为半径的圆形区域为居民区．取上的另一点B，测得的方向为南偏东．已知，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区． 【答案】输水管道会穿过居民区 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于C，由题意得，，设，解直角三角形得到，，则可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于C， 由题意得，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴输水管道会穿过居民区． 题型十九、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 49．（2025·上海闵行·一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 过点作于，根据矩形的性质求出，根据题意求出，再根据坡比的概念计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形为矩形， 米， 由题意得： (米)， ∴斜坡的坡比是： 故选： B． 50．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6米，如果在坡度为的山坡上种树，也要求株距为6米，则相邻两树间的坡面距离是 米． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出，得到答案．掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 的坡度为， ，即， 解得， 由勾股定理得，米， 故答案为：． 51．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面． 《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度 最大高度（米） 1.50 1.00 0.75 (1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由； (2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？ 【答案】(1)建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度，理由见解析 (2)平方米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度问题： （1）计算最大高度为：（米），由表格查对应的坡度为：； （2）作，求出的长度即可得解． 【详解】（1）解：选择坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的，理由如下： ∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米， ∴最大高度为（米）， 由表知建设轮椅专用坡道选择符合要求的坡度是； （2）解：如图，过B作于点G， 由1可知米，坡度是， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， ∴（平方米）． 即第一层的台阶坡道建造需要规划平方米的用地． 题型二十、其他问题（解直角三角形的应用） 52．（23-24九年级上·上海宝山·期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【详解】解：∵， 米， 故选：A． 53．（24-25九年级上·上海·期中）如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：，， ， 米， 在中， (米)． 故答案是：． 54．（24-25九年级上·上海·期中）根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 【答案】任务1：  任务2：   任务3：小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 任务1：连接，并向两边延长，分别交，于点，，由两圆弧翼成轴对称可得，在中， ，进而作答即可； 任务2：过点作垂直于地面于点，过点作交于点，在中， ，即可求出距离； 任务3：根据与之间的距离约为，即可说明小磊的行李箱是否可以通过闸机. 【详解】任务1：如图，连接，并向两边延长，分别交，于点，， 由题意得 ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中， ， ， ∴与之间的距离约为； 任务2：如图，过点作垂直于地面于点，过点作交于点， 可得， 在中，， ∴ ∵点，到地面的距离均为， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为； 任务3：∵与之间的距离约为， ∴当小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 锐角的三角比 章节（6知识点回顾+20题型巩固） 目录 知识梳理 1、正切和余切 2、正弦和余弦 3、锐角的三角比 4、特殊锐角的三角比的值 5.解直角三角形的基本类型 6.解直角三角形的应用 题型巩固 一、正弦的概念辨析 二、余弦的概念辨析 三、正切的概念辨析 四、求角的正弦值 五、已知正弦值求边长 六、求角的余弦值 七、已知余弦求边长 八、求角的正切值 九、已知正切值求边长 十、求锐角三角比的求值 十一、特殊三角形的三角函数 十二、特殊角三角函数值的混合运算 十三、根据特殊角三角函数值求角的度数 十四、互余两角三角函数的关系 十五、解直角三角形的相关计算 十六、解非直角三角形 十七、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 十八、方位角问题(解直角三角形的应用) 十九、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 二十、其他问题（解直角三角形的应用） 知识梳理 知识点1、正切和余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点2、正弦和余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．锐角A的余弦记作cos A． ． 知识点3、锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 知识点4、特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 知识点5.解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 知识点6.解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 3.坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 题型巩固 题型一、正弦的概念辨析 1.在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ． 3．理解写作 如下图1，在探究锐角的对边与直角三角形斜边之比的数学实验中包含两个环节，一是通过在的边AB上取不同的点， ，分别作高，利用三角形相似，可以说明 ，即的对边与斜边的比值固定，与点的位置无关． 二是说明的度数发生变化时，的对边与斜边的比值也会发生变化．请根据下图2简要说明做法并证明第二个环节的结论，并在图3中再构造一种思路证明此结论． 题型二、余弦的概念辨析 4．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 题型三、正切的概念辨析 6．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹. （1）在图①中画一条射线，使. （2）在图②中画一条射线，使. 题型四、求角的正弦值 9．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·上海崇明·期中）已知在中，，，，那么的值是 ． 11．如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，连接BE、DE、BF、DF． （1）求证：四边形BEDF是菱形： （2）求tan∠AFD的值． 题型五、已知正弦值求边长 12．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）在中，，，，那么边的长为（    ） A． B． C． D． 13．在△ABC中，，，，则△ABC的面积是 ． 14．在⊿ABC中，∠C=90°，BC=2，．求AC的长． 题型六、求角的余弦值 15．（2025·上海普陀·一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 16．（2023·上海松江·一模）如图，中，，于点，如果，，那么的值是 17．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠B的余弦值． 题型七、已知余弦求边长 18．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 19．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 题型八、求角的正切值 20．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 21．（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 题型九、已知正切值求边长 22．（2023·上海徐汇·一模）在中，，如果，，那么等于（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，则 ． 题型十、求锐角三角比的求值 24．已知， 其中为锐角，求、、的值． 25．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 26．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，在中，，．求： (1)； (2)的余弦值． 题型十一、特殊三角形的三角函数 27．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，那么为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 28．（22-23九年级·上海·假期作业）填空： ； ； ， ． 29．计算：． 题型十二、特殊角三角函数值的混合运算 30．的值等于（    ）． A． B． C． D． 31．（2025·上海宝山·一模）计算： ． 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）计算：． 题型十三、根据特殊角三角函数值求角的度数 33．（2023·上海金山·一模）中，若，则 ． 34．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知是锐角，且，那么 ． 题型十四、互余两角三角函数的关系 35．在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 36．已知，，则 ． 题型十五、解直角三角形的相关计算 37．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·上海·期中）在锐角中，，那么 39．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1，已知锐角的正切值等于3，中，，点D在的边上，点P在内，，．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线于点A，交射线于点C．设． (1)求时，点A到的距离； (2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值． 题型十六、解非直角三角形 40．金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　） A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米 41．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝ ． 42．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，. 求：（1）BC的长． （2）tanE的值． 题型十七、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 43．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，小华在教学楼距地面9米高的窗口处，测得正前方旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为，升旗时，国旗上端悬挂在距地面米处，若国旗随国歌声匀速升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗上升的速度为 米/秒．（参考数据：，，） 45．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 题型十八、方位角问题(解直角三角形的应用) 46．（2023·上海徐汇·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 47．（2025·上海杨浦·一模）如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有 海里．（结果保留根号） 48．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心、为半径的圆形区域为居民区．取上的另一点B，测得的方向为南偏东．已知，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区． 题型十九、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 49．（2025·上海闵行·一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 50．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6米，如果在坡度为的山坡上种树，也要求株距为6米，则相邻两树间的坡面距离是 米． 51．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面． 《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度 最大高度（米） 1.50 1.00 0.75 (1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由； (2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？ 题型二十、其他问题（解直角三角形的应用） 52．（23-24九年级上·上海宝山·期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 53．（24-25九年级上·上海·期中）如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 54．（24-25九年级上·上海·期中）根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $