第八单元 方程(解决问题讲义)数学冀教版五年级上册

该小学数学讲义围绕“方程”单元构建了清晰的知识体系，通过思维导图梳理五大典型题型——购物、行程、年龄、和倍差倍、盈亏问题，用表格对比核心关系与解题要点，帮助学生建立数量间的等量关系意识。每类问题均设置“题目特征—核心关系—解题要点”三段式结构，突出重难点分布与内在逻辑联系，强化抽象能力和模型观念。 讲义的亮点在于“情境化题型设计”与“分层方法指导”的深度融合，如在行程问题中引导学生画线段图理解相遇与追及本质，体现几何直观与推理能力；在年龄问题中强调设未知数表示时间变化，培养运算能力和逻辑思维。变式训练贴近生活，例题解析规范示范列方程步骤，基础薄弱生可模仿建模，优等生能迁移解决环形跑道追及问题，提升综合应用能力。讲义还提供错题归类提示和自主复习清单，助力学生查漏补缺，教师据此精准定位教学起点与难点，实现高效复习。

第八单元 方程 1.购物问题 题目特征：涉及多种商品的价格关系，需要求其中一个未知量 核心关系：总价=单价×数量 解题要点：准确识别已知量和未知量，合理设未知数，建立等量关系式 2.行程问题 题目特征：两个物体运动，涉及相遇或追及关系 核心关系：相遇问题：路程和=速度和×时间；追及问题：路程差=速度差×时间 解题要点：画出线段图帮助理解，明确运动方向和时间关系 3.年龄问题 题目特征：涉及不同时间点的年龄倍数关系变化 核心关系：年龄差不变，建立不同时间点的年龄关系式 解题要点：明确时间点，设未知数表示经过的时间 4.和倍/差倍问题 题目特征：已知两个数的和或差以及倍数关系，求这两个数 核心关系：较小数×倍数=较大数 解题要点：设一倍量为未知数，用倍数关系表示另一个量 5.盈亏问题 题目特征：不同分配方案产生盈余或不足，求人数或物品数 核心关系：物品总数不变，不同分配方案间建立等量关系 解题要点：设人数为未知数，用两种方案表示物品总数 类型1 购物问题 典型例题1： 小明买了一些笔记本和2支钢笔，笔记本每本4.5元，钢笔每支7.5元，一共花了37.5元。他买了多少本笔记本？ 【分析】设买了本笔记本，则笔记本总价为元，钢笔总价为元，列方程：解答即可。 变式训练： 小红买了3本故事书和一些图画书，故事书每本12.5元，图画书每本5元，一共花了62.5元。她买了几本图画书？ 类型2行程问题 典型例题2： 甲、乙两人从相距54千米的两地同时相向而行，甲的速度是5.5千米/小时，乙的速度是4.5千米/小时。几小时后两人相遇？ 【分析】设小时后相遇，甲行走的路程：千米，乙行走的路程：千米，列方程：解答即可。 变式训练： 小明和小红从相距1800米的两地同时相向而行，小明每分钟走62.5米，小红每分钟走37.5米。多少分钟后两人相遇？ 类型3年龄问题 典型例题3： 父亲今年年龄是儿子的5倍，10年后父亲年龄是儿子的3倍。求现在父子两人的年龄。 【分析】设儿子现在岁，则父亲现在岁，10年后：儿子岁，父亲岁，列方程：解答即可。 变式训练： 妈妈今年的年龄是女儿的3倍，5年前妈妈年龄是女儿的4倍。求现在母女两人的年龄。 类型4和倍/差倍问题 典型例题4： 甲、乙两个数的和是90.5，甲数是乙数的4倍。求这两个数。 【分析】设乙数为，则甲数为，列方程：解答即可。 变式训练： 甲数比乙数大24.5，甲数是乙数的3倍。求这两个数。 类型5盈亏问题 典型例题5 老师将一些铅笔分给学生，如果每人分4支，还剩4支；如果每人分5支，还差3支。问有多少名学生？ 【分析】设学生有人，第一种方案铅笔总数：，第二种方案铅笔总数：，列方程：解答即可。 变式训练： 一些苹果分给小朋友，如果每人分4个，多出6个；如果每人分5个，少4个。有多少个小朋友？ 一、选择题 1．妈妈买了6瓶酸奶和6盒牛奶共花去48元，酸奶每瓶3.6元，牛奶每盒（    ）元。 A．4.4 B．26.4 C．8 2．练习本的单价是0.5元，圆珠笔的单价是3.2元，买a本练习本和b支圆珠笔的总价是多少元？ （    ） A．0.5a＋3.2b B．（0.5＋3.2）×（a＋b） C．3.2b－0.5a 3．小李今年a岁，小王今年（a－3）岁，再过3年，他们的年龄相差（    ）岁。 A．3 B．a C．a＋3 4．在学校一次环境保护知识抢答比赛中，共有20道题，每答对一道题得10分，答错一道倒扣5分，蓝天队最后得分是155分，那么该队共答对（　　）题． A．10 B．12 C．15 D．17 5．爸爸比儿子大28岁，当爸爸的年龄是儿子的5倍时，爸爸与儿子各多少岁？（ ） A．爸爸35岁，儿子7岁 B．爸爸45岁，儿子9岁 C．爸爸36岁，儿子8岁 D．爸爸46岁，儿子18岁 二、填空题 6．根据题意，写出下面每个式子表示的意义。 一辆货车开往北京，第一天以80.5千米/时的速度行驶，走了a小时，第二天以90.5千米/时的速度行驶，走了b小时。 1、80.5a表示( )； 2、90.5b表示( )； 3、a＋b表示( )； 4、80.5a＋90.5b表示( )。 7．三个连续奇数的和是111，这三个奇数中最小的数是( )。 8．养殖场里白兔的只数是黑兔的5倍，黑兔比白兔少100只。养殖场有多少只黑兔？ （1）题中的等量关系为( )。 （2）解：设养殖场有x只黑兔，根据等量关系可列方程为( )。 9．张大妈家养的鸡比兔多13只，兔足比鸡足少16只。张大妈家鸡有( )只，兔有( )只。 1．爷爷今年56岁，比小新的年龄的5倍还大6岁，小新今年多少岁？（用方程解答） 2．学校图书馆新买了《历史故事》和《森林历险记》两种书，《历史故事》的本数是《森林历险记》的1.8倍，比《森林历险记》多24本。这两种书各有多少本？（列方程解答） 3．第十四届全国运动会吉祥物是“秦岭四宝”，芳芳和青青共收集了34张“秦岭四宝”图片，其中芳芳收集的张数比青青的1.5倍多4张，芳芳和青青各收集了多少张？（列方程解答） 4．一个服装厂原来做一套衣服用3.5米布，改进裁剪方法后，每套节省0.2米布。原来做60套衣服的布，现在可以做多少套？（列方程解答） 5．甲、乙两个修路队共同修一段长为125千米的路，甲队平均每天修4千米，修了2天后，乙队加入又共同修了13天后全部完工。乙队平均每天修多少千米？（列方程解答） 6．甲、乙两个粮仓存粮数相等，从甲仓运出150吨粮食后，又从乙仓运出250吨，这时甲粮仓余粮数是乙粮仓余粮数的3倍。原来每个粮仓存粮各是多少吨？（列方程解答） 7．贝贝和欢欢两家相距780米，两人同时从家出发相向而行，5分钟后两人还相距120米（相遇前）。贝贝每分钟走62米，欢欢每分钟走多少米？（列方程解答） 1．有两袋球，甲袋有50个球，乙袋有40个球，每次从甲袋里取出4个球，从乙袋里取出3个球。取多少次后，两袋剩下的球的个数相等？ 2．驴和骡子背上都驮着沉重的包裹。驴抱怨说：“我驮这么多包裹，路还远着呢！负担太重了。”骡子说：“你瞧，如果从你背上拿下一个包裹给我，我的负担就是你的两倍；如果从我背上拿走一个包裹给你，你驮的也不过和我驮的一样多。”驴和骡子各驮了多少个包裹？ 3．在一个900米的环形跑道上，妙妙和甜甜两人同时从同一起点出发按顺时针方向跑步，两人每隔30分钟相遇一次，若两人速度不变，还是在原来出发点同时出发，妙妙开始按逆时针方向跑，甜甜依旧按顺时针方向跑，则两人每隔6分钟相遇一次，那么两人各跑一圈分别需要多长时间？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 【详解】解：设买了本笔记本。 答：他买了5本笔记本。 变式训练答案： 【详解】解：设买了本图画书。 答：她买了5本图画书。 类型2 答案解析 典型例题2： 【详解】解：设小时后相遇。 答：5.4小时后两人相遇。 变式训练答案： 【详解】解：设分钟后相遇。 答：18分钟后两人相遇。 类型3 答案解析 典型例题3： 【详解】解：设儿子现在岁。 父亲现在：岁 答：父亲现在50岁，儿子现在10岁。 变式训练答案： 【详解】解：设女儿现在岁。 妈妈现在：岁 答：妈妈现在45岁，女儿现在15岁。 类型4 答案解析 典型例题4： 【详解】解：设乙数为。 甲数： 答：甲数是72.4，乙数是18.1。 变式训练答案： 【详解】解：设乙数为。 甲数： 答：甲数是36.75，乙数是12.25。 类型5 答案解析 【详解】解：设学生有人。 答：有7名学生。 变式训练答案： 【详解】解：设小朋友有人。 答：有10个小朋友。 1．A 【分析】总价＝单价×数量，据此可算出酸奶的总价，再用48减去酸奶的总价即得牛奶的总价；单价＝总价÷数量，据此可算出牛奶的单价。 【详解】由分析可知： （48－3.6×6）÷6 ＝（48－21.6）÷6 ＝26.4÷6 ＝4.4（元） 所以牛奶每盒4.4元。 故答案为：A 【点睛】本题考查运用四则混合运算解决实际问题，明确单价、数量、总价之间的数量关系是此题的解题关键。 2．A 【分析】根据“总价＝单价×数量”，将练习本的单价和数量相乘，得到练习本的总价，将圆珠笔的单价和数量相乘，得到圆珠笔的总价，最后将练习本的总价和圆珠笔的总价相加，即可得到两者的总价。 【详解】买a本练习本和b支圆珠笔的总价是多少元？ 列式为：0.5a＋3.2b。 故答案为：A 3．A 【分析】根据年龄差永不变，求出今年两人的年龄差就是3年以后两人的年龄差。 【详解】a－（a－3） ＝a－a＋3 ＝3（岁） 小李今年a岁，小王今年（a－3）岁，再过3年，他们的年龄相差3岁。 故答案为：A 【点睛】解答本题的关键明确不管过去多少年，年龄差是永远不会变的。 4．D 【分析】共有20道题，每答对一道题得10分，则全部答对可得10×20=200分，答错一道倒扣5分，即实际答错一题少得5+10=15分，蓝天队最后得分是155分，即少得200﹣155=45分，则答错45÷15=3道题，由此可知，该队在这次比赛中共答对20﹣3=17道题． 【详解】20-（20×10﹣155）÷（10+5） =20-45÷15 =20-3 =17（道） 答：该队在这次比赛中共答对17道题． 故答案为D． 5．A 【分析】当爸爸的年龄是儿子的5倍时，设儿子x岁，则爸爸就是28＋x岁，根据年龄的倍数关系即可列出方程解决问题。 【详解】解：设当爸爸的年龄是儿子的5倍时，儿子x岁，则爸爸就是28＋x，根据题意可得方程： 28＋x＝5x 4x＝28 x＝7 7＋28＝35（岁） 故答案为：A 6． 第一天的路程 第二天的路程 两天行驶的总时间 两天行驶的总路程 【分析】80.5千米/时、90.5千米/时叫速度，a小时、b小时叫时间，根据速度×时间＝路程，第一天时间＋第二天时间＝总时间，第一天路程＋第一天路程＝总路程，进行分析。 【详解】1、80.5a表示第一天的路程； 2、90.5b表示第二天的路程； 3、a＋b表示两天行驶的总时间； 4、80.5a＋90.5b表示两天行驶的总路程。 【点睛】关键是理解速度、时间和路程之间的关系，理解字母可以表示数。 7．35 【分析】相邻的两个奇数相差2，设中间的奇数是x，则三个连续奇数中最小的奇数是x－2，最大的是x＋2，根据等量关系：三个连续奇数的和是111列方程解答即可求出中间的奇数，再用中间的奇数减去2即为所求。 【详解】解：设中间的奇数是x。 x－2＋x＋（x＋2）＝111 3x＝111 3x÷3＝111÷3 x＝37 37－2＝35 所以这三个奇数中最小的数是35。 8． 白兔的只数－黑兔的只数＝100 5x－x＝100 【分析】（1）根据题意，白兔的只数是黑兔的5倍，黑兔比白兔少100只，白兔的只数－黑兔的只数＝100；据此解答； （2）设养殖场有x只黑兔，白兔是黑兔的5倍，则白兔是5x只，黑兔比白兔少100只，列方程：5x－x＝100。 【详解】（1）题中的等量关系为：白兔的只数－黑兔的只数＝100 （2）解：设养殖场有x只黑兔，根据等量关系可列方程为：5x－x＝100 【点睛】本题考查根据已知条件，找出相关的等量关系式，再列出方程。 9． 18 5 【分析】每只鸡2条腿，每只兔4条腿。设兔有x只，则鸡有（x＋13）只，根据鸡的腿数－兔的腿数＝16列方程解答，即可求出兔和鸡的只数。 【详解】解：设兔有x只，则鸡有（x＋13）只。 2（x＋13）－4x＝16 2x＋26－4x＝16 2x＝10 x＝5 5＋13＝18（只） 即鸡有18只，兔有5只。 【点睛】本题考查列方程解决含两个未知数的问题。设其中的一个未知量为x，用含有x的式子表示另一个未知量，再根据等量关系式列方程解答。 1．10岁 【分析】设今年小新x岁，根据等量关系，今年小新的岁数×5＋还大的岁数＝爷爷今年的岁数，列方程解答即可。 【详解】解：设今年小新x岁。 5x＋6＝56 5x＋6－6＝56－6 5x＝50 5x÷5＝50÷5 x＝10 答：今年小新10岁。 2．《森林历险记》有30本，《历史故事》有54本 【分析】可以设《森林历险记》的数量为x本，《历史故事》的本数是《森林历险记》的1.8倍，得出《历史故事》有本。再根据数量关系式：《历史故事》的本数－《森林历险记》的本数＝24，列出方程求解即可。 【详解】解：设《森林历险记》有本，则《历史故事》有本。 答：《森林历险记》有30本，《历史故事》有54本。 3．芳芳：22张；青青：12张 【分析】设青青收集了x张，芳芳收集的张数比青青的1.5倍多4张，即青青收集的张数×1.5＋4张＝芳芳收集的张数；青青收集的张数＋芳芳收集的张数＝芳芳和青青共收集的张数；列方程：x＋1.5x＋4＝34，解方程，即可解答。 【详解】解：设青青收集了x张。 x＋1.5x＋4＝34 2.5x＝34－4 2.5x＝30 x＝30÷2.5 x＝12 芳芳收集：34－12＝22（张） 答：芳芳收集了22张，青青收集了12张。 【点睛】根据方程的实际应用，利用芳芳和青青收集张数和总张数的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 4．700套 【分析】根据题意可知，“现在每套衣服需要的米数×现在的套数＝原来每套衣服需要的米数×原来的套数”，据此解答即可。 【详解】解：设现在可以做x套。 （3.5－0.2）x＝3.5×60 3.3x＝210 x＝63.63…… 取整数63套。 答：现在可以做63套。 【点睛】明确题目中存在的数量关系是解答本题的关键。 5．5千米 【分析】根据题意可知，修一段长125千米的路，是由甲队先修了2天，再由甲、乙两队合修13天一起完成，得出等量关系：甲平均每天修的长度×2＋（甲平均每天修的长度＋乙平均每天修的长度）×13＝这段路的全长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设乙队平均每天修千米。 4×2＋（4＋）×13＝125 4×2＋4×13＋13＝125 8＋52＋13＝125 60＋13＝125 60＋13－60＝125－60 13＝65 13÷13＝65÷13 ＝5 答：乙队平均每天修5千米。 6．300吨 【分析】甲、乙两个粮仓存粮数相等，设原来每个粮仓各存粮x吨，甲仓运出150吨，还余（x－150）吨，乙仓运出250吨，还余（x－250）吨，这时甲粮仓余粮数是乙粮仓余粮数的3倍，即甲仓余下的粮食的重量＝乙仓余下的粮食的重量×3，列方程：x－150＝（x－250）×3，解方程，即可解答。 【详解】解：设原来每个粮仓各存粮x吨。 x－150＝（x－250）×3 x－150＝3x－250×3 x－150＝3x－750 x－150－x＋750＝3x－750－x＋750 2x＝600 2x÷2＝600÷2 x＝300 答：原来每个粮仓各存粮300吨。 7．70米 【分析】根据题意，设欢欢每分钟走x米，欢欢5分钟走5x米，贝贝每分钟走62米，5分钟走62×5米，5分钟后两人相差120米，用欢欢5分钟走的路程＋贝贝5分钟走的路程＋120＝贝贝和欢欢两家相距的距离，列方程：5x＋62×5＋120＝780，解方程，即可解答。 【详解】解：设欢欢每分钟走x米 5x＋62×5＋120＝780 5x＋310＋120＝780 5x＋430＝780 5x＝780－430 5x＝350 x＝350÷5 x＝70 答：欢欢每分钟走70米。 【点睛】本题考查相遇问题，根据两人走的距离和两人相距的距离相加等于两家相距的距离，列方程，解方程。 1．10次 【分析】根据题意列出等量关系：甲袋的总球数－每次从甲袋取出的球数数量×取出的次数＝乙袋的总球数－每次从乙袋取出的球数数量×取出的次数，由此进行解答即可。 【详解】解：把取出的次数设为x。 50－4x＝40－3x 50－40＝4x－3x 10＝x 答：取10次。 【点睛】本题考查和差问题。 2．驴5个；骡子7个 【分析】由题意可知，如果从骡子背上拿走一个包裹给驴，那么它们两个驮的包裹一样多，骡子驮的包裹数量－1＝驴驮的包裹数量＋1，骡子驮的包裹数量＝驴驮的包裹数量＋2，说明骡子比驴多驮2个包裹，把驴驮的包裹数量设为未知数，用含有字母的式子表示出骡子驮的包裹数量，等量关系式：（驴驮的包裹数量－1）×2＝骡子驮的包裹数量＋1，据此列方程解答。 【详解】解：设驴驮了x个包裹，则骡子驮了（x＋2）个包裹。 2×（x－1）＝x＋2＋1 2x－2×1＝x＋3 2x－2＝x＋3 2x－2＋2＝x＋3＋2 2x＝x＋5 2x－x＝x＋5－x x＝5 5＋2＝7（个） 答：驴驮了5个包裹，骡子驮了7个包裹。 【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题，准确设出未知数并找出等量关系式，最后根据等量关系式列出方程是解答题目的关键。 3．10分钟；15分钟 【分析】当两人同时同地顺时针跑步时，每隔30分钟相遇一次，这是追及问题，此时两人的速度差为跑道一圈的长度除以追及时间，即900÷30＝30米/分钟； 当妙妙逆时针、甜甜顺时针跑步时，每隔6分钟相遇一次，这是相遇问题，此时两人的速度和为跑道一圈的长度除以相遇时间，即900÷6＝150米/分钟； 设两人中，跑得慢的人每分钟跑x米，则跑得快的人每分钟跑（30＋x）米，根据速度和为150米/分钟即可列方程为x＋（30＋x）＝150，求解出x以及（30＋x）的值，即为两人的速度；再根据“时间＝路程÷速度”即可分别求出两人各跑一圈分别所需时间。 【详解】900÷30＝30（米/分钟） 900÷6＝150（米/分钟） 解：设妙妙和甜甜两人中，跑得慢的人每分钟跑x米，则跑得快的人每分钟跑（30＋x）米。 x＋（30＋x）＝150 x＋x＋30＝150 2x＋30＝150 2x＋30－30＝150－30 2x＝120 2x÷2＝120÷2 x＝60 30＋x ＝30＋60 ＝90 900÷90＝10（分钟） 900÷60＝15（分钟） 答：两人各跑一圈分别需要10分钟、15分钟。 【点睛】将环形跑道上的追及问题和相遇问题结合，通过“速度和”与“速度差”这两个关键量，利用和差问题的公式列方程求出两人各自的速度，进而算出跑一圈的时间。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $