专题2.1 椭圆及其标准方程重难点题型专训（4个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

该高中数学讲义围绕椭圆及其标准方程构建了系统化知识体系，通过思维导图清晰呈现四大核心知识点：定义、标准方程、焦点三角形性质与轨迹问题，并辅以表格对比焦点位置判断、参数范围求解等关键技巧，使重难点题型如“点到焦点距离最值”“焦点三角形周长面积”等内在逻辑一目了然。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，例如在题型五中引导学生用几何直观理解点到两定点距离和的最值，结合代数运算突破难点，体现数学眼光与思维的融合。每类题型均配有典型例题和变式训练，如经典例题十一中利用a、b、c关系求方程，既夯实基础又提升综合能力，满足不同层次学生需求。教师可据此开展分层教学，学生亦能借助框架图自主梳理，实现高效复习与精准提升。

专题2.1 椭圆及其标准方程重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 椭圆定义及辨析 题型二 利用椭圆定义求方程 题型三 椭圆上点到焦点的距离及最值 题型四 椭圆中焦点三角形的周长问题 题型五 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 题型六 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型七 椭圆中焦点三角形的其他问题 题型八 根据方程表示椭圆求参数的范围 题型九 椭圆的方程与椭圆焦点)位置的特征 题型十 求椭圆上点的坐标 题型十一 根据a、b、c求椭圆标准方程 题型十二 根据椭圆过的点求标准方程 题型十三 轨迹问题--椭圆 拓展训练一 椭圆中焦点三角形相关问题 拓展训练二 椭圆方程的求解 知识点一：椭圆的定义 椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 集合S＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． 【知识剖析】 (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 【即时训练】 1．（2025·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，结合，求出，，结合即可判断各个选项. 【详解】由题意可知，，，所以， 由椭圆的定义可知，，又，所以，， 所以． 故选：D 2．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是 . 【答案】16 【分析】由椭圆的定义求解的周长即可. 【详解】椭圆中，， 则的周长为 . 故答案为：16 知识点二：椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【知识剖析】 1．这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； 4．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x²项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y²项的分母较大． 求椭圆的标准方程 1．利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）定位：确定焦点在那个坐标轴上； （2）定量：依据条件及确定的值； （3）写出标准方程； 2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B)，将点的坐标代入，解方程组求得系数。 【即时训练】 1．（2024·河北保定·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为在椭圆上，且，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据得到，从而求得的值，再代入点坐标求得，即可得到长轴长. 【详解】由，得，所以， 把及代入， 得，解得（舍去）或， 所以，椭圆的长轴长为. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】可设椭圆方程，再利用待定系数法来求解即可. 【详解】根据题意，可设椭圆的标准方程为， 代入两点得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 知识点三：椭圆的焦点三角形 1．定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识， 建立，，之间的关系， 采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 【即时训练】 1．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据椭圆定义求解出焦点三角形的周长. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以，所以， 故选：C. 2．（23-24高三下·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求得三边长，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为. 故答案为：. 知识点四：椭圆的参数方程 以焦点在x轴上的椭圆标准方程为例进行推导。 我们知道三角函数中有，这与椭圆标准方程的形式相似。于是，我们可以令： 将其代入椭圆标准方程中： 所以，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）。 同理，焦点在y轴上的椭圆标准方程的参数方程为（为参数）。 【即时训练】 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得， 解得且， 故m的取值范围是或. 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆经过点，，则的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程待定系数法可得解. 【详解】设，则， 解得， 所以的标准方程为， 故答案为：. 【经典例题一 椭圆定义及辨析】 【例1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解即可. 【详解】由可得：， 由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为. 故选：C. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，A，B是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为A，B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…．在两组同心圆的交点中，找出与A，B两点的距离之和等于14的点，并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来，观察所得曲线的形状． 【答案】图形见解析，曲线形状为椭圆 【分析】依题意画出图象，根据椭圆的定义判断即可； 【详解】解：因交点到两定点、的距离之和为常数，且，由椭圆的定义可知，交点在以、为焦点，长轴长为的椭圆上，所以曲线的形状为椭圆； 1．（24-25高二上·浙江衢州·期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】记圆O半径为，设点A关于直线的对应点为，连接交直线于点，连接，计算，根据椭圆定义可得． 【详解】如图，圆半径为，是一条折痕，点关于的对称点在圆上，连接交直线于，则， 所以， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为． 故选：B 2．（多选题）（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（   ） A．存在无数个点P，使得为定值 B．存在无数个点P，使得为定值 C．仅存在2个点P，使得 D．仅存在4个点P，使得 【答案】ABD 【分析】曲线代表的是椭圆和椭圆，进而逐项判断即可. 【详解】由曲线C：， 可知曲线为：椭圆和椭圆， 易知，为的焦点，，，为的焦点， 存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P，使得为定值，故AB正确； 由图象可知：两椭圆共有4个交点， 所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对， 故选：ABD 3．（24-25高二上·海南·期末）已知椭圆，我们把圆叫做的“外准圆”，把圆叫做的“伴随圆”，设为椭圆的两个焦点，与其伴随圆的一个交点为，直线（为坐标原点）与的外准圆交于两点，若的面积为1，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定定义及椭圆定义，结合勾股定理列式计算得解. 【详解】令椭圆的半焦距为c，则的“伴随圆”交轴于点， 依题意，，由的面积为1，得， 由，得， 所以 . 故答案为：2 4．（23-24高二·江苏·课后作业）把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？ 【答案】答案见详解 【分析】设矩形的长，宽以的中点为原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系，通过求解直线与的方程，整理得椭圆方程，即可判断结果． 【详解】设矩形的长，宽 以的中点为原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系 则由于整个图形关于轴对称，我们只研究第一象限 设点是上自右到左的第个分点，点是上自上到下的 第个分点，则，， 所以①，② ①，②式相乘且整理得③ 因为点是直线与的交点，所以点满足方程③ 故点在椭圆上． 【经典例题二 利用椭圆定义求方程】 【例1】（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义来求得正确答案. 【详解】由于线段的垂直平分线交线段于点， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 且，则， 所以的轨迹方程为. 故选：C 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知的周长为18，且，建立适当的平面直角坐标系，求顶点的轨迹方程． 【答案】 【分析】首先建系，再将周长问题转化为椭圆的定义，即可求轨迹方程. 【详解】如图，以所在直线为轴，以线段的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    其中，，设，， 由题意可知，，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中三点不共线， 其中，，则，，， 所以顶点的轨迹方程为 1．（2023·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知可设可求出所有线段用表示，在中由余弦定理得从而可求. 【详解】如图，由已知可设，又因为 根据椭圆的定义， 在中由余弦定理得，所以 故椭圆方程为： 故选：B 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程为 ． 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质，结合椭圆的定义得出点的轨迹方程. 【详解】依题意，点，半径，线段的垂直平分线交于点，则， 于是， 因此点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 由，，得， 所以点的轨迹的方程为：. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知的三边a､b､c(a>b>c)成等差数列，A､C两点的坐标分别是(-1，0)､(1，0)，求顶点B的轨迹方程. 【答案】(-2<x<0). 【分析】根据等差数列性质找到三角形三边关系，根据椭圆定义求得轨迹方程，因要满足三角形的概念，需要限定轨迹的取值范围. 【详解】设点B的坐标为(x，y). ∵a､b､c成等差数列，∴a+c=2b，即|BC|+|BA|=2|AC|，∴|BC|+|BA|=4. 根据椭圆的定义易知，点B的轨迹方程为. ∵a>c，∴，解得x<0. 又点B不在x轴上，∴x≠-2. 故所求的轨迹方程为 (-2<x<0). 【点睛】方法点睛：由数列的性质找到椭圆满足的定义关系，再根据边长关系求得限定条件. 【经典例题三 椭圆上点到焦点的距离及最值】 【例1】（23-24高二上·吉林松原·期末）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为的中点为，的中点为，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为， 因为的中点为，的中点为，所以， 又由，可得. 故选：B. 【例2】（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆的上焦点为F，且P是椭圆上的一点，求的最小值与最大值． 【答案】的最小值为，最大值为. 【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的范围、配方法进行求解即可. 【详解】设，则有，， ， 因为，所以， 因此，即的最小值为，最大值为. 1．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式求解最大值. 【详解】依题意，，，则，，设， 所以：，又因为：， 所以：，因为：，所以当时，有最大值：，故C项正确. 故选：C． 2．（多选题）（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义，再结合条件即可得到答案。 【详解】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和，则，即． 因为，则，所以． 对A，a=4,c=1，不满足； 对B，a=3,c=1，满足； 对C，a=5,c=2，满足； 对D，a=6,，不满足. 故选：BC． 3．（2023·广西柳州·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故答案为：1 4．（2022高三·全国·专题练习）在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． 【答案】 【分析】先求出椭圆的准线方程为，利用椭圆的定义表示出的关系，求出点P的横坐标，再代入标准方程，求出纵坐标. 【详解】设P点的坐标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点． 因为椭圆的准线方程为，   所以， 因为，所以，所以. 把代入方程，解得： 因此，P点的坐标为． 【经典例题四 椭圆中焦点三角形的周长问题】 【例1】（22-23高二上·内蒙古乌兰察布·期末）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ）． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据对称关系可知为的中位线，再利用椭圆定义可得，从而可得的周长. 【详解】因为关于的对称点为，关于的对称点为， 所以为△的中位线， 所以， ， 所以的周长为. 故选：D. 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）若，是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，试求的周长． 【答案】16 【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示：    因为点A，B在椭圆上， 所以由椭圆的定义知：， ，即， 1．（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解. 【详解】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称，设椭圆的另一个交点为， 则四边形为平行四边形，由椭圆的定义可知：， 又，所以， 又直线过原点，所以， 所以的周长的最小值为：. 故选：D    2．（多选题）（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对A项, 根据椭圆的定义,即可判断; 对B项, 设出点的坐标，根据两点间距离公式和椭圆的定义, 即可求出点;对C项,表示出,据椭圆的范围即可得到范围，进而判断; 由椭圆的定义可得, ,,求出的范围,即可判断. 【详解】 由可得,焦点坐标分别为. 对A项, 的周长为，故A错误; 对B项,设存在点,根据两点间距离公式和椭圆的定义得, 即,解得或,故B正确; 对C项, 设点,,则, 所以,, 则,又因为,所以, 所以的取值范围为,故C正确; 对D项, 由C知, ,则,因为, 所以,则,同理可得,所以, 当时,取得最大值, 当或时, 的值,但且,所以的取值范围为,故D正确. 故选:BCD. 3．（2025高二·全国·专题练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得，，当三点共线时，周长取得最大值，从而可得出答案. 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于A，B两点，当的周长最大时，求的面积． 【答案】3. 【分析】设出椭圆的右焦点E，利用椭圆的定义得到的周长，可知当直线过右焦点E时，的周长最大，这样可以求出的面积. 【详解】设椭圆的右焦点为E，连接， 由椭圆的定义，知的周长， ， 因为， 所以，即当直线过右焦点E时，的周长最大， 此时的高为， 将代入椭圆方程，得， 所以， 故． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义的应用以及，两点间线段最短公理的应用，属于中档题. 【经典例题五 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，、分别是其左右焦点，点是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【分析】由椭圆定义将问题转化成求的范围，再结合三角形两边之差小于第三边即可求解. 【详解】因为， 所以， 由题意可得， 如图，根据三角形两边之差小于第三边可知， ，当且仅当点三点共线时取等号， 所以， 所以的取值范围为. 1．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 故选：B 2．(多选题)（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的左、右点分别为，，定点，若点是椭圆上的动点，则的值可能为（    ） A．7 B．10 C．18 D．20 【答案】AB 【分析】由椭圆定义可得，求出的范围，即可求的值. 【详解】由椭圆方程得，则由椭圆定义可得， ∴， ， ， ，则. 故选：AB. 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当周长最大时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】 首先根据椭圆的几何性质和定义，求解周长最大时，点的位置，即可求解直线方程. 【详解】 椭圆方程：，，，，如图所示设椭圆的左焦点为， ， 则，，如图，当，，共线时取等号， 的周长，当且仅当三点，，共线时取等号． 则直线的方程：，整理得.    故答案为： 4．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知椭圆内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M. （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求使得的值最小时点M的坐标. 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】（1）利用数形结合，根据三点共线分析的最大值；（2）利用椭圆的定义转化，求的最大值；（3）利用椭圆的第二定义，转化，再利用数形结合分析得到最小值，以及取得最小值时的点的坐标. 【详解】（1），所以，即 当点三点不共线时，，如图当三点共线时，，即，所以的最大值是，    （2）设椭圆的左焦点，根据椭圆定义可知， 即，如图，当三点共线时，等号成立， ，所以的最大值是.    （3）椭圆的右准线，设椭圆上的点到右准线的距离为，因为，所以， ，如图，的最小值是点到直线的距离，即    所以的最小值是，此时点的纵坐标是1，代入椭圆方程可得，所以的值最小时点M的坐标 . 【点睛】本题考查椭圆内的最值问题，重点考查转化与变形，数形结合分析问题，属于中档题型. 【经典例题六 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例1】（24-25高二上·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解. 【详解】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以， 所以点的纵坐标为，所以. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理进行求解即可； （2）根据（1）中三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 1．（22-23高二下·四川德阳·阶段练习）椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，由可得，进而得到，由可得，同除以即可求解. 【详解】 设的内切圆半径为， 则 ，，， 可得 . ，解得. 又因为，所以，即， 所以，即，解得（舍去负值）， 所以. 故选：A 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 3．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【分析】由题意知，由余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】 因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即， 所以， 故的面积， 设的内切圆半径为， 则， 解得,. 故答案为：. 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【详解】（1）由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即， 故. （2）因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 【经典例题七 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】由椭圆，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知点，分别为椭圆的（）的左、右焦点，椭圆的焦距为，且椭圆的离心率为，过点作轴的垂线交椭圆于点，，求证：为正三角形． 【答案】证明见解析 【分析】由题意求得，进一步得到，即，根据有一个角度是的等腰三角形是等边三角形即可得证. 【详解】易知，， 将代入，解得，不妨设，． 在中，， 即，也即， 又因为轴垂直且平分线段， 于是为正三角形． 1．（23-24高三上·陕西渭南·期末）已知椭圆的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为直径的圆与椭圆有交点，写出圆的方程，联立椭圆方程，得到，从而求出，得到答案. 【详解】由题意得，以为直径的圆与椭圆有交点， 以为直径的圆的方程为，与联立得 ， 故，即，即， ，， 故选：B 2．（多选题）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆：的左､右焦点，是椭圆上一动点，有（    ） A．时，满足的点有3个 B．时，满足的点有4个 C．时，取得最小值 D．过点作的外角平分线的垂线，垂足为，则 【答案】BCD 【分析】对于A，当a时，椭圆中使得∠F1PF2＝90°点P位于短轴的两个端点，即可求解，对于B，当时，满足∠F1PF2＝90°的点P有四个，分别位于4个象限，即可求解，对于C，利用余弦定理及椭圆的定义结合不等式求出|PF1|•|PF2|的最大值得答案；对于D，设F1P的延长线与F2M交于Q，由题意可得三角形PQF2为等腰三角形，|PQ|＝|PF2|，OM为△F1F2Q的中位线，运用椭圆的定义和中位线定理，计算可得所求值． 【详解】对于A，当a时，此时，所以椭圆中使得∠F1PF2＝90°的点P位于短轴的两个端点，所以有两个点P，故A错误； 对于B，当时，此时，所以满足∠F1PF2＝90°的点P有四个，分别位于4个象限，故B正确， 对于C， ∵cos∠F1PF2， 故当|PF1||PF2|取得最大值时，cos∠F1PF2取最小值． 又∵|PF1|+|PF2|＝，即， 当时，取得最小值， 对于D，如图，设F1P的延长线与F2M交于Q， 由直线l为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2Q， 可得|PQ|＝|PF2|， 又2a＝|PF1|+|PF2|＝|PF1|+|PQ|＝|F1Q|， OM为△F1F2Q的中位线，可得|OM||F1Q|＝a，所以D正确， 故选：BCD． 3．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角，这样的点有 个. 【答案】 【分析】分析可知，在以为直径的圆上，将圆的方程与椭圆的方程联立，求出公共解，即可得出结论. 【详解】当是直角时，在以为直径的圆上，， 故圆的方程为，联立方程：， 解得和，两个点满足. 故答案为：. 4．（23-24高二上·贵州黔东南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为以线段为直径的圆与椭圆C的一个交点，且点P在第一象限. （1）求线段的长度； （2）求直线的方程. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）根据椭圆的定义以及勾股定理可解得结果； （2）在直角三角形中求出可得直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程. 【详解】（1）由得，，得，， 因为点P为以线段为直径的圆与椭圆C的一个交点，且点P在第一象限， 所以且， 因为，所以，即， 因为，所以， 由得，. （2）因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：. 【点睛】关键点点睛：利用椭圆定义以及勾股定理求解是解题关键. 【经典例题八 根据方程表示椭圆求参数的范围】 【例1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助椭圆定义计算即可得. 【详解】由题意可得 ，解得或. 故选：B. 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解； （2）根据椭圆的标准方程求解； （3）根据椭圆的标准方程求解. 【详解】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 1．（2022高三·全国·专题练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆直接列出不等式可求解. 【详解】方程表示焦点在y轴上的椭圆, ，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查方程表示椭圆求参数范围，熟记椭圆标准方程的要求条件是解题关键，属于基础题. 2．（多选题）（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）椭圆的焦距是4，则实数的值可以为（    ）． A．5 B．8 C．13 D．16 【答案】AC 【解析】计算得到，讨论和两种情况得解. 【详解】椭圆的焦距是4，故，. 当时，，解得；当时，，解得. 故选：. 【点睛】本题考查了根据椭圆的焦距求参数，漏解是容易发生的错误.属于基础题. 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知椭圆的焦距是，则m的值为 . 【答案】或 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】因为椭圆的焦距是， 所以或， 解得或. 故答案为：或. 4．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题 （1）若“且”是真命题，求的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真命题，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（-1，2），解出即可得出 试题解析：（1）若为真： 解得 若为真：则 解得 若“且”是真命题，则 解得 （2）由是的必要不充分条件，则可得 即 （等号不同时成立） 解得 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假 【经典例题九 椭圆的方程与椭圆焦点)位置的特征】 【例1】（24-25高二下·上海·期末）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化成椭圆的标准方程形式，即可求解. 【详解】方程等价于， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以， 解得，则实数k的取值范围是. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据椭圆标准方程的特征，列式计算可得解. 【详解】（1）因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以， 所以. （2）因为表示椭圆，所以， 解得且， 所以. 1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）若椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．3 B．3或5 C．5或8 D．8 【答案】B 【分析】结合椭圆性质，分焦点在轴、轴上计算即可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，有，故， 当椭圆的焦点在轴上时，有，故. 故选：B. 2．（23-24高二·全国·课后作业）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆满足的条件列式求解即可. 【详解】因为表示焦点在x轴上的椭圆，所以,解得． 故选：D 3．（23-24高二下·陕西商洛·开学考试）若椭圆：和椭圆：的焦点相同，且．给出如下四个结论： ①；    ②； ③    ④椭圆和椭圆一定没有公共点 其中所有正确研究成果的序号是 ．（把你认为正确的序号全写上） 【答案】②③④ 【分析】根据椭圆的性质及不等式的性质计算可得； 【详解】解：因为椭圆：和椭圆：的焦点相同，且． 所以，即，故③成立； 因为，所以，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，故④成立， 若在中，，，则，则有，故①不成立； 另一方面，所以，由于，所以，即，故②成立； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质及不等式的性质的应用，属于中档题. 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. 【答案】 【分析】先化简椭圆方程为，再根据已知得到不等式组，解不等式组即得解. 【详解】将椭圆方程化为， 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以 又因为0≤α≤π，所以＜α＜. 即所求α的取值范围是. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 【经典例题十 求椭圆上点的坐标】 【例1】（22-23高三上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆方程和的斜率之积为，建立A、B两点坐标的关系，代入原式化简计算即可. 【详解】因为在椭圆上， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：A. 【例2】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知平面上两点，，的周长为18. (1)求动点P的轨迹方程； (2)当动点P满足时，求点P的纵坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据周长可得动点满足的几何性质，根据椭圆的定义可得动点的轨迹方程. （2）设，根据可得关于的方程组，从而可求点P的纵坐标. 【详解】（1）因为的周长为18，故， 由椭圆的定义可得的轨迹为椭圆，其长轴长，故， 而半焦距，故， 故方程为：. （2）设，则，， 因为，故，所以， 而，解得， 故点P的纵坐标为. 1．（24-25高二下·河北·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆外一点，且在第一象限，已知，，线段交椭圆于点Q，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，由及数量积的坐标运算得，又得，即可得，再由得，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由题意，，设， 则， 因为，所以，即， 又，所以，所以， 两式联立求得（负根舍去），所以， 又，，所以， 所以，即， 代入椭圆方程化简得，解得或（负根舍去）. 故选：B 2．（22-23高二上·北京昌平·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标，利用数量积的坐标表示，整理轨迹方程，联立椭圆方程，可得答案. 【详解】设，由椭圆，则，，即，故，， ，，，整理可得， 联立可得，解得，故点的坐标有，，，， 故选：D. 3．（22-23高二下·辽宁朝阳·阶段练习）过椭圆C：上一点作直线与椭圆C交于另一点，以PQ为直径的圆过点，，则 . 【答案】或 【分析】根据椭圆的对称性以及圆的性质可分圆心为原点O和圆心在y轴上两种情况，即可由点点距离以及对称求解. 【详解】以PQ为直径的圆过，，则线段MN的垂直平分线过圆心，即直径PQ的中点在y轴上， 当圆心为原点O，所以，，. 当圆心在y轴上且不在原点处时,由椭圆的对称性可知圆心为,由符合要求 故 故答案为：或 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标． 【答案】 【分析】由椭圆定义求得，，利用分别在以、为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得点坐标． 【详解】解：由已知，，，， ，而， 所以，， 因此点P在分别以、为圆心，半径为15、5的圆上， 因此，解得， 所以点P的坐标为． 【经典例题十一 根据a、b、c求椭圆标准方程】 【例1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设条件易得，结合图形将的周长转化为的周长，从而求得的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，因经过点的直线垂直平分线段，则，即， 因，则的周长等于的周长， 即，解得，，故椭圆的标准方程为. 故选：D． 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面439km，远地点（离地面最远的点）距地面2384km，是椭圆的长轴，地球半径为6371km，如图所示，以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，与地球交于，两点．求卫星运行的轨道方程．（结果精确到1km）    【答案】 【分析】利用待定系数法设椭圆方程为，再根据题意得到即可求出椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为． 由题意知，，． ， ． 两式相加得， 所以． 因此，卫星运行的轨道方程是． 1．（24-25高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，过的直线l交C于A，B两点（异于点），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 2．（多选题）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知P是椭圆上位于第二象限的一点，为C的左、右焦点，O为坐标原点，，的平分线与x轴交与点Q，点M在直线上，，且，则（   ） A．点P在以为直径的圆上 B．的周长为10 C．椭圆C的方程为 D． 【答案】AC 【分析】由已知得出为等腰三角形，过点作，垂足为，由三线合一及中位线得出即可判断A；结合又，得出点在同一直线上，结合平分，得出为等腰直角三角形，进而用表示出，在中利用勾股定理求出，即可判断BCD． 【详解】由题可知，，设，， 又，所以， 过点作，垂足为，则为中点，， 又为中点，所以，，，故A正确； 又，所以， 所以点在同一直线上， 又平分，所以，则， 所以，即，解得，即，， 在中，，即，解得， 所以的周长为，故B错误； 所以，则椭圆C的方程为，故C正确； 因为，所以，故D错误； 故选：AC． 3．（24-25高二上·天津北辰·期中）如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据平行关系得到相似关系，得到，，结合题目条件，求出，得到椭圆方程. 【详解】依题意，令椭圆半焦距为c，， 当时，，解得，即，则， 由，得，即，解得，， 因此，解得，则， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·河南·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或或或. 【分析】（1）根据椭圆的顶点及半焦距得出即可求出椭圆方程； （2）利用点在椭圆上及解方程组得解. 【详解】（1）椭圆的左、右焦点分别为， 半焦距. 又椭圆经过点， ， 故椭圆的方程为. （2）设点，因为， 则，即， 联立，解得. 当时，，当时，， 点的坐标为或或或 【经典例题十二 根据椭圆过的点求标准方程】 【例1】（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）经过两点的椭圆的标准方程为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和椭圆的性质得出并确定焦点所在的轴，可得标准方程． 【详解】因为椭圆经过两点， 所以焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为， 可得， 所以所求的方程为. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·四川达州·阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点； (2)经过两点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：根据焦点位置设椭圆方程，根据两点距离公式结合椭圆第一定义求出，进一步，即可得解； 解法二：根据焦点位置设椭圆方程，将点的坐标代入椭圆方程，结合，即可得解； （2）解法一：分椭圆的焦点在轴和椭圆的焦点在轴两种情况，设出椭圆的标准方程为，将点的坐标代入列方程组，求解即可； 解法二：设所求椭圆的方程为，将两点的坐标代入求解即可. 【详解】（1）解法一：椭圆的焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为. 由题意知，， 解得，. 所求椭圆的标准方程为. 解法二：椭圆的焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为. 由题意得，解得， 所求椭圆的标准方程为. （2）解法一：（i）当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意知解得 ， 焦点在轴上的椭圆不存在. （ii）当椭圆的焦点在轴上时， 设椭圆的标准方程为. 由题意得解得. 故所求椭圆的标准方程为. 解法二：设所求椭圆的方程为. 由题意得 解得 故所求椭圆的方程为， 即椭圆的标准方程为. 1．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知椭圆的两条弦，相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据、关于轴对称，、关于轴对称求出、坐标代入椭圆方程可得答案. 【详解】设，，则，， ，， 由题知，关于轴对称，，关于轴对称， 所以，， 即，，所以，， 因为，在椭圆上，所以， 即，解得. 故选：D.    2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点，易得，代入椭圆方程可得，又，两式相结合即可求解 【详解】 不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点， 则为的中点，为中点，所以，所以，则 即，所以，， 将点坐标代入椭圆方程得，即， 又，所以，， 所以椭圆的标准方程是. 故选：B 3．（2023·全国·模拟预测）过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 【答案】 或（写一个即可） 2 【分析】首先分析满足条件的三点，再设椭圆方程的一般形式，再代入椭圆方程，即可求解. 【详解】因为点，关于轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有，，和，，两种情况． 设椭圆方程为（，，）． 当椭圆过，，三点时，将，的坐标代入椭圆方程，得 ，解得，所以椭圆的方程为． 同理可得当椭圆经过，，三点时，代入椭圆方程有，得 ，得； 该椭圆的方程为． 故答案为：或（写一个即可）； 4．（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆有相同焦点，且过点； (2)经过点P，Q. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求椭圆的标准方程为，将点代入求解； （2）法一：分焦点在x或y轴设椭圆方程求解； 法二：设椭圆的方程为进行求解. 【详解】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为. 又椭圆过点，将代入方程得， 解得或 (舍去). 故所求椭圆的标准方程为. （2）法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为. 依题意，有，解得 由知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为. 依题意，有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 法二：设椭圆的方程为. 则解得， 所以所求椭圆的方程为， 故椭圆的标准方程为. 【经典例题十三 轨迹问题--椭圆】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知过点且斜率不为零的直线与交于两点，过作交于，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合椭圆的定义可得的轨迹是分别以为左、右焦点的椭圆，即可得到结果. 【详解】 化为标准方程得，则圆心，的半径， 如图，因为，所以，又，则， 所以，则， 又，所以， 所以的轨迹为分别以为左、右焦点的椭圆，，，则， 因此点的轨迹方程为． 故选：C 【例2】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，一动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．    【答案】 【分析】根据椭圆的定义求得动员圆心的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径， ，所以圆与圆的关系是内含. 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以为焦点，即，，的椭圆， 所以点的轨迹方程为.    1．（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可； 【详解】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 2．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆过点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，动圆的半径为，由圆与圆的位置关系可得，判断出的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出的轨迹方程. 【详解】设，动圆的半径为，则， 因为动圆在定圆：的内部与其相内切， 所以, 所以，即， 因为，,所以, 由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A 3．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的两个顶点分别为，，平面内两点，同时满足下列条件： ①是的重心； ②； ③． 则的另一个顶点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】点的运动轨迹和点，相关，通过点，需要满足的关系式来求点的轨迹方程． 【详解】设点，由于是的重心， 则，由已知条件，可知点在轴上， 由于，可得，又因为， 代入坐标可得，化简得， 由于，，三点不共线，所以点的轨迹方程为． 故答案为：. 4．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    【答案】 【分析】由中垂线性质可得，动点到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】由题意，线段的中垂线交于点， 所以, 即， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以动点的轨迹方程为．    【拓展训练一 椭圆中焦点三角形相关问题】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为， 因为， 所以，得． 故选：C. 【例2】（24-25高二上·河北衡水·期末）已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）利用椭圆定义结合余弦定理可求得的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为，得， 又，则，得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）因为点是椭圆上的一点，则有， 可得，① 又由结合余弦定理，得② ①②可得，即， 则的面积. 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】C 【分析】不妨设，则，在和中，分别利用勾股定理列方程求出，再根据椭圆定义求得的周长. 【详解】不妨设，则， 由椭圆定义可得， 由于，所以， 在和中， 由勾股定理得和， 即和， 解得， 故的周长为. 故选：C 2．（多选题）（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知，是椭圆C：的上、下焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．的周长等于 B．时，满足的点有2个 C．的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出的周长，由，即可判断真假；对于B，由，的关系，进而可得以，为直径的圆与椭圆的交点个数，即满足的点的个数；对于C，利用椭圆定义，结合基本不等式求解即可；对于D，结合椭圆的性质和基本不等式的公式即可求出面积的最大值. 【详解】对于A，椭圆的长轴长为，焦距为，则的周长为：，由，所以的周长小于，故A不正确； 对于B，当时，则，满足的点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于椭圆短轴两端点，即使得的点为椭圆短轴的端点，故B正确； 对于C，设，，，则，由椭圆的定义知：，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，所以C正确； 对于D，由椭圆几何性质，焦点三角形面积仅当P点在短轴顶点时最大，为，故D正确. 故选：BCD 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，则的面积为 . 【答案】 【分析】结合椭圆定义与余弦定理、面积公式计算即可得. 【详解】由已知得，， 所以， 从而， 在中， ， 即①， 由椭圆的定义得， 即②， 由①②得， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知曲线C上的任意一点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是． (1)求曲线C的方程． (2)点A与点B关于y轴对称，讨论曲线C上是否存在位于第一象限的点N，使得为等腰三角形，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设点，直接根据条件列式计算即可； （2）设点，可确定等腰三角形的底是，再利用面积法可得点N的坐标. 【详解】（1）设点， 则根据题意得， 整理得. 即曲线C的方程为； （2）假设存在位于第一象限的点N，使得为等腰三角形， 又，且为椭圆的焦点， 设点， 当等腰三角形的底是时，N点为椭圆短轴端点，不符合题意； 当等腰三角形的底是时， 则，解得，则， 当等腰三角形的底是时，，此时点N不在第一象限. 综上存在位于第一象限的点N，使得为等腰三角形，其坐标为. 【拓展训练二 椭圆方程的求解】 【例1】（23-24高二上·天津和平·期中）若椭圆2a2x2-ay2=2的一个焦点是(-2，0)，则a=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程化为椭圆的标准方程，根据焦点求解即可. 【详解】由原方程可得， 因为椭圆焦点是(-2，0)， 所以， 解得， 因为，即， 所以， 故选：C 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)长轴长为8，短轴长为4； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线的标准方程. （2）分焦点在轴和轴两类情况求解即可. 【详解】（1）依题意，，即， 两边平方得  化简的，由得，+ 整理得. （2）根据题意，若焦点在y轴上，长轴长为8，短轴长为4，即，， 则有，，故要求椭圆的标准方程为； 若焦点在x轴上，长轴长为8，短轴长为4，即，， 则有，，故要求椭圆的标准方程为； 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质和椭圆的定义求得：，，再利用，，的关系求解方程即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设圆的半径为， 由于圆内切于圆，所以； 由于圆内切于圆，所以； 由于， 所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆. 则，，所以，； 所以动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：A 2．（23-24高三·广西·阶段练习）如图，、分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过轴于，求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程可得出答案. 【详解】解：由于是面积为的正三角形，过轴于 则为的中点,所以，由，解得 所以，即，即， 将点的坐标代入椭圆方程得，即，解得． 故选：A． 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的焦点为，点，在椭圆C上，且，则 . 【答案】4 【分析】根据焦点坐标得到，且，，根据，得到，化简，结合，，得到答案 【详解】由题知，，所以，因为点，在椭圆C上， 所以，，所以，， 因为，所以， 所以，即， 所以，解得. 故答案为：4 4．（24-25高二上·四川乐山·期中）（1）求经过两点的椭圆的标准方程； （2）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，求曲线的方程． 【答案】；. 【分析】（1）设椭圆方程为代入点求解即可； （2）利用相关点法计算求轨迹方程即可； 【详解】（1）设椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. （2）设， 由题意可知， 又P点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的周长为12，，当的面积最大时，则的内切圆半径为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，则点在以点为焦点的栯圆上（除B，C点外），所以当三角形为等边三角形时，其面积最大. 【详解】设内切圆的半径为，因为， 则点在以点为焦点的栯圆上（除B，C点外）， 所以当为正三角形时，的面积最大， 此时，解得． 故选：B． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 【答案】D 【分析】根据对称可得，．设点．由两点间的距离公式转化求解的表达式，然后根据椭圆范围求解取值范围． 【详解】如图所示，点在轴右边，    因为为的垂直平分线，所以，． 由中位线定理可得． 设点．由两点间的距离公式， 得 ， 同理可得， 所以，故， 因为，，所以，故， 所以． 因为，所以，故的取值范围为． 故选：D． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）椭圆的左右焦点为，经过的直线与椭圆C相交于A，B．若的周长为8，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】由题意的周长，可得，结合，即得解. 【详解】由题意的周长， 解得，故. 故选：D 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和条件求解焦半径，再结合几何关系，即可求解. 【详解】由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线的倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 5．（2022·宁夏银川·二模）已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，设出椭圆方程，再建立方程组，利用待定系数法求解即得. 【详解】依题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆为，， 则，即，解得，又， 因此，解得，所以椭圆的标准方程为. 故选：B 6．（多选题）（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且垂直于轴，垂足为，则满足下列条件的动点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的定义，利用两点距离公式，逐项整理等式，可得答案. 【详解】对于A，，由椭圆定义可知动点的轨迹为椭圆，故A正确； 对于B，设，则 ， ∴，∴动点的轨迹为椭圆，故B正确； 对于C，设， 则， ∴，即，这样的点的轨迹不存在，故C错误； 对于D，设， 则， ∴，即，动点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：ABD. 7．（多选题）（2025·山东烟台·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 【答案】ACD 【分析】利用椭圆焦点三角形的性质计算面积的最大值后判断A，利用反证法判断B，；利用椭圆的定义结合余弦定理计算CD后可判断它们的正误. 【详解】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长， 半焦距，故， 对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大， 此时面积为，故A正确； 对于B，若的平分线必过椭圆的中心， 因为，则此时为等腰三角形，故， 故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心， 故B错误； 对于C，因为，故， 由余弦定理可得， 故，故， 所以，故，故C正确； 对于D，设，则， 故， 所以， 而，故， 所以即，故， 所以，因为，故符号该不等式， 故椭圆C上存在点P，使得，故D正确； 故选：ACD. 8．（多选题）（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得； 根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径. 【详解】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 9．（多选题）（2025·四川宜宾·三模）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】求出椭圆的方程，利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A选项；由椭圆定义可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可判断B选项；设点、，可得出点，代入椭圆方程可得出点的轨迹方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，将点的坐标代入椭圆方程可得，因为，解得， 由椭圆定义可得，因为，则， ， 因为，且函数在上单调递减， 故的最大值为，A对； 对于B选项，不妨设点，则， 则 ， 因为， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项，设点，则点，设点， 由中点坐标公式可得，则， 因为点在椭圆上，则，即，化简得， 故点的轨迹方程为，C对； 对于D选项，圆的圆心为原点，半径为， 因为，故点在圆外， 所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，D对. 故选：ACD. 10．（多选题）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）以下命题正确的是（   ） A．直线：与直线：垂直的充要条件是 B．已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为4 C．方程表示椭圆的充要条件是 D．直线和以、为端点的线段相交，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由两直线垂直列出方程，即可判断A，由圆的弦长公式代入计算，即可判断B，由椭圆标准方程的形式，即可判断C，由直线过定点，然后分别求得，，即可判断D. 【详解】对于，，所以，解得，故A正确； 对于B，点在圆内，当时，取最小值， ，，所以的最小值是，故B正确； 对于C，方程表示椭圆的充要条件是，解得且，故C错误； 对于D，由直线可得，所以直线过定点， 又，，画图可知的取值范围是，故D正确； 故选：ABD 11．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，确定点到两点的距离之和为常数，从而得到椭圆的方程，并排除导致三点共线的情况. 【详解】因为，而， 所以， 则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点）， 其中，得， 得， 由于椭圆的焦点在轴上， 则椭圆的标准方程为：， 故答案为： 12．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则 【答案】 【分析】在焦点三角形中，先利用椭圆的定义、与内切圆半径有关的三角形的面积公式，求出的面积，然后借助余弦定理和三角形的面积公式建立关于和的方程组，求得的值，从而可求得的值． 【详解】设椭圆的半焦距为内切圆的半径为，由题可得， 所以的面积． 设，则， 在中，由余弦定理得， 得， 即． 由，解得， 所以， 所以． 故答案为： 13．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ． 【答案】2 【分析】由题意作图，根据角平分线的性质以及椭圆的定义，可得的长，利用三角形中位线，可得答案. 【详解】由题意，延长交于，连接，如下图： 因为为的角平分线且，所以， 则，即， 在中，易知分别为的中点，即为中位线， 所以. 故答案为：. 14．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程的标准形式可知方程表示椭圆方程的充要条件为，结合已知条件即可求解. 【详解】由椭圆方程的标准形式可知方程表示椭圆方程的充要条件为， 又由题意方程表示的曲线为椭圆， 所以，解不等式组得且， 因此m的取值范围为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 【详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 16．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，点在射线上，若，求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】结合椭圆定义求得，从而易得点轨迹，轨迹方程． 【详解】由椭圆的定义可知， 又，所以， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 即点的轨迹方程为． 17．（2024高三下·全国·专题练习）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【答案】 【分析】根据动圆与圆内切，与圆外切，列出等式，根据椭圆定义得到圆心的轨迹的方程. 【详解】由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切， 设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 点的轨迹方程为．    18．（23-24高二上·天津和平·期中）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程. (2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再根据题意列出关于的等式，化简即可； （2）根据椭圆的定义结合余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1） 设， 则，即， 整理得， 所以动点的轨迹方程为； （2）由（1）得动点的轨迹为椭圆，且为其焦点， 则， 由余弦定理得， 即， 所以， 所以. 19．（2024·福建漳州·三模）已知椭圆的离心率为，点中恰有两个点在上. (1)求的方程； (2)设的内角的对边分别为，.若点在轴上且关于原点对称，问：是否存在，使得点都在上，若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）分析出在上，不在上，直接代入求解即可； （2）根据题意用表示出，再根据椭圆的定义判断出点在以为焦点，为长轴长的椭圆上，结合椭圆的性质即可判断结果. 【详解】（1）因为与关于轴对称，也关于轴对称，中恰有两个点在上，所以在上，不在上， 所以， 又因为， 所以， 所以的方程为. （2）存在，使得点都在上.理由如下： 因为，所以， 因为， 所以，即， 所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以， 所以点在以为焦点，为长轴长的椭圆上， 又因为的焦点为，长轴长为4，点在轴上且关于原点对称， 所以点都在椭圆上， 所以存在，使得点都在上. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的定义和椭圆的性质，关键在于表示出两边之和的关系，利用椭圆的定义得到的轨迹，以此来得到结果. 20．（2025·陕西西安·二模）已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴交于点，证明：四点共圆. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得①，把代入中，求得点的坐标，利用可得，代入坐标化简得，由① ，② 联立求出即得椭圆方程； （2）先由点关于轴对称，设出的外接圆圆心，将代入求得，写出的外接圆的方程，利用点在该圆上，化简得出该圆方程：，再由直线与轴交于点求出点坐标，证明其在该圆上即可. 【详解】（1）依题，，即 ①，把代入中，解得， 因点在第一象限，则，由可得， 代入点的坐标可得：，即得， 整理得：②， 将① 代入②可得：，解得（负值舍去），则， 故椭圆的标准方程为：. （2）依题意，点关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设， 将代入，解得，依题意，， 则的外接圆半径为， 于是的外接圆的方程为：， 因点在该圆上，代入解得， 故的外接圆的方程可化简为：（*）. 又直线的方程为：，令，可得， 将其代入（*），可得：， 即点在该圆上，故四点共圆.    【点睛】关键点点睛：证明四点共圆问题，一般先由其中三点建立其外接圆方程，再证明第四个点在该圆上即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 椭圆及其标准方程重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 椭圆定义及辨析 题型二 利用椭圆定义求方程 题型三 椭圆上点到焦点的距离及最值 题型四 椭圆中焦点三角形的周长问题 题型五 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 题型六 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型七 椭圆中焦点三角形的其他问题 题型八 根据方程表示椭圆求参数的范围 题型九 椭圆的方程与椭圆焦点)位置的特征 题型十 求椭圆上点的坐标 题型十一 根据a、b、c求椭圆标准方程 题型十二 根据椭圆过的点求标准方程 题型十三 轨迹问题--椭圆 拓展训练一 椭圆中焦点三角形相关问题 拓展训练二 椭圆方程的求解 知识点一：椭圆的定义 椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 集合S＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． 【知识剖析】 (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 【即时训练】 1．（2025·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是 . 知识点二：椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【知识剖析】 1．这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； 4．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x²项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y²项的分母较大． 求椭圆的标准方程 1．利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）定位：确定焦点在那个坐标轴上； （2）定量：依据条件及确定的值； （3）写出标准方程； 2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B)，将点的坐标代入，解方程组求得系数。 【即时训练】 1．（2024·河北保定·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为在椭圆上，且，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为 ． 知识点三：椭圆的焦点三角形 1．定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识， 建立，，之间的关系， 采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 【即时训练】 1．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 2．（23-24高三下·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 知识点四：椭圆的参数方程 以焦点在x轴上的椭圆标准方程为例进行推导。 我们知道三角函数中有，这与椭圆标准方程的形式相似。于是，我们可以令： 将其代入椭圆标准方程中： 所以，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）。 同理，焦点在y轴上的椭圆标准方程的参数方程为（为参数）。 【即时训练】 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆经过点，，则的标准方程为 ． 【经典例题一 椭圆定义及辨析】 【例1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（    ） A．2 B． C． D．4 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，A，B是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为A，B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…．在两组同心圆的交点中，找出与A，B两点的距离之和等于14的点，并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来，观察所得曲线的形状． 1．（24-25高二上·浙江衢州·期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（多选题）（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（   ） A．存在无数个点P，使得为定值 B．存在无数个点P，使得为定值 C．仅存在2个点P，使得 D．仅存在4个点P，使得 3．（24-25高二上·海南·期末）已知椭圆，我们把圆叫做的“外准圆”，把圆叫做的“伴随圆”，设为椭圆的两个焦点，与其伴随圆的一个交点为，直线（为坐标原点）与的外准圆交于两点，若的面积为1，则 ． 4．（23-24高二·江苏·课后作业）把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？ 【经典例题二 利用椭圆定义求方程】 【例1】（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知的周长为18，且，建立适当的平面直角坐标系，求顶点的轨迹方程． 1．（2023·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程为 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知的三边a､b､c(a>b>c)成等差数列，A､C两点的坐标分别是(-1，0)､(1，0)，求顶点B的轨迹方程. 【经典例题三 椭圆上点到焦点的距离及最值】 【例1】（23-24高二上·吉林松原·期末）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆的上焦点为F，且P是椭圆上的一点，求的最小值与最大值． 1．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 2．（多选题）（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广西柳州·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，则的最小值为 ． 4．（2022高三·全国·专题练习）在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． 【经典例题四 椭圆中焦点三角形的周长问题】 【例1】（22-23高二上·内蒙古乌兰察布·期末）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ）． A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）若，是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，试求的周长． 1．（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（多选题）（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 3．（2025高二·全国·专题练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于A，B两点，当的周长最大时，求的面积． 【经典例题五 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，、分别是其左右焦点，点是上的动点，求的取值范围． 1．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 2．(多选题)（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的左、右点分别为，，定点，若点是椭圆上的动点，则的值可能为（    ） A．7 B．10 C．18 D．20 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当周长最大时，直线的方程为 . 4．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知椭圆内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M. （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求使得的值最小时点M的坐标. 【经典例题六 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例1】（24-25高二上·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 1．（22-23高二下·四川德阳·阶段练习）椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 3．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【经典例题七 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知点，分别为椭圆的（）的左、右焦点，椭圆的焦距为，且椭圆的离心率为，过点作轴的垂线交椭圆于点，，求证：为正三角形． 1．（23-24高三上·陕西渭南·期末）已知椭圆的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆：的左､右焦点，是椭圆上一动点，有（    ） A．时，满足的点有3个 B．时，满足的点有4个 C．时，取得最小值 D．过点作的外角平分线的垂线，垂足为，则 3．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角，这样的点有 个. 4．（23-24高二上·贵州黔东南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为以线段为直径的圆与椭圆C的一个交点，且点P在第一象限. （1）求线段的长度； （2）求直线的方程. 【经典例题八 根据方程表示椭圆求参数的范围】 【例1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 1．（2022高三·全国·专题练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）椭圆的焦距是4，则实数的值可以为（    ）． A．5 B．8 C．13 D．16 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知椭圆的焦距是，则m的值为 . 4．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题 （1）若“且”是真命题，求的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【经典例题九 椭圆的方程与椭圆焦点)位置的特征】 【例1】（24-25高二下·上海·期末）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）若椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．3 B．3或5 C．5或8 D．8 2．（23-24高二·全国·课后作业）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西商洛·开学考试）若椭圆：和椭圆：的焦点相同，且．给出如下四个结论： ①；    ②； ③    ④椭圆和椭圆一定没有公共点 其中所有正确研究成果的序号是 ．（把你认为正确的序号全写上） 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. 【经典例题十 求椭圆上点的坐标】 【例1】（22-23高三上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【例2】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知平面上两点，，的周长为18. (1)求动点P的轨迹方程； (2)当动点P满足时，求点P的纵坐标. 1．（24-25高二下·河北·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆外一点，且在第一象限，已知，，线段交椭圆于点Q，若，则（   ） A． B． C． D．1 2．（22-23高二上·北京昌平·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·辽宁朝阳·阶段练习）过椭圆C：上一点作直线与椭圆C交于另一点，以PQ为直径的圆过点，，则 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标． 【经典例题十一 根据a、b、c求椭圆标准方程】 【例1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面439km，远地点（离地面最远的点）距地面2384km，是椭圆的长轴，地球半径为6371km，如图所示，以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，与地球交于，两点．求卫星运行的轨道方程．（结果精确到1km）    1．（24-25高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，过的直线l交C于A，B两点（异于点），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知P是椭圆上位于第二象限的一点，为C的左、右焦点，O为坐标原点，，的平分线与x轴交与点Q，点M在直线上，，且，则（   ） A．点P在以为直径的圆上 B．的周长为10 C．椭圆C的方程为 D． 3．（24-25高二上·天津北辰·期中）如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为 . 4．（24-25高二上·河南·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标. 【经典例题十二 根据椭圆过的点求标准方程】 【例1】（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）经过两点的椭圆的标准方程为（     ）. A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·四川达州·阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点； (2)经过两点. 1．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知椭圆的两条弦，相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 4．（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆有相同焦点，且过点； (2)经过点P，Q. 【经典例题十三 轨迹问题--椭圆】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知过点且斜率不为零的直线与交于两点，过作交于，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，一动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．    1．（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆过点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的两个顶点分别为，，平面内两点，同时满足下列条件： ①是的重心； ②； ③． 则的另一个顶点的轨迹方程为 ． 4．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    【拓展训练一 椭圆中焦点三角形相关问题】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【例2】（24-25高二上·河北衡水·期末）已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 2．（多选题）（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知，是椭圆C：的上、下焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．的周长等于 B．时，满足的点有2个 C．的最大值为 D．面积的最大值为 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，则的面积为 . 4．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知曲线C上的任意一点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是． (1)求曲线C的方程． (2)点A与点B关于y轴对称，讨论曲线C上是否存在位于第一象限的点N，使得为等腰三角形，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由． 【拓展训练二 椭圆方程的求解】 【例1】（23-24高二上·天津和平·期中）若椭圆2a2x2-ay2=2的一个焦点是(-2，0)，则a=（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)长轴长为8，短轴长为4； 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·广西·阶段练习）如图，、分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的焦点为，点，在椭圆C上，且，则 . 4．（24-25高二上·四川乐山·期中）（1）求经过两点的椭圆的标准方程； （2）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，求曲线的方程． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的周长为12，，当的面积最大时，则的内切圆半径为（） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）椭圆的左右焦点为，经过的直线与椭圆C相交于A，B．若的周长为8，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·宁夏银川·二模）已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且垂直于轴，垂足为，则满足下列条件的动点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2025·山东烟台·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 8．（多选题）（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 9．（多选题）（2025·四川宜宾·三模）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 10．（多选题）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）以下命题正确的是（   ） A．直线：与直线：垂直的充要条件是 B．已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为4 C．方程表示椭圆的充要条件是 D．直线和以、为端点的线段相交，则的取值范围是 11．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则 13．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ． 14．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 . 15．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 16．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，点在射线上，若，求点的轨迹方程. 17．（2024高三下·全国·专题练习）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 18．（23-24高二上·天津和平·期中）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程. (2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积. 19．（2024·福建漳州·三模）已知椭圆的离心率为，点中恰有两个点在上. (1)求的方程； (2)设的内角的对边分别为，.若点在轴上且关于原点对称，问：是否存在，使得点都在上，若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 20．（2025·陕西西安·二模）已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴交于点，证明：四点共圆. 学科网（北京）股份有限公司 $