第1章 第4周 等腰三角形-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（苏科版2024）

一本初中数学周末小测卷八年级上册SK版 第 44 周 等腰三角形 ⊙时间：45分钟 8分值：100分 8得分： @答案：P47 基础测·教材变式 弥一、选择题（每题3分，共15分） 1.已知AF是等腰三角形ABC的底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC n 州 的距离为 () A号 B.2 C.3 0 2.下列对△ABC的判断，错误的是 A若AB=AC,∠B=60°，则△ABC是等边三角形 B.若∠A:∠B:∠C=2:3:5,则△ABC是直角三角形 C,若∠A=20°，∠B=80°，则△ABC是等腰三角形 D.若AB=BC,∠C=40°，则∠B=40 T 3.如果等腰三角形的一个内角的度数为100°，那么它的一个底角的度数为 封 A.100° B.40 C.50° D.60 4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,CD平分∠ACB.若∠A=50°， 则∠B的度数为 A25 B.30 C.35° D.40° 5.如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，AD⊥AC,垂足为A,∠BAD=30°，AB=3,则AC的长为 爵 () 线 A.2.5 B.2 C.1.8 D.1.5 二、填空题（每题3分，共12分） 6.若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 7.如图，已知AB∥CD,∠C=33°，OC=OE,则∠A= 亲 8.若a,b,c为三角形的三边长，且(a一b)2十(a一c)2十|b一c|=0,则这个三角形是 9.如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8cm,点M,N在OB上，PM=PN.若MN=2cm, 则OM= cm. 160 O MN B 三、解答题（共26分） 10.(9分)如图，在△ABC中，CD,BE分别是边AB,AC上的高，连接DE,M,N分别是线段BC,DE 的中点，连接MN,DM,ME. (1)求证：MN⊥DE; (2)若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠DME的度数. 11.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC,垂足为D,BF平分∠ABC交AD 于点E,交AC于点F. (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)若AF=2,求CF的长. 12.(8分)利用如图所示的△ABC,证明命题：“在任意三角形中，大边对大角.” 。07● 一李初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 能力测·迁移运用 一、选择题（每题3分，共9分） 13.(2025常州钟楼区期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.若△DEF与△ABC能拼成一 个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有 () A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 14.(2025南通崇川区期末)如图，在△ABC中，∠A：∠B:∠ACB=1:2:3,∠1=∠2=∠3，则 AD:DE EB- () 3 D E B A.1:1:1 B.2:1:1 C.1:2:1 D.1:1:2 15.如图，在△ABC中，D为AC的中点，CE⊥AB于点E,BD与CE交于点O,且BE=CD.下列说法 错误的是 () A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB.∠BDC=3∠ABD C当E为AB的中点时，△ABC是等边三角形D,当E为AB的中点时，令AC-}一 二、填空题（每题3分，共6分） 16.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长 度为 17.新考法分类讨论思想在△ABC中，AC,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠C=m°，则 ∠AOB的度数为 .(用含m的代数式表示) 三、解答题（共32分） 18.(10分)综合与实践： 初步认识筝形后，某实践小组动手制作了一个“筝形功能器”.如图，在筝形ABCD中，AB=AD, CB=CD. 【操作应用】(1)如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R重合，AB,AD分别放置在 。08。 角的两边RP,RQ上，并过点A,C画射线AE. 求证：AE是∠PRQ的平分线. 【实践拓展】(2)该实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图2，在仪器上的点 A处系一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B,D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经 过点C,即判断门框是水平的该实践小组的判断对吗？请说明理由 A(R) D B Q 弥 图1 图2 19.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD为边BC上的中线，BE⊥AC,垂足为E,F为AB的中 点，连接EF,FD,DE (1)求证：EF=FD; (2)若∠BAC=50°，求∠FED的度数. 封 思维测·拓展创新 20.回新考法分类讨论思想(12分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm,动点P,Q 同时从A,B两点出发，分别在边AB,BC上匀速运动，它们的速度分别为2cm/s,1cm/s,当点P 到达点B时，P,Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts. (1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ 线 (2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ A一奉初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 EH=2, 5 当底角的度数为100°时，两底角度数的和为100°十 100°=200>180°，不满足三角形内角和定理. :.EF=2 5 …11分 综上，底角的度数为40°. AB=8, 4.B,DE垂直平分AC, .'.AD=CD, SAABE 2AB·ER=号X8X 210. …12分 .∠A=∠ACD=50°. 20.解：(1)根据题意可知， 又.CD平分∠ACB, 依据1：角平分线上的点到角两边的距离相等. ∴.∠ACB=2∠ACD=100°， 。。。。。。。。。。。。。 …2分 .∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°=30°. 依据2：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.5.D如图，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E. …4分 (2)结合(1)可知，三角形的内心到三角形三边的距离相 等故答案为相等…6分 (3)'.'BC=a,AC=6,AB=c,OD=r, .'AD⊥AC,BE⊥AD, .OD=OE=OF=r,…7分 ∴.∠E=∠CAD=90° .S△ABc=S△AOB+SAB0c+S△A0c…9分 AD为△ABC的中线， -ABOF+COD+AC OE 1 .BD=DC. 又，∠BDE=∠CDA, 2(a+b十c)r.…12分 .△BDE≌△CDA(AAS), ∴.BE=AC 第④周等腰三角形 在Rt△BAE中，AB=3,∠BAE=30°， 1.CAF是等腰三角形ABC的底边BC上的高， BE=号AB=1.5, ,∴.AF是∠BAC的平分线. ,点F到直线AB的距离为3， .AC=1.5. ∴点F到直线AC的距离为3. 6.100,等腰三角形的一个底角的度数为40°， 2.DA若AB=AC,∠B=60°，则∠A=60°，∠C=60°，即 ∴这个等腰三角形的另一个底角的度数也为40°， △ABC是等边三角形，故此选项判断正确，不符合题意； .等腰三角形的顶角的度数为180°-2×40°=100°. B若∠A:∠B:∠C=3:4:7,则∠C=90°，即△ABC 7.66.'O℃=OE,∠C=33°， 是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； ∠E=∠C=33°， C,若∠A=20°，∠B=80°，则∠C=80°，即△ABC是等腰 ∴.∠DOE=∠E+∠C=66°. AB∥CD, 三角形，故此选项判断正确，不符合题意； .∠A=∠DOE=66°. D.若AB=BC,∠C=40°，则∠A=40°，∠B=100°，故此 8.等边三角形，(a一b)2十(a一c)2十b-c=0, 选项判断错误，符合题意. .∴.a-b=0,a-c=0,b-c=0, 3.B当顶角的度数为100°时，底角的度数为 180°-1002=40°； ..a=b,a=c,b=c, 2 ∴.a=b=c, 。06。 这个三角形是等边三角形 ∠BAC=90°，∠C=30°， 9.3如图，过点P作PD⊥OB于点D. .∠ABC=90°-30°=60°. BF平分∠ABC, ABF=号∠ABC=30,…3分 601 O MDN B .∠AFB=90°-30°=60°，…4分 在Rt△OPD中，∠ODP=90°，∠POD=60°， ∴.∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=60°， ∠OPD=90°-∠POD=30°， ∴·∠AEF=∠EAF=∠AFE=6O, 1 1 .OD=20P=2×8=4(cm). △AEF是等边三角形.…5分 PM=PN,PD⊥MN,MN=2cm, (2)∠BAF=90°，∠ABF=30, ∴.MD=ND=2MN=1cm, BF=2AF=2X2=4.…6分 ..OM=OD-MD=4-1=3(cm). ,BF平分∠ABC, 10.解：(1)证明：CD,BE分别是边AB,AC上的高，M是 ∠CBF=3∠ABC=30, BC的中点， DM-BCME ∠CBF=∠C,…7分 …2分 .CF=BF=4.…9分 ∴.DM=ME.… …3分 12.解：已知：如图，在△ABC中，AC>AB. N是DE的中点， 求证：∠ABC>∠C. ∴△DME是等腰三角形， 证明：如图，由于AC>AB,故在AC边上截取AD= .MN⊥DE.…4分 (2)在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A. AB,连接BD.…2分 :∠ABC=70°，∠ACB=50°， .'AD-AB, .180°-∠A=120°.…6分 ∠ABD=∠ADB. …3分 .DM=ME-BM=MC, :∠ADB是△BCD的外角， .∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°- ∠ADB=∠C十∠DBC,…4分 2∠ACB)=360°-2（∠ABC+∠ACB)=120°，·8分 ∠ADB>∠C,…5分 ∴∠DME=180°-（∠BMD+∠CME)=60°.…9分 ∠ABD>∠C.…6分 解题大招 '∠ABC=∠ABD+∠DBC, 在直角三角形中，已知斜边的中点，常考虑利用 ∠ABC>∠ABD,…7分 直角三角形的性质定理解决问题. ∠ABC>∠C.…8分 11.解：(1)证明：AD⊥BC, ∠ADC=90°.…1分 .∠C=30°， ∴∠EAF=90°-30°=60°.…2分13.B如图，分以AB为腰、AC为腰两种情况. 一本初中数学周末小测卷八年级上册SK版 A(E) ∴点E在线段BD的垂直平分线上， 即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E, B(D) 故选项A正确，不符合题意。 R B(D) C(F 设∠ABD=a. .BE=DE, ∴.∠EDB=∠ABD=a, A(E) ∴.∠AED=∠EDB+∠ABD=2a. B(E) C(F) .DE=AD, D4 B(F ∴.∠A=∠AED=2a, 故拼成的等腰三角形有5种。 ∴.∠BDC=∠A+∠ABD=3a, 14.B设∠A=x,则∠B=2x,∠ACB=3x, 即∠BDC=3∠ABD, .x+2x+3x=180°， 故选项B正确，不符合题意 解得x=30°， E为AB的中点，BE=2AB. ∴.∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90°. CE⊥AB, :∠1=∠2=∠3， ∴.CE是线段AB的垂直平分线， .∠1=∠2=∠3=30°， ∴.AC=BC ∴.∠CDE=180°-∠B-∠2-∠3=60°， BE-zAB.CD-zAC,BE-CD, 1 ∴∠CDE=∠B, .'.CD=CB. ∴.AB=AC, ∠2=∠3， ..AC=BC=AB, ∴.DE=EB,CE⊥BD. ∴△ABC是等边三角形， .∠1=∠2=∠A=30°， 故选项C正确，不符合题意. .'.AD=CD,CD=2DE, 连接AO并延长交BC于点F,如图2所示. .AD:DE:EB=2:1:1. 15.D连接DE,如图1所示. 图2 E为AB的中点，D为AC的中点， 图1 ∴.F为BC的中点。 ,CE⊥AB,D为AC的中点， :当E为AB的中点时，△ABC是等边三角形， .DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴.∠ABC=∠BAC=60°，AF⊥BC,AF平分∠BA( 1 .DE-AD-CD-2AC. BD平分∠ABC, .BE=CD, ∴.∠OAB=∠OAC=30°，∠OBA=∠OBC=30°， ∴.BE=DE, ∴.∠OAB=∠OBA=30°， ..OA=OB. ∴.∠AOB=180°-（∠OBA+∠OAB)=2m°. 在Rt△OBF中，OB=2OF, 如图2，当∠BCA为钝角时，连接CO,AO,BO. ..OA=OB=20F, ..AF=OA+OF=30F, ∴Sm号C0F,Sa-7C.AF-2BC.OR, 图2 ,l1垂直平分AC,l2垂直平分BC, 故选项D不正确，符合题意 ∴.AO=C0,BO=C0, 16.2AB=AC, ∴.∠OAC=∠OCA,∠OCB=∠OBC. .∠ABC=∠C ,∠OCB+∠OCA=∠BCA=m°， :∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=36°， ∴.∠OBC+∠OAC=∠OCB+∠OCA=m°. ∴∠ABC=∠C=72° ,∠OBC+∠BCA+∠OAC+∠AOB=360°， BD平分∠ABC, ∠AOB=(360-2m)°. .∠CBD=∠ABD=36°， 综上，∠AOB的度数为2m°或(360-2m)°. ∴.∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72， 18.解：(1)证明：在△ABC和△ADC中， ∴∠BDC=∠C, (AB=AD, ∴BD=BC=2. BC=DC,…3分 ∠A=36°，∠ABD=36°， AC=AC, ∠A=∠ABD, .△ABC≌△ADC(SSS),…4分 ..AD=BD=2. ∴.∠BAC=∠DAC, 17.2m°或360°-2m°如图1，当∠BCA为锐角时，连接 .AE是∠PRQ的平分线.…5分 CO,AO,BO. (2)该实践小组的判断对理由如下：…6分 由(1)，知AC平分/BAD.…7分 ,△ABD是等腰三角形，AB=AD, AC LBD.…8分 AC是铅锤线，…9分 图1 BD是水平的， ,l1垂直平分AC,l2垂直平分BC, 即门框是水平的， ∴.A0=C0,B0=C0, 该实践小组的判断对. …10分 ∴.∠OAC=∠OCA,∠OCB=∠OBC. 19.解：(1)证明：，AB=AC,AD为边BC上的中线， ,∠OCB+∠OCA=∠BCA=m°， ∴∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°， ∴.∠OBC+∠OAC=∠OCB+∠OCA=m°. △ABD是直角三角形.…1分 ∠ABC+∠CAB=180°-∠BCA=180°-m°， ,F为AB的中点， ∴.∠OBA+∠OAB=∠ABC+∠CAB-(∠OBC+ ∠0AC)=180°-m°-m°=180°-2m°， FD)AB=AF=BF、…2分 。07● 一奉初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 BE⊥AC, 獬得t=.…8分 ∠AEB=90°， ②当∠BPQ=90时，BQ=2BP, ∴△ABE是直角三角形.…3分 即t=2(4-2t), ,F为AB的中点， 解得t二8 5 11分 EF=号AB=AF=BF,…4分 综上所述，当：=1或=含时，△PBQ为直角三角形， ..EF=ED …5分 …12分 (2)由(1)，知∠BAD=∠CAD. :∠BAC=50°， 第个章 综合检测·培优卷 .∠BAD=∠CAD=25°.…6分 1.C三角形的三边一旦确定，则其形状、大小完全确定，即 :∠ADB=90°， 三角形的稳定性.屋顶支撑架、自行车车架、旧门钉木条都 ∴.∠ABC=65. 7分 是运用了三角形的稳定性，伸缩门是运用了四边形的不 由(1)，知FD=AF=BF, 稳定性。 .∠ADF=∠BAD, 2.B在△ABC和△ABD中， ∴.∠ADF=∠CAD, (AC=AD, .AC∥FD. 8分 BC=BD, BE⊥AC, AB=AB, BE⊥FD. ∴.△ABC≌△ABD(SSS), .EF=FD=BF, ∴.∠CAB=∠DAB, FD垂直平分BE,∠FBE=∠FEB,…9分 ∴.AB平分∠CAD, .'.BD=DE, 故B选项正确。 ∠EBD=∠BED, 无法说明CD平分∠ACB,故A选项不正确. ∴.∠FED=∠FEB+∠BED=∠ABC=65°.·10分 .AC=AD,BC=BD, 20.解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴AB是线段CD的垂直平分线， ∠B=60°.… …1分 故C,D选项不正确。 .4÷2=2(s), 3.D如图，DE=AB=a,DF=AC=c. ∴.0≤t≤2，BP=(4-2t)cm,BQ=tcm.…2分 A (1)当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形， a509 此时4一2t=t,… …3分 人58°72A B b 解得=台 :△ABC和△DEF全等， .∠D=∠A=50°， 故当：=号时，△PBQ为等边三角形 .…4分 ∴.∠a=50° (2)若△PBQ为直角三角形，则有以下两种情况： 4.CDE垂直平分AB交BC于点D, ①当∠BQP=90时，BP=2BQ, ∴.AD=DB 即4-2t=2t,…7分 .△ACD的周长为50cm, 。08。 ..AC+AD+CD=AC+DB+CD=AC+BC=50 cm. 5.A如图，以A,B为顶点，得到△ABC,△ABD,△ABE 以A,C为顶点，得到△ACD,△ACE, 以A,D为顶点，得到△ADE, 以B,C为顶点，得到△BCE,△BCD, 以B,D为顶点，得到△BDE, 以C,D为顶点，得到△CDE. 故以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可画三角 的个数是10. 6.C在等边三角形ABC中，∠ABC=60°. BD是边AC上的高， .BD平分∠ABC, 2CBD-号ABc=30 .BD=DE. ∴.∠DEC=∠CBD=30. 7.B,AF为△ADE的中线， .SAADE=2S△ADr, 1 同理可得，SAAC=2S△ME,SAMm=S△am=2 SAAIC, .SADr=8SAAc· ,四边形ABDF的面积为20， .SAABD+S△ADF=20, 55ae+85=20, SAARC=32. 8.D .'AB=AC, ∴∠B=∠C 在△ABE和△ACD中， (AB=AC, ∠B=∠C, BE=CD, ∴.△ABE≌△ACD(SAS), ∴.AE=AD AB=AB,∠B=∠B,AD=AE,∠BAD≠∠BAE, ∴.△ABD和△ABE是1对“伪全等三角形”. 同理可得， △ABD和△ACD是1对“伪全等三角形”. △ACD和△ACE是1对“伪全等三角形”. △ABE和△ACE是1对“伪全等三角形”. 故题图中的“伪全等三角形”共有4对. 9①由题图可知，在第①块中，可以得到这块打碎的玻璃 的两角及其夹边，即可确定这块三角形玻璃与购买的三 角形玻璃全等， 10.7如图，过点D作DH⊥AC于点H. ∠B=90°， DB⊥AB. ,AD是△ABC的角平分线， .'.DH=BD=2. ,AC=7, 1 SAAc=2AC·DH=7. 11.4(答案不唯一)，长度分别为3,6，a的三条线段能组 成一个三角形， .6-3<a<6+3, 即3<a<9, .整数a的值可以是4（答案不唯一）. 12.9,两个三角形全等， .x=4,y=5, ∴.x十y=4+5=9. 13.>.'AB=3,AC=5,,∴.AC>AB.·边AC所对的角是 ∠B,边AB所对的角是∠C,在同一个三角形中，较大的 边所对的角也比较大，∴∠B>∠C 14.5由题意可得，∠ACE=∠ABD=90°