专题03 特殊三角形之等腰三角形14题型专练（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题03 特殊三角形之等腰三角形专练 题型1 轴对称图形（常考点） 题型8 等腰三角形性质简答题（重点） 题型2 轴对称的性质（重点） 题型9 等腰三角形性质的综合题（难点）（重点） 题型3 将军饮马类最小值问题 题型10 等腰三角形的判定（重点） 题型4 轴对称作图（常考点） 题型11 等腰三角形的判定与性质（重点） 题型5 等腰三角形性质之角度问题（常考点） 题型12 等腰三角形综合题（难点） 题型6 等腰三角形性质之边长与周长问题 题型13 等边三角形的性质 题型7 等腰三角形性质之“三线合一”（常考点） 题型14 等边三角形的判定与性质的综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形（共3小题） 1．（2024秋•温州期中）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•绍兴期中）下列球的简笔画中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•杭州期中）等边三角形是轴对称图形，它有 　 　 条对称轴． 题型二 轴对称的性质（共3小题） 4．（2024秋•镇海区校级期中）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 5．（2024秋•台州期中）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝α（0°＜a＜180°），∠ACB＝β，则下列关系正确的是（　　） A．a﹣β＝90° B．c＝3β C．α+β＝180° D．a+2β＝180° 6．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝60°，∠A＝30°，点D为BC上一点，点P，Q分别是点D关于AB，AC的对称点，则PQ的最小值是 　 　 ． 题型三 将军饮马类最小值问题（共2小题） 7．（2024秋•钱塘区校级期中）为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•江北区校级期中）如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　 ． 题型四 轴对称作图（共3小题） 9．（2024秋•秀洲区校级期中）如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上． （1）画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积． （3）求BC边上的高． 10．（2024秋•台州期中）如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 11．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′； （2）直线l把线段CC′　 　 ； （3）求△ABC的面积； （4）在直线l上找一点P，使得PB+PC的长最小． 题型五 等腰三角形性质之角度问题（共6小题） 12．（2024秋•吴兴区期中）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（　　） A．50° B．80° C．50°或70° D．80°或40° 13．（2024秋•临平区期中）等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　　） A．65°，65° B．50°，80° C．65°，65°或50°，80° D．50°，50° 14．（2024秋•西湖区校级期中）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 15．（2024秋•婺城区校级期中）如图，△ABC中，点D、E在边BC上，AC＝AE＝BE＝ED，∠DAC＝24°，则∠B的度数为（　　） A．23° B．24° C．26° D．22° 16．（2024秋•杭州校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝BC，点D在AC上且BD⊥BC．设∠BDC＝a，∠ABD＝β，则（　　） A．3a+β＝180° B．2α﹣β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 17．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝BC，求∠A的度数． 题型六 等腰三角形性质之边长与周长问题（共5小题） 18．（2024秋•杭州期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 　 　 ． 19．（2024秋•宁波期中）已知等腰三角形的两边长为x、y，且满足|x﹣4|+（x﹣y+4）2＝0，则三角形的周长为 　 　 ． 20．（2024秋•西湖区校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是 　 cm． 21．（2024秋•拱墅区校级期中）（1）在等腰△ABC中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求等三角形的底边长． （2）已知在等腰△ABC中，∠ABC的外角为140°，求△ABC的顶角度数． 22．（2024秋•镇海区校级期中）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解x，y满足﹣1＜x﹣2y＜0，求k的取值范围． （2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求k的值． 题型七 等腰三角形性质之“三线合一”（共4小题） 23．（2024秋•安吉县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 24．（2024秋•宁海县期中）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　　） A． B．2 C．3 D． 25．（2024秋•诸暨市期中）如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．10° 26．（2024秋•杭州校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，AB＝AC＝8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN＝3． （1）求∠CAD度数； （2）求△BMN的周长． 题型八 等腰三角形的性质简答题（共5小题） 27．（2024秋•台州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：DC＝2DB． 28．（2024秋•湖州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，且AD＝AE，求证：BD＝CE． 29．（2024秋•西湖区期中）如图，已知射线AE，AD，AB＝BC＝CD，若∠ACD＝2∠DCE．求∠A和∠DCE的度数． 30．（2024秋•椒江区校级期中）如图所示，△ABC中，BA＝BC，点D为BC上一点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交AC于点F． （1）若∠AFD＝160°，则∠A＝　 　 °； （2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD∠B． 31．（2024春•镇海区校级期中）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE，EF，其中AE平分∠BAC，EF平分∠AED，AC＝CE． （1）试说明AB∥CD； （2）若∠AFE﹣∠CAE＝30°，求∠AFE的度数． 题型九 等腰三角形的性质综合题（共6小题） 32．（2024秋•江山市期中）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　） A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130° 33．（2024秋•上城区校级期中）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　） A．90° B．92° C．96° D．98° 34．（2024秋•慈溪市期中）（1）如图，△ABC纸片中，∠A＝36°，AB＝AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度； （2）已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B的度数是　 　 ；（请画出示意图，并标明必要的角度） （3）现将（1）中的等腰三角形改为△ABC中，∠A＝36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是　 　 ．（直接写出答案）． 35．（2024秋•绍兴期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE． （1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数； （2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由． 36．（2024秋•滨江区校级期中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，D是边AB上一点（不与点A、B重合），E是线段CD延长线上一点，∠BEC＝∠BAC． （1）说明∠EBA＝∠DCA的理由； （2）小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），∠AEC与∠ABC是否会相等？，小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，联结AH，然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等．你能否根据小丽同学的想法，说明∠AEC＝∠ABC的理由． 37．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与A，C重合），连接BD，BD＝AB． （1）设∠C＝α，∠ABD＝β． ①当α＝50°时，求β． ②请求出β与α的数量关系． （2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长． 题型十 等腰三角形的判定（共6小题） 38．（2024秋•宁波期中）下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三个角的度数之比是2：2：1 39．（2024秋•龙湾区期中）在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的△ABC，已知AB＝AC，AC上取一点D，连结BD，若AD＝BD，BC＝CD，则∠A的度数为（　　） A．36° B．30° C．° D．22.5° 40．（2024秋•椒江区校级期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 41．（2024秋•海曙区校级期中）如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上．请在图中找一点C，使△ABC为等腰三角形，此时腰长为 　 　 ． 42．（2024秋•宁海县期中）如图△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发　 　 s时，△BCP为等腰三角形． 43．（2024秋•滨江区校级期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）试说明：△ABF≌△DCE； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 题型十一 等腰三角形的判定与性质（共4小题） 44．（2024秋•上城区校级期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则BD的长为 　 　 ． 45．（2024秋•萧山区期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　 ． 46．（2024春•拱墅区校级期中）如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且∠CDE＝∠B． （1）若DF⊥AB，试判断DF与DE是否垂直，并说明理由； （2）若FD平分∠BFE，∠FDE+3∠AFE＝180°，求∠BFE的度数． 47．（2024秋•台州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 题型十二 等腰三角形综合题（共4小题） 48．（2024秋•西湖区期中）如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是（　　） A．AC＝AD+BD B．AC＝AB+BD C．AC＝AD+CD D．AC＝AB+CD 49．（2024秋•温州期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝13，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 　 　 ． 50．（2024秋•江北区校级期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 51．（2024秋•杭州校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．（1）EF＝BE+CF；（2）∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十三 等边三角形的性质（共5小题） 52．（2024春•余姚市期中）已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝108°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，则最小内角的度数是（　　） A．48° B．12° C．22° D．18° 53．（2024秋•台州期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 54．（2024秋•宁波校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D，E分别为边BC，AC上一点，AD＝AE，∠ADE＝60°，若∠BAD＝20°，则∠CDE的度数为　 　 ． 55．（2024秋•诸暨市期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DEBC，则∠AFE的度数为 　 　 ． 56．（2024秋•玉环市期中）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于D， （1）求证：DP＝DQ； （2）过P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的长． 题型十四 等边三角形的判定与性质（共3小题） 57．（2024秋•西湖区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝　 　 ． 58．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 59．（2024秋•浙江期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　 　 秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． $专题03 特殊三角形之等腰三角形专练 题型1 轴对称图形（常考点） 题型8 等腰三角形性质的综合（难点）（重点） 题型2 轴对称的性质（重点） 题型9 等腰三角形的判定（重点） 题型3 将军饮马类最小值问题 题型10 等腰三角形的判定与性质（重点） 题型4 轴对称作图（常考点） 题型11 等腰三角形性质与判定简答题（重点） 题型5 等腰三角形性质之角度问题（常考点） 题型12 等腰三角形综合题（难点） 题型6 等腰三角形性质之边长与周长问题 题型13 等边三角形的性质 题型7 等腰三角形性质之“三线合一”（常考点） 题型14 等边三角形的判定与性质的综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形（共3小题） 1．（2024秋•温州期中）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2．（2024秋•绍兴期中）下列球的简笔画中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：A、简笔画是轴对称图形，不符合题意； B、简笔画是轴对称图形，不符合题意； C、简笔画不是轴对称图形，符合题意； D、简笔画是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 3．（2024秋•杭州期中）等边三角形是轴对称图形，它有 　 　 条对称轴． 【分析】等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线． 【解答】解：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线． 故答案为：3． 题型二 轴对称的性质（共3小题） 4．（2024秋•镇海区校级期中）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【分析】利用轴对称变换的性质以及三角形内角和定理求解． 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线l对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°． 故选：C． 5．（2024秋•台州期中）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝α（0°＜a＜180°），∠ACB＝β，则下列关系正确的是（　　） A．a﹣β＝90° B．c＝3β C．α+β＝180° D．a+2β＝180° 【分析】运用轴对称、等腰三角形、三角形的内角和与外角和等性质找相关角的关系即可求解． 【解答】解：∵点B、E关于AC对称， ∴AE＝AB，∠CAE＝∠CAB，∠ACE＝∠ACB＝β， ∵AB＝AD， ∴AD＝AE， ∴∠D＝∠AED， ∵∠AED是△AEC的外角， ∴∠CAE+∠ACE＝∠AED， 在△ADE中，∠D+∠DAE+∠AED＝180°，即∠DAE+2∠AED＝180°， ∴∠DAE+2∠CAE+2∠ACE＝180°， ∵∠DAE+∠CAE+∠CAB＝∠DAB＝α，即∠DAE+2∠CAE＝∠DAB＝α， ∴∠DAE+2∠CAE+2∠ACE＝α+2β＝180°， 故选：D． 6．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝60°，∠A＝30°，点D为BC上一点，点P，Q分别是点D关于AB，AC的对称点，则PQ的最小值是 　 　 ． 【分析】如图，连接AD，AP，AQ．证明△PQA是等边三角形，推出PQ＝AD≥AC可得结论． 【解答】解：如图，连接AD，AP，AQ． ∵点P，Q分别是点D关于AB，AC的对称点， ∴AD＝AP＝AQ，∠BAD＝∠BAP，∠DAC＝∠CAQ， ∵∠BAC＝30°， ∴∠PAQ＝60°， ∴△PQA是等边三角形， ∴PQ＝AD， ∵∠BAC＝30°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝2， ∴BC＝1，AC， ∵PQ＝AD≥AC， ∴PQ的最小值为． 故答案为：． 题型三 将军饮马类最小值问题（共2小题） 7．（2024秋•钱塘区校级期中）为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】观察各图即可得到答案． 【解答】解：观察作图可知，选项D中B'C＝BC，此时AC+BC＝AC+B'C， 而A，C，B'共线，由两点之间线段最短可知此时AC+BC最小， 故选：D． 8．（2024秋•江北区校级期中）如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　 ． 【分析】根据AD是∠BAC的平分线确定出点B关于AD的对称点B′在AC上，根据垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，利用三角形的面积求出BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得B′N＝BE，从而得解． 【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线， ∴点B关于AD的对称点B′在AC上， 过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M， 由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN， 过点B作BE⊥AC于E， ∵AC＝10，S△ABC＝25， ∴10•BE＝25， 解得BE＝5， ∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称， ∴AB＝AB′， ∴△ABB′是等腰三角形， ∴B′N＝BE＝5， 即BM+MN的最小值是5． 故答案为：5． 题型四 轴对称作图（共3小题） 9．（2024秋•秀洲区校级期中）如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上． （1）画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积． （3）求BC边上的高． 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B关于直线l的对称点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积； （3）先计算出BC的长，然后利用面积法求BC边上的高． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作； （2）△ABC的面积＝3×41×21×43×3＝4.5； （3）设BC边上的高为h， ∵BC3， ∴3h＝4.5， 解得h， 即BC边上的高为． 10．（2024秋•台州期中）如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）取CD的中点E，作直线BE即可． （3）利用网格取格点P，使∠MPF＝∠NPF＝45°即可． 【解答】解：（1）如图①，线段O′A'即为所求． （2）如图②，取CD的中点E，作直线BE， 则直线BE即为所求． （3）如图③，点P即为所求． 11．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′； （2）直线l把线段CC′　 　 ； （3）求△ABC的面积； （4）在直线l上找一点P，使得PB+PC的长最小． 【分析】（1）取点A、B、C关于直线l的对称点A′，B′，C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，即得； （2）根据点C、C′关于直线l对称，得直线l垂直平分CC′； （3）2×4的矩形面积减去周围3个三角形的面积即得； （4）根据点C、C′关于直线l对称，得PC＝PC′，得PB+PC＝PB+PC′＝BC′最小． 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作． （2）∵点C、C′关于直线l对称， ∴直线l垂直平分CC′． 故答案为：垂直平分． （3）． （4）连接BC′交l于点P，点P即为所求作． 题型五 等腰三角形性质之角度问题（共6小题） 12．（2024秋•吴兴区期中）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（　　） A．50° B．80° C．50°或70° D．80°或40° 【分析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数． 【解答】解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论： 当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°； 当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°． 故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°． 故选：C． 13．（2024秋•临平区期中）等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　　） A．65°，65° B．50°，80° C．65°，65°或50°，80° D．50°，50° 【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，分为两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A＝50°时，根据∠B＝∠C和三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°， ∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°； ②当顶角∠A＝50°时， ∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝65°； 即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°， 故选：C． 14．（2024秋•西湖区校级期中）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解． 【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80°， ∴相邻角为180°﹣80°＝100°， ∵三角形的底角不能为钝角， ∴100°角为顶角， ∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°． 故答案为：A． 15．（2024秋•婺城区校级期中）如图，△ABC中，点D、E在边BC上，AC＝AE＝BE＝ED，∠DAC＝24°，则∠B的度数为（　　） A．23° B．24° C．26° D．22° 【分析】设∠B＝x°．根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求出∠AEC＝2x°，∠DAE＝∠ADE＝（2x+24）°．在△ADE中根据内角和定理列出方程2x+2x+24+2x+24＝180，解方程即可． 【解答】解：设∠B＝x°． ∵AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B＝x°， ∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝2x°． ∵AC＝AE， ∴∠AEC＝∠C＝2x°， ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝（2x+24）°， ∵AE＝ED， ∴∠DAE＝∠ADE＝（2x+24）°． 在△ADE中，∵∠AED+∠DAE+∠ADE＝180°， ∴2x+2x+24+2x+24＝180， ∴x＝22， ∴∠B＝22°． 故选：D． 16．（2024秋•杭州校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝BC，点D在AC上且BD⊥BC．设∠BDC＝a，∠ABD＝β，则（　　） A．3a+β＝180° B．2α﹣β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 【分析】由AB＝BC得出∠A＝∠C，根据三角形外角的性质和直角三角形锐角互余，即可得到α﹣∠A＝β，∠α＝∠C＝90°，两式相加即可得出2α＝90°+β，从而求得2α﹣β＝90°， 【解答】解：∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C（等边对等角）， ∵∠BDC﹣∠A＝α﹣∠A＝β，α＝∠C＝90°， ∴2α＝90°+β， ∴2α﹣β＝90°， 故选：D． 17．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝BC，求∠A的度数． 【分析】设∠ABD＝∠BDC＝x，证明∠ABC＝∠C＝2x，∠A＝x，利用三角形内角和定理构建方程求解． 【解答】解：∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 设∠ABD＝∠BDC＝x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2x， ∵BD＝CB， ∴∠BDC＝∠C＝2x， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝x， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴5x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠A＝36°． 题型六 等腰三角形性质之边长与周长问题（共5小题） 18．（2024秋•杭州期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 　 　 ． 【分析】分5是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【解答】解：①5是腰长时，三边分别为5、5，2， 周长＝5+5+2＝12， ②5是底边时，三边分别为2、2、5，因为2+2＜5， 不能组成三角形， 故答案为：12． 19．（2024秋•宁波期中）已知等腰三角形的两边长为x、y，且满足|x﹣4|+（x﹣y+4）2＝0，则三角形的周长为 　 　 ． 【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解． 【解答】解：根据题意得x﹣4＝0，x﹣y+4＝0， 解得x＝4，y＝8， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形； ②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长＝4+8+8＝20． 所以三角形的周长为20． 故答案为：20． 20．（2024秋•西湖区校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是 　 cm． 【分析】先由等腰三角形的性质分类讨论，再结合周长公式及三角形三边关系求解即可得到答案． 【解答】解：当腰是5cm时，三角形的边长为5cm、5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是5+5+2＝12（cm）； 当腰是2cm时，边长为2cm、2cm、5cm，则由构成三角形的三边关系2+2＝4＜5可知2cm、2cm、5cm三条边长不能构成三角形，此种情况不存在； 故答案为：12． 21．（2024秋•拱墅区校级期中）（1）在等腰△ABC中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求等三角形的底边长． （2）已知在等腰△ABC中，∠ABC的外角为140°，求△ABC的顶角度数． 【分析】（1）由题意可知等腰三角形的周长是15+6＝21cm，设等腰三角形的腰长、底边长分别为x cm、y cm，由题意可得或，解方程组即可求得等腰三角形的底边长； （2）由邻补角互补可得∠ABC＝40°，然后分两种情况讨论：①∠ABC是顶角时，②∠ABC是底角时，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分， ∴等腰三角形的周长是：15+6＝21（cm）， 设等腰三角形的腰长、底边长分别为x cm、y cm， 由题意可得： 或， 解得：或（不合题意，故舍去）， ∴等腰三角形的底边长为1cm， 答：等三角形的底边长为1cm； （2）∵∠ABC的外角为140°， ∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°， 分两种情况讨论： ①∠ABC是顶角时， 此时，△ABC的顶角度数是40°； ②∠ABC是底角时， 此时，△ABC的顶角度数是：180°﹣2×40°＝180°﹣80°＝100°， 综上所述，△ABC的顶角度数是40°或100°， 答：△ABC的顶角度数是40°或100°． 22．（2024秋•镇海区校级期中）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解x，y满足﹣1＜x﹣2y＜0，求k的取值范围． （2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求k的值． 【分析】（1）利用整体的思想可得：2x﹣4y＝﹣2k﹣10，从而可得x﹣2y＝﹣k﹣5，进而可得﹣1＜﹣k﹣5＜0，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得：，然后分两种情况：当x为腰，y为底边时；当y为腰，x为底边时；最后分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ②﹣①得：2x﹣4y＝﹣2k﹣10， ∴x﹣2y＝﹣k﹣5， ∵﹣1＜x﹣2y＜0， ∴﹣1＜﹣k﹣5＜0， 解得：﹣5＜k＜﹣4； （2）， 解得：， 分两种情况： 当x为腰，y为底边时， ∵等腰三角形的周长为9， ∴2x+y＝9， 2（k﹣1）+k+2＝9， 解得：k＝3， ∴x＝2，y＝5， ∵2+2＝4＜5， ∴不能构成三角形； 当y为腰，x为底边时， ∵等腰三角形的周长为9， ∴2y+x＝9， 2（k+2）+k﹣1＝9， 解得：k＝2， ∴x＝1，y＝4， ∵1+4＝5＞4， ∴能构成三角形； 综上所述：k的值为2． 题型七 等腰三角形性质之“三线合一”（共4小题） 23．（2024秋•安吉县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， 所以，结论不一定正确的是AB＝2BD． 故选：B． 24．（2024秋•宁海县期中）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　　） A． B．2 C．3 D． 【分析】根据等腰三角形的性质：三线合一，可知AF也是顶角∠BAC的平分线，然后根据角平分线的性质，即可得到点F到直线AC的距离． 【解答】解：∵AF是等腰△ABC底边BC上的高， ∴AF是顶角∠BAC的平分线， ∵点F到直线AB的距离为3， ∴点F到直线AC的距离为3， 故选：C． 25．（2024秋•诸暨市期中）如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．10° 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得出BD＝CD，∠BAD∠BAC＝35°，即可求得∠ABD＝90°﹣35°＝55°，根据垂直平分线的性质证得BE＝CE，进而求得∠EBC＝45°，即可求得∠ABE＝55°﹣45°＝10°． 【解答】解：∵AD是等腰△ABC的底边上的高， ∴BD＝CD，∠BAD∠BAC＝35°， ∴∠ABD＝90°﹣35°＝55°， ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴BE＝CE， ∵BE⊥CE， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝45°， ∴∠ABE＝55°﹣45°＝10°， 故选：D． 26．（2024秋•杭州校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，AB＝AC＝8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN＝3． （1）求∠CAD度数； （2）求△BMN的周长． 【分析】（1）由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数； （2）由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM＝NM，则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和，由题中给出的条件即可求出结果． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵∠ABC＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°， 又∵D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC40°＝20°， 故∠CAD度数为20°． （2）∵NM∥AC， ∴∠ANM＝∠CAD， 又∵∠CAD＝∠BAD， ∴∠ANM＝∠BAD， ∴AM＝NM， ∴△BMN的周长＝MB+BN+NM＝AB+BN， ∵AB＝8，BN＝3， ∴△BMN的周长＝8+3＝11． 故△BMN的周长为11． 题型八 等腰三角形的性质简答题（共5小题） 27．（2024秋•台州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：DC＝2DB． 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠BAD＝∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）根据三角形的内角和得到∠DAC＝90°，根据直角三角形的性质得到ADCD，∠BAD＝30°，求得∠B＝∠BAD，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B（180°﹣∠BAC）（180°﹣120°）＝30°， ∵AB的垂直平分线交BC于点D． ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+30°＝60°； （2）∵∠ADC＝60°，∠C＝30°， ∴∠DAC＝90°， ∴ADCD，∠BAD＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴BD＝AD， ∴DC＝2DB． 28．（2024秋•湖州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，且AD＝AE，求证：BD＝CE． 【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可推出∠BAD＝∠CAE，从而可利用SAS判定△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可证得结论． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED， ∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． 证法二：过点A作AO⊥BC于点O． AB＝AC，AD＝AE， ∴OB＝OC，OD＝OE， ∴BD＝EC． 29．（2024秋•西湖区期中）如图，已知射线AE，AD，AB＝BC＝CD，若∠ACD＝2∠DCE．求∠A和∠DCE的度数． 【分析】由邻补角互补，即可求出∠DCE的度数；由等腰三角形的性质推出∠A＝∠ACB，∠D＝∠CBD，由三角形外角的性质得到∠DCE＝3∠A＝60°，即可求出∠A＝20°． 【解答】解：∵∠ACD+∠DCE＝180°，∠ACD＝2∠DCE， ∴∠DCE＝60°； ∵AB＝BC＝CD， ∴∠A＝∠ACB，∠D＝∠CBD， ∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A， ∴∠D＝2∠A， ∴∠DCE＝∠A+∠D＝3∠A＝60°， ∴∠A＝20°． 30．（2024秋•椒江区校级期中）如图所示，△ABC中，BA＝BC，点D为BC上一点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交AC于点F． （1）若∠AFD＝160°，则∠A＝　 　 °； （2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD∠B． 【分析】（1）求得∠A的度数即可； （2）连接FB，根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF∠ABC，证得∠CFD＝∠CBF后即可证得∠CFD∠ABC． 【解答】解：（1）∵∠AFD＝160°， ∴∠DFC＝20°， ∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠FDC＝∠AED＝90°， 在Rt△EDC中， ∴∠C＝90°﹣20°＝70°， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A＝70°， 故答案为：70； （2）连接BF ∵AB＝BC，且点F是AC的中点， ∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF∠ABC， ∴∠CFD+∠BFD＝90°， ∠CBF+∠BFD＝90°， ∴∠CFD＝∠CBF， ∴∠CFD∠ABC． 31．（2024春•镇海区校级期中）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE，EF，其中AE平分∠BAC，EF平分∠AED，AC＝CE． （1）试说明AB∥CD； （2）若∠AFE﹣∠CAE＝30°，求∠AFE的度数． 【分析】（1）通过AC＝CE，可得∠2＝∠3，利用角平分线的定义可得∠1＝∠2，从而利用等量代换可得∠1＝∠3，然后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答； （2）根据已知可得∠AFE＝∠2+30°，然后利用平行线的性质可得∠AFE＝∠FED＝∠2+30°，从而利用角平分线的定义可得∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°，再利用平角定义可得∠3+∠AED＝180°，最后进行计算可求出∠2＝40°，从而求出∠AFE的度数，即可解答． 【解答】（1）证明：如图， ∵AC＝CE， ∴∠2＝∠3 ∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠AFE﹣∠CAE＝30°， ∴∠AFE＝∠2+30°， ∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FED＝∠2+30°， ∵EF平分∠AED， ∴∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°， ∵∠3+∠AED＝180°， ∴∠3+2∠2+60°＝180°， ∵∠3＝∠2， ∴∠2＝40°， ∴∠AFE＝∠2+30°＝70°， ∴∠AFE的度数为70°． 题型九 等腰三角形的性质综合题（共6小题） 32．（2024秋•江山市期中）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　） A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130° 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°． 【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝40°， ∴∠A＝50°， 即顶角的度数为50°． ②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝40°， ∴∠BAD＝50°， ∴∠BAC＝130°． 故选：C． 33．（2024秋•上城区校级期中）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　） A．90° B．92° C．96° D．98° 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，证明∠A＝∠MKN＝44°，根据三角形内角和定理计算即可求出∠P． 【解答】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B， ∵AM＝AK，BN＝BK， ∴∠AKM＝∠AMK＝∠BKN＝∠BNK， ∵∠MKN＝44°， ∴∠AKM＝∠BKN（180°﹣44°）＝68°， ∴∠A＝∠B＝180°﹣68°﹣68°＝44°， ∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°， 故选：B． 34．（2024秋•慈溪市期中）（1）如图，△ABC纸片中，∠A＝36°，AB＝AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度； （2）已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B的度数是　 　 ；（请画出示意图，并标明必要的角度） （3）现将（1）中的等腰三角形改为△ABC中，∠A＝36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是　 　 ．（直接写出答案）． 【分析】（1）做∠ABC的角平分线BD，再过点D作∠BDC的角平分线，则△ABD，△BDE，△DEC均为等腰三角形； （2）分两种情况：①BD＝AD，AD＝CD②AB＝BD，AD＝CD．分别作图即可． （3）根据已知分别求解即可． 【解答】解：（1）答案不唯一，只要符合题意均正确． （2）45°或36°， ． （3）72°、108°、90°、126°、132°． 35．（2024秋•绍兴期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE． （1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数； （2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD（180°﹣80°）＝50°， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵CE＝BC， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°； （2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°， 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β， 在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE， ∵CE＝BC， ∴∠CBE＝∠BEC＝α， ∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE， 在△BDC中，BD＝BC， ∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°， ∴β＝70°﹣∠ABE， ∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°， ∴∠BEC+∠BDC＝110°． 36．（2024秋•滨江区校级期中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，D是边AB上一点（不与点A、B重合），E是线段CD延长线上一点，∠BEC＝∠BAC． （1）说明∠EBA＝∠DCA的理由； （2）小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），∠AEC与∠ABC是否会相等？，小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，联结AH，然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等．你能否根据小丽同学的想法，说明∠AEC＝∠ABC的理由． 【分析】（1）由三角形的内角和定理得∠BEC+∠BDE+∠EBA＝180°，∠BAC+∠ADC+∠DCA＝180°，则∠BEC+∠BDE+∠EBA＝∠BAC+∠ADC+∠DCA，再根据∠BEC＝∠BAC，∠BDE＝∠ADC即可得出结论； （2）在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，连接AH，根据AB＝AC及三角形内角和定理得∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC），再依据“SAS”判定△ABE和△ACH全等得AE＝AH，∠BAE＝∠CAH，进而得∠EAH＝∠BAC，然后根据AE＝AH及三角形内角和定理得∠AEC＝∠AHD（180°﹣∠EAH）（180°﹣∠BAC），由此即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BEC+∠BDE+∠EBA＝180°，∠BAC+∠ADC+∠DCA＝180°， ∴∠BEC+∠BDE+∠EBA＝∠BAC+∠ADC+∠DCA， 又∵∠BEC＝∠BAC，∠BDE＝∠ADC， ∴∠EBA＝∠DCA； （2）解：在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，连接AH，如图所示： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）， 由（1）可知：∠EBA＝∠DCA， 在△ABE和△ACH中， ， ∴△ABE≌△ACH（SAS）， ∴AE＝AH，∠BAE＝∠CAH， ∴∠BAE+∠DAH＝∠CAH+∠DAH， 即∠EAH＝∠BAC， ∵AE＝AH， ∴∠AEC＝∠AHD（180°﹣∠EAH）（180°﹣∠BAC）， ∴∠AEC＝∠ABC． 37．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与A，C重合），连接BD，BD＝AB． （1）设∠C＝α，∠ABD＝β． ①当α＝50°时，求β． ②请求出β与α的数量关系． （2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长． 【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝50°，则可求出答案； ②由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ADB，∠ABC＝∠C＝α，则可求出β，由三角形外角的性质可得出答案； （2）过点B作BM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，由勾股定理可得出AM＝4，由勾股定理得出25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，则可得出答案． 【解答】解：（1）①∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°， ∵BD＝AB， ∴∠BDA＝∠A＝80°， ∴β＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°； ②∵AB＝BD， ∴∠A＝∠ADB， ∴β＝180°﹣2∠A， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝α， ∴∠A＝180°﹣2∠C＝180°﹣2α， ∴β＝180°﹣2（180°﹣2α）＝4α﹣180°， 即β＝4α﹣180°； （2）过点B作AM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N， 设AN＝x，则CN＝5﹣x， ∵AB＝5，BC＝6， ∴BM＝CM＝3， ∴AM4， ∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2， ∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2， ∴x， ∴AD＝2AN． 题型十 等腰三角形的判定（共6小题） 38．（2024秋•宁波期中）下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三个角的度数之比是2：2：1 【分析】根据选项中△ABC三个角的关系，利用三角形的内角和定理可分别求出△ABC三个角的度数，进而根据等腰三角形的判定可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵∠B＝40°，∠C＝80° ∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°， 故选项A不能判定△ABC为等腰三角形； 对于选项B， ∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， 可设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴k+2k+3k＝180°， 解得：k＝30°， ∴∠A＝k＝30°，∠B＝2k＝60°，∠C＝3k＝90°， 故选项B不能判定△ABC为等腰三角形； 对于选项C， ∵2∠A＝∠B+∠C， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3∠A＝180°， 解得：∠A＝60°， 此时不能确定∠B和∠C的度数，无法判定△ABC的形状， 故选项C不能判定△ABC为等腰三角形； 对于选项D， ∵三个角的度数之比是2：2：1， 不妨假设∠A：∠B：∠C＝2：2：1， 可设∠A＝2k，∠B＝2k，∠C＝k， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2k+2k+2＝180°， 解得：k＝36°， ∴∠A＝2k＝72°，∠B＝2k＝72°，∠C＝k＝36°， ∵∠A＝∠B， ∴△ABC为等腰三角形， 故选项D可以判定△ABC为等腰三角形． 故选：D． 39．（2024秋•龙湾区期中）在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的△ABC，已知AB＝AC，AC上取一点D，连结BD，若AD＝BD，BC＝CD，则∠A的度数为（　　） A．36° B．30° C．° D．22.5° 【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：设∠A＝x， ∵AD＝BD， ∴∠DBA＝∠A＝x， 在△ABD中 ∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x， 又∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠BDC＝2x， ∴∠ABC＝∠DBA+∠CBD＝3x， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中 ∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+3x+3x＝180°， ∴x＝（）°， 故选：C． 40．（2024秋•椒江区校级期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】在火车自左向右运动的过程中，车长BC可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【解答】解：当车长为腰时， B1C1＝C1A1，C1A＝C1B2，C2A＝B3C2，AC2＝C2B4， ∴△AB1C1，△AB2C1，△AB3C2，△AB4C2是等腰三角形； 当车长为底时，AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 41．（2024秋•海曙区校级期中）如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上．请在图中找一点C，使△ABC为等腰三角形，此时腰长为 　 　 ． 【分析】分别以A为圆心，AB为半径作圆，以B为圆心，AB为半径作圆，再作出AB的中垂线，得到满足题意的点C，再计算腰长即可． 【解答】解：如图中的点即为符合条件的点C，腰长分别为，，5， 故答案为：，，5． 42．（2024秋•宁海县期中）如图△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发　 　 s时，△BCP为等腰三角形． 【分析】根据∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，利用勾股定理求出AB的长，再分别求出BC＝BP，BP＝PC时，AP的长，然后利用P点的运动速度即可求出时间． 【解答】解；∵△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm， ∴AB10， ∵当BC＝BP时，△BCP为等腰三角形， 即BC＝BP＝6cm，△BCP为等腰三角形， ∴AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4， ∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动， ∴点P出发 2s时，△BCP为等腰三角形， 当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时， 此时AP＝BP＝PC，则△BCP为等腰三角形， 点P出发2.5s时，△BCP为等腰三角形， 当BC＝PC时， 过点C作CD⊥AB于点D， 则△BCD∽△BAC， ∴， 解得：BD＝3.6， ∴BP＝2BD＝7.2， ∴AP＝10﹣7.2＝2.8， ∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形． 故答案为：2；2.5；1.4． 43．（2024秋•滨江区校级期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）试说明：△ABF≌△DCE； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）利用等式的性质可以证得BF＝CE，则依据AAS即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得∠AFB＝∠DEC，然后依据等角对等边从而证得． 【解答】解：（1）∵BE＝CF， ∴BF＝CE， ∵在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS）； （2）∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB＝∠DEC， ∴OE＝OF，即△OEF是等腰三角形． 题型十一 等腰三角形的判定与性质（共4小题） 44．（2024秋•上城区校级期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则BD的长为 　 　 ． 【分析】延长BD交AC于点E，根据∠A＝∠ABD得BE＝AE，再证明△BCD和△ECD全等得BC＝CE＝6，BD＝DE，则AE＝AC﹣CE＝4，据此可得BD的长． 【解答】解：延长BD交AC于点E，如图所示： ∵∠A＝∠ABD， ∴BE＝AE， ∵BD⊥CD， ∴∠CDB＝∠CDE＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD， 在△BCD和△ECD中， ， ∴△BCD≌△ECD（ASA）， ∴BC＝CE＝6，BD＝DE， ∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4， ∴BE＝AE＝4， ∴BD＝DEBE＝2． 故答案为：2． 45．（2024秋•萧山区期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　 ． 【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案． 【解答】解：∵BG平分∠EBC， ∴∠EBG＝∠GBC， ∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG， 同理可得DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6， 故答案为：6． 46．（2024春•拱墅区校级期中）如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且∠CDE＝∠B． （1）若DF⊥AB，试判断DF与DE是否垂直，并说明理由； （2）若FD平分∠BFE，∠FDE+3∠AFE＝180°，求∠BFE的度数． 【分析】（1）结论：DF⊥DE．证明DE∥AB，可得∠DFA+∠FDE＝180°，再证明∠FDE＝90°即可解决问题． （2）根据已知条件，构建方程求出∠DFB即可． 【解答】解：（1）结论：DF⊥DE． 理由：∵∠B＝∠CDE， ∴DE∥AB， ∴∠DFA+∠FDE＝180°， ∵DF⊥AB， ∴∠DFA＝90°， ∴∠FDE＝90°， ∴DF⊥DE． （2）∵FD平分∠BFE， ∴∠BFD＝∠DFE∠BFE， ∵DE∥AB， ∴∠FDE＝∠DFB＝∠DFE， ∴∠AFE＝180°﹣2∠BFD， ∵∠FDE+3∠AFE＝180°， ∴∠BFD+3（180°﹣2∠BFD）＝180°， ∴∠DFB＝72°， ∴∠BFE＝2×72°＝144°． 47．（2024秋•台州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 题型十二 等腰三角形综合题（共4小题） 48．（2024秋•西湖区期中）如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是（　　） A．AC＝AD+BD B．AC＝AB+BD C．AC＝AD+CD D．AC＝AB+CD 【分析】根据题意证得AB＝AE，BD＝DE，DE＝EC．据此可以对以下选项进行一一判定． 【解答】解：∵△ADE是由△ADB沿直线AD折叠而成， ∴AB＝AE，BD＝DE，∠B＝∠AED． 又∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC（三角形外角定理）， ∴∠EDC＝∠C（等量代换）， ∴DE＝EC（等角对等边）． A、根据图示知：AC＝AE+EC＝AE+BD，则当AD≠AE时，AC≠AD+BD；故本选项错误； B、根据图示知：AC＝AE+EC，因为AE+EC＝AB+BD，所以AC＝AB+BD；故本选项正确； C、在△ADC中，由三角形的三边关系知AC＜AD+CD；故本选项错误； D、根据图示知：AC＝AE+EC，因为AB+CD＝AE+CD，所以当EC≠CD时，AC≠AB+CD；故本选项错误； 故选：B． 49．（2024秋•温州期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝13，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 　 　 ． 【分析】利用勾股定理求出AC，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得△AMN的周长＝AB+AC，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝13， ∴AC12， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO， ∴MB＝MO，NO＝NC， ∵AB＝5，AC＝12， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+CN+AN ＝AB+AC ＝17， 故答案为：17． 50．（2024秋•江北区校级期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大． 【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O． ∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH，∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC， ∴S△ABES△ABH，S△CDHS△ABH， ∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为3×3． 故选：C． 51．（2024秋•杭州校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．（1）EF＝BE+CF；（2）∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出BE＝OE，CF＝OF，进而得出EF＝BE+CF；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，由角平分线的性质定理得出OM＝ON＝OD＝m，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可得出答案． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴结论（2）正确； ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OCB＝∠OCF，∠OBC＝∠OBE， ∵EF∥BC， ∴∠OCB＝∠FOC，∠OBC＝∠EOB， ∴∠FOC＝∠OCF，∠EOB＝∠OBE， ∴CF＝OF，BE＝OE， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF， ∴结论（1）正确； 如图，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝m，OM＝ON， ∴OM＝ON＝OD＝m， 又∵AE+AF＝n， ∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF ， ∴结论（4）错误； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD，OM＝ON， ∴OM＝ON＝OD， 即点O到△ABC各边的距离相等， ∴结论（3）正确； 故选：C． 题型十三 等边三角形的性质（共5小题） 52．（2024春•余姚市期中）已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝108°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，则最小内角的度数是（　　） A．48° B．12° C．22° D．18° 【分析】过P作PM∥AB交AC于M，作PN∥AC交AB于N，推出四边形PMAN是平行四边形，得到PM＝AN，由等边三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，由平行线的性质推出∠BPN＝∠C＝60°，判定△PBN是等边三角形，得到PN＝PB，因此△APN是AP，BP，CP为边的三角形，求出∠APB＝180°﹣108°＝72°，得到∠APN＝72°﹣60°＝12°，求出∠BAP＝180°﹣60°﹣72°＝48°，∠ANP＝180°﹣60°＝120°，即可得到答案． 【解答】解：过P作PM∥AB交AC于M，作PN∥AC交AB于N， ∴四边形PMAN是平行四边形， ∴PM＝AN， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵PN∥AC， ∴∠BPN＝∠C＝60°，∠APN＝∠PAM， ∴∠PNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△PBN是等边三角形， ∴PN＝PB， ∴△APN是AP，BP，CP为边的三角形， ∵∠APC＝108°， ∴∠APB＝180°﹣108°＝72°， ∴∠APN＝72°﹣60°＝12°， ∵∠BAP＝180°﹣60°﹣72°＝48°，∠ANP＝180°﹣60°＝120°， ∴∠PAN最小， ∴以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的度数是12°． 故选：B． 53．（2024秋•台州期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】连接AC，先证明△ABC≌△ADC（SSS），根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠CAD，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ACE，进一步可得∠CAD＝∠ACE，可得EA＝EC＝9，根据AB＝AD，∠A＝60°，可知△ABD是等边三角形，从而可知△EFD是等边三角形，可知EF＝DE＝3，根据CF＝CE﹣EF求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠CAD， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠CAD＝∠ACE， ∴EA＝EC， ∵CE＝9， ∴AE＝9， ∴ED＝12﹣9＝3， ∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠A＝60°， ∴△EFD是等边三角形， ∴EF＝ED＝3， ∴CF＝CE﹣EF＝9﹣3＝6， 故选：C． 54．（2024秋•宁波校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D，E分别为边BC，AC上一点，AD＝AE，∠ADE＝60°，若∠BAD＝20°，则∠CDE的度数为　 　 ． 【分析】先证明△ADE为等边三角形，可得∠DAE＝60°，求解，再利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：由条件可知∠ADE＝∠AED＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴∠DAE＝60°， ∴∠BAC＝60°+20°＝80°， ∵AB＝AC， ∴， ∴60°+∠CDE＝50°+20°， ∴∠CDE＝10°． 故答案为：10°． 55．（2024秋•诸暨市期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DEBC，则∠AFE的度数为 　 　 ． 【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BADBAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CDBC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是BC边上的中线， ∴∠BADBAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CDBC， ∴∠CDE＝90°， ∵DE＝BC， ∴DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴∠AEF＝∠DEC＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF ＝180°﹣30°﹣45° ＝105°， 故答案为：105°． 56．（2024秋•玉环市期中）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于D， （1）求证：DP＝DQ； （2）过P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的长． 【分析】（1）过点P作PM∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DPM＝∠Q，判断出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AP＝PM，然后求出PM＝CQ，再利用“角角边”证明△DPM和△DQC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得DM＝DC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EM，然后求出DEAC，代入数据进行计算即可得解． 【解答】（1）证明：如图，过点P作PM∥BC，则∠DPM＝∠Q， ∵△ABC为等边三角形， ∴△APM是等边三角形， ∴AP＝PM， 又∵AP＝CQ， ∴PM＝CQ， 在△DPM和△DQC中，， ∴△DPM≌△DQC（AAS）， ∴DP＝DQ； （2）∵△DPM≌△DQC， ∴DM＝DC， ∵PE⊥AC，△APM是等边三角形， ∴AE＝EM， ∴DE＝DM+EMAC， ∵等边三角形ABC的边BC＝4， ∴AC＝4， ∴DE4＝2． 题型十四 等边三角形的判定与性质（共3小题） 57．（2024秋•西湖区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝　 　 ． 【分析】根据AB＝AC＝2，∠B＝60°可判定△ABC为等边三角形，再根据等边三角形的性质可得BC的长． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB＝2， 故答案为：2． 58．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论； （2）根据AB＝AD，CB＝CD，推出直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解． 【解答】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 59．（2024秋•浙江期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　 　 秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 【分析】（1）根据相遇问题，由路程÷速度＝时间建立等式求出t的值即可； （2）根据若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，进而得出CP＝DQ，求出即可； （3）根据P，Q运动速度得出，△APN是等边三角形，得∠APQ＝90°求出即可． 【解答】解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得： t+2t＝AC+AB+BC＝12， 解得：t＝4； 故答案为：4； （2）如图1：若△APQ是等边三角形， 此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP， 则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8）， 解得：t； （3）PQ与AC互相垂直，理由如下： 如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP， 取AQ的中点N， ∵∠PAQ＝60°， ∴△APN是等边三角形， ∴PN＝AN＝NQ， ∴△APQ是直角三角形， ∴∠APQ＝90°， 即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直． $