专题02 函数中必考八类定义域、值域问题（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题02 函数中必考八类定义域、值域问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 求具体函数的定义域】 2 【类型2 求抽象函数的定义域】 3 【类型3 求复合函数的定义域】 4 【类型4 根据函数的值域求定义域】 5 【类型5 已知函数的定义域求参数】 5 【类型6 求常见函数的值域】 6 【类型7 求复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 7 【类型8 已知函数的值域求参数】 8 知识点1 函数的定义域与值域 1．函数的定义域与值域 在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 知识点2 函数的定义域、值域的求解策略 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【注】：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 3．求函数值域的一般方法 (1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域. (2)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (3)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； (4)单调性法：第一步，求出函数的单调性；第二步，利用函数的单调性求出函数的值域； (5)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域； (6)数形结合法：画出函数图象，利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，求得函数的值域. 【注】：求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、判别式法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【类型1 求具体函数的定义域】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A．或 B．或   C．或 D． 或 4．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 5．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 6．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【类型2 求抽象函数的定义域】 7．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知的定义域为，则的定义域为 ． 11．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 12．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【类型3 求复合函数的定义域】 13．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 17．（2025·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数的定义域是，求函数的定义域． 【类型4 根据函数的值域求定义域】 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域为，值域为，则为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 23．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 个. 24．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 【类型5 已知函数的定义域求参数】 25．（24-25高一上·全国·课后作业）若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（24-25高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 29．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求； (2)若的定义域为，求的取值范围． 30．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【类型6 求常见函数的值域】 31．（24-25高一·江苏·课后作业）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 34．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域为 ． 35．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； 36．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【类型7 求复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 37．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ） A． B．（） C．（） D． 38．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 39．（2025·全国·模拟预测）函数的值域（    ） A． B． C． D． 40．（2025高一·全国·专题练习）函数的值域为 ． 41．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2) (3) 42．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【类型8 已知函数的值域求参数】 43．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·重庆北碚·阶段练习）若函数 的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（2025·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 47．（24-25高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 48．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数. (1)若其定义域是，求实数的取值范围； (2)若其值域是，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数中必考八类定义域、值域问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 求具体函数的定义域】 2 【类型2 求抽象函数的定义域】 4 【类型3 求复合函数的定义域】 7 【类型4 根据函数的值域求定义域】 9 【类型5 已知函数的定义域求参数】 11 【类型6 求常见函数的值域】 14 【类型7 求复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 17 【类型8 已知函数的值域求参数】 22 知识点1 函数的定义域与值域 1．函数的定义域与值域 在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 知识点2 函数的定义域、值域的求解策略 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【注】：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 3．求函数值域的一般方法 (1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域. (2)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (3)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； (4)单调性法：第一步，求出函数的单调性；第二步，利用函数的单调性求出函数的值域； (5)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域； (6)数形结合法：画出函数图象，利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，求得函数的值域. 【注】：求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、判别式法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【类型1 求具体函数的定义域】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解题思路】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【解答过程】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由具体函数的定义域求法即可解答. 【解答过程】函数的定义域为，A正确； 由知的定义域为，B错误； 对于C，D，易知的定义域为，C，D错误． 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A．或 B．或   C．或 D． 或 【答案】B 【解题思路】根据偶次根式函数有意义列不等式求解定义域. 【解答过程】由题意，可得，即， 即， 解得或. 故选：B． 4．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】或． 【解题思路】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【解答过程】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 5．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)要使函数有意义，只需令，其解集即为函数的定义域. (2)要使函数有意义，需满足,其解集即为的定义域. 【解答过程】（1）要使函数有意义，只需令，解得：, 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，需满足,所以, 所以的定义域为: 6．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3){且 (4)且 【解题思路】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可； （3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可. 【解答过程】（1） 所以定义域为 （2） 所以定义域为 （3）且 所以定义域为且 （4）且 所以定义域为且. 【类型2 求抽象函数的定义域】 7．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【解答过程】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 8．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【解答过程】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C. 9．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案. 【解答过程】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法， 在函数中，，解得且. 则定义域为. 故选：C. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【解题思路】由抽象函数的定义域求法，可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得， 故函数的定义域为． 故答案为：. 11．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【解题思路】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【解答过程】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 12．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【解答过程】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【类型3 求复合函数的定义域】 13．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合复合函数的定义域，建立使各个式子有意义的不等式求解可得. 【解答过程】由有意义，可得，解得. 要使函数有意义， 则，解得. 对函数，定义域为自变量的取值范围， 其中集合为非空数集， 所以函数的定义域为. 故A错误，D正确. 故选：D. 14．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【解答过程】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A. 15．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可. 【解答过程】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 16．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【解题思路】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【解答过程】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 17．（2025·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 【答案】. 【解题思路】由题意列出不等式组解之即得. 【解答过程】由函数的定义域为，则要使函数有意义， 则， 解得, ∴函数的定义域为. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数的定义域是，求函数的定义域． 【答案】 【解题思路】根据复合函数定义域的求解方法，列出不等式组求解即可. 【解答过程】∵函数的定义域是， ∴要使函数有意义， 则，解得. 故函数的定义域为. 【类型4 根据函数的值域求定义域】 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域. 【解答过程】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A. 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域为，值域为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的单调性列式求解即可. 【解答过程】解法一：因为在为减函数， 由解得，所以． 解法二：令，得；令，得， 又函数在定义域内单调递减，所以函数的定义域． 故选：B. 21．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分类讨论解不等式即可. 【解答过程】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D. 22．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 【答案】9 【解题思路】根据值域得的取值情况，列举可得答案. 【解答过程】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为 共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 23．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 个. 【答案】 【解题思路】求出使得函数的值域为的定义域的个数，即可得解. 【解答过程】由，可得；由，可得； 由，可得. 所以，使得函数的值域为的定义域中至少含、中的一个， 至少含、中的一个，至少含、中的一个， 而、的放法种数等价于集合的非空子集个数，即、的放法种数为种， 同理可知，、的放法种数为，、的放法种数为， 因此，数解析式为，值域为的“同族函数”共有个. 故答案为：. 24．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）将x分别取0，1，2，3时，可得y值依次为，，1，3，即可得答案； （2）解不等式，即可得答案； 【解答过程】解：（1）当x分别取0，1，2，3时，y值依次为，，1，3， 的值域为1，． （2）， ， 即 即函数的定义域为． 【类型5 已知函数的定义域求参数】 25．（24-25高一上·全国·课后作业）若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】由函数特征得到不等式，得到，结合函数的定义域得到方程，求出. 【解答过程】由题得，解得， 函数的定义域为，故，. 故选：B. 26．（24-25高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意，问题转化不等式非负的问题，分，两种情况讨论即可. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以恒成立， 当时，不等式为，故符合题意； 当时，要使恒成立，则需满足， 解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：C. 27．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【解答过程】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 28．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据题意知恒成立，再求解即可. 【解答过程】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 29．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求； (2)若的定义域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，求解得，进而计算可求. （2）分，和三种情况，分别计算求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以，解得，则， 故． （2）因为的定义域为，所以对于任意，不等式恒成立， ①当时，二次函数的图象开口向下， 故必然存在使得，不符合题意； ②当时，的定义域为，不满足题意； ③当时，要使对于任意恒成立， 只需满足，解得． 综上，的取值范围是． 30．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或， 【解题思路】（1）根据的定义域为，可得和是一元二次方程的实数根，即可利用韦达定理求解， （2）将问题转化为对任意的均成立，对系数进行讨论，结合判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于的定义域需要满足， 结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根， 因此， 解得， （2）的定义域为，则对任意的均成立， 当时，，此时不等式为，则解不是全体实数，不符合，舍去， 当时，，此时不等式为，则解是全体实数，符合， 当且，此时，不等式为一元二次不等式， 要使解为全体实数，则， 解得或， 综上可得或. 【类型6 求常见函数的值域】 31．（24-25高一·江苏·课后作业）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【解答过程】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C. 32．（24-25高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【解答过程】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A. 33．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据一次函数、二次函数、对勾函数值域的求法依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，的值域为，A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，由得：，即的定义域为， 当时，，，C正确； 对于D，当时，（当且仅当时取等号），，D错误. 故选：C. 34．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【解题思路】根据二次函数的性质求解即可. 【解答过程】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 35．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数的解析式求得值域. （2）根据二次函数的性质求得值域. 【解答过程】（1）由，分别代入求值， 可得函数的值域为． （2）， 由，当时，；当时，；， 再结合函数的图像，可得函数的值域为．    36．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【解答过程】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【类型7 求复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 37．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ） A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【解题思路】分别求出各函数的值域即可. 【解答过程】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 38．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【解答过程】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D. 39．（2025·全国·模拟预测）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用分离常数法求解. 【解答过程】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 40．（2025高一·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【解题思路】解法1：利用换元法，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可；解法2：利用函数的单调性求解. 【解答过程】解法1：设（），则， 原函数转化为（）， 因为二次函数图象的对称轴为，且抛物线开口向上， 所以在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 解法2：函数的定义域为， 因为和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 41．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用分离常数法可得解； （2）换元，令，，，再由二次函数的性质即可得解； （3）根据分式函数的特点，因定义域为R，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【解答过程】（1）， 显然，所以， 故函数的值域为：. （2）设，则，且， 所以 ，， 结合函数的图象可得原函数的值域为. （3）因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，符合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 42．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解题思路】（1）利用换元法求解； （2）利用配方法结合二次函数性质求解； （3）利用配方法求解； （4）可采用换元法或判别式法求解； （5）令，换元结合基本不等式求解； （6）采用分离常数的方法，结合基本不等式求解. 【解答过程】（1）令，所以， 即，当时，，即函数的值域为. （2）易知的取值需满足，即，即函数定义域为， 因为，由二次函数性质可得当时，， 所以的值域为. （3）由，可得函数的值域为. （4）已知函数，定义域为， 方法一：换元法．设，则， 所以， 因为，所以，所以，故值域为. 方法二：判别式法． ，整理得 当时，方程为，不成立； 当时，，即，解得， 综上，. （5）令，则，且 当时，； 当时，，因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以函数的值域为. （6）， 因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为. 【类型8 已知函数的值域求参数】 43．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【解答过程】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 44．（24-25高一上·重庆北碚·阶段练习）若函数 的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围 【解答过程】解：， 当时，在上单调递增， 所以，此时， 当时，由， 当且仅当，即 时取等号， 因为在上单调递增， 若的值域为，则有，即，则， 综上，， 所以实数的取值范围为 故选：A. 45．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数的取值范围. 【解答过程】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：． 故选：C. 46．（2025·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【解答过程】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 47．（24-25高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解题思路】（1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解； （2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解. 【解答过程】（1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围是． 48．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数. (1)若其定义域是，求实数的取值范围； (2)若其值域是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意得恒成立，分，两种情况解决即可；（2）根据题意得，令，分，，三种情况解决即可. 【解答过程】（1）由题知，，定义域是， 所以恒成立， 当时，恒成立， 当时，应满足，解得， 综上可得， 所以实数的取值范围为 （2）由题知，，值域是 所以， 令 当时， 不满足题意， 当时，，开口向下，不满足题意， 当时，应满足，解得， 综上可得， 所以实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $