第六单元 多边形的面积(解决问题讲义)数学冀教版五年级上册

该小学数学第六单元复习讲义以“多边形面积”为核心，构建了从公式应用到实际问题解决的完整知识体系。通过清晰的思维导图梳理平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导逻辑，用表格对比不同图形的计算方法与逆向求解策略，并借助组合图形分割法和添补法强化空间观念，帮助学生建立结构化认知，明确重难点之间的内在联系。 讲义的亮点在于紧扣新课标核心素养，设计分层练习体现“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”。例如类型4中粉刷墙壁的实际问题，引导学生统一单位、建立数量关系，培养数据意识与模型观念；典型例题3采用分割法求组合图形面积，训练几何直观与推理能力。变式训练覆盖基础巩固、能力提升与拓展探究，如第15题利用中点性质层层递进推导阴影面积，既适合学困生掌握基本技巧，又助力优生发展创新意识。讲义还提供错题归类提示和答题模板，支持学生自主复习，助力教师精准诊断学情，实现高效课堂。

第六单元 多边形的面积 类型一：直接应用公式求面积 题目特征：题目直接给出平行四边形、三角形或梯形的底、高等关键数据，要求计算面积。 核心关系： 平行四边形面积： 三角形面积： 梯形面积： 类型二：逆向思维求底或高 题目特征：已知图形的面积和另一个量（底或高），要求求出未知的底或高。 核心关系： 平行四边形：高，底 三角形:底，高 梯形：高，上底，下底 类型三：组合图形面积的求解 题目特征：图形由两个或以上的基本图形通过拼接或切割的方式组合而成。 核心关系： 分割法：总面积=各部分面积之和 添补法：阴影面积=整体面积-空白部分面积 类型四：解决实际问题 题目特征：将面积计算应用于铺地砖、种庄稼、粉刷墙壁等实际情境。 核心关系：总数量=总面积÷每份面积，总价=单价×数量 关键：注意单位统一和换算 类型1 直接应用公式求面积 典型例题1： 一块平行四边形广告牌，底是12.5米，高是8米。它的面积是多少平方米？ 【分析】直接应用平行四边形面积公式计算。 变式训练： 一个三角形果园，底是80米，高是30米。这个果园的面积是多少平方米？ 类型2逆向思维求底或高 典型例题2： 一个三角形面积是48平方分米，高是8分米。它的底是多少分米？ 【分析】逆用三角形面积公式求解。 变式训练： 一块梯形麦田的面积是2400平方米，上底35米，下底45米。这块麦田的高是多少米？ 类型3组合图形面积的求解 典型例题3：   计算下面组合图形的面积。 【分析】采用分割法，图形面积=长方形面积+三角形面积。 变式训练： 求阴影部分的面积。 类型4解决实际问题 典型例题4： 教室有一面梯形墙，上底5米，下底8米，高4米。如果粉刷每平方米用油漆0.6千克，一共需要多少千克油漆？ 【分析】先求梯形面积，再计算油漆总用量。 变式训练： 王叔叔家有一块平行四边形菜地，底25米，高18米。如果每平方米种8棵白菜，这块地一共可以种多少棵白菜？ 一、选择题 1．已知一个平行四边形的周长是80cm，一条底边长25cm，这条底边上的高是12cm，则另一条底边上的高是（    ）。 A．15cm B．20cm C．30cm 2．三个完全一样的正方形拼成一个长方形，对图中涂色部分三角形面积的大小关系叙述正确的是（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法确定 3．一个三角形的底扩大到原来的5倍，高不变，面积会（        ）。 A．扩大到原来的5倍 B．扩大到原来的25倍 C．不变 D．缩小到原来的 4．平行四边形的底是2分米5厘米，高是底的1.2倍，它的面积是（ ）平方分米． A．1.5平方分米 B．3平方分米 C．7.5平方分米 D．10平方分米 5．梯形的上底4厘米，下底10厘米，高31厘米。如上底缩小为0厘米，变化后的图形的面积是（    ）平方厘米。 A．304 B．155 C．256 6．三角形的底是平行四边形底的，平行四边形的面积是三角形的面积的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．6倍 7．如图，下列说法正确的是（    ）。 A．平行四边形面积大 B．梯形面积大 C．三角形的面积大 二、填空题 8．下图每个小方格的面积为1cm2，这片树叶的面积约是( )cm2。 9．在一个长9厘米，周长26厘米的长方形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 10．把一个平行四边形割补后得到一个正方形，正方形的周长是16厘米，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 11．一个三角形的底是6厘米，底边上的高是5厘米。它的另一条高是3厘米，与之相对应的底是( )厘米。 12．一个平行四边形的底是8.5厘米，高是10厘米，和它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 13．一堆钢管堆成梯形形状，最上层有5根，最下层有11根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共( )根。 14．下图涂色部分是面积是35平方厘米，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 15．已知三角形ABC的面积为48平方厘米，D、E分别为AB、BC的中点，阴影面积是 平方厘米．   1．已知梯形的面积为81平方分米，求阴影部分面积。 2．如下图，已知平行四边形的面积是24平方厘米。根据图形中的已知条件，求涂色三角形的面积。 3．学校要制作一些锦旗，如图。制作一面锦旗需要多少平方厘米布料？ 4．下面是一块长方形的麦田，中间有两条人行道。 （1）实际种植小麦的面积是多少平方米？     （2）如果每平方米麦田产小麦1.3千克，那么这块麦田共产小麦多少千克？ 5．幼儿园有一块三角形空地，要铺上塑料草坪，每平方米塑料草坪需65元，量得这块空地的一边长为36米，这条边对应的高是长的一半，预计铺完这块塑料草坪共需要多少钱？ 6．如图所示，用篱笆围成一个梯形养鸡场，其中一边利用房屋的墙壁，篱笆的总长度是22米。求养鸡场的面积。 1．下图中平行四边形的面积是72平方米，AB＝BC，求涂色部分的面积。 2．求下面图中阴影部分面积。单位：（厘米） 3．三角形ABC的面积是24平方厘米，AD＝DE＝EC，F是BC的中点，G是FC的中点，求阴影面积。 4．如图，正方形ABCD的面积是100平方厘米，三角形ABE的面积是36平方厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 【详解】 答：它的面积是100平方米。 变式训练答案： 【详解】 答：这个果园的面积是1200平方米。 类型2 答案解析 典型例题2： 【详解】 答：它的底是12分米。 变式训练答案： 【详解】 答：这块麦田的高是60米。 类型3 答案解析 典型例题3： 【详解】 答：这个组合图形的面积是100平方厘米。 变式训练答案： 【详解】 答：阴影部分的面积是36平方分米。 类型4 答案解析 典型例题4： 【详解】 答：一共需要15.6千克油漆。 变式训练答案： 【详解】 答：这块地一共可以种3600棵白菜。 1．B 【分析】平行四边形的对边相等，由题意可知这个平行四边形的周长是80cm，一条底边长25cm，这条底边上的高是12cm，另一条底边长度为：80÷2－25＝40－25＝15cm；利用平行四边形的面积公式即可求得面积，然后用面积除以另一底边15cm，即可求出另一条底边上的高。 【详解】80÷2－25 ＝40－25 ＝15（cm） 25×12÷15 ＝300÷15 ＝20（cm） 故答案为：B 【点睛】先求出另一底边的长度，根据已知底边和对应的高，求出面积，是解答此题的关键。 2．C 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，故三角形的面积取决于底和高；结合图示可知，两个三角形的底都等于正方形的边长，高也都等于正方形的边长，所以它们的面积相等。 【详解】由分析可得：甲、乙两个三角形的一组底和高都等于正方形的边长，所以甲、乙两部分的面积相等。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查三角形面积公式的灵活运用。 3．A 【分析】根据三角形的面积计算公式“”，再根据两个非0数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个相同的数（0除外），积也乘或除以这个相同的数，高扩大到原来的5倍，底与高的积也扩大到原来的5倍，底与高积的一半也扩大到原来的5倍。 【详解】三角形面积＝底×高÷2，根据积的变化规律可知：高不变，底的变化情况与面积的变化情况是相同的。根据积的变化规律可知，一个三角形的底扩大到原来的5倍，高不变，面积会扩大到原来的5倍。 故答案为：A 【点睛】关键是乘法算式中因数与积的变化规律：两个非0数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个相同的数（0除外），积也乘或除以这个相同的数。 4．C 【详解】知道底和高的关系，先求高2.5×1.2＝3（分米），平行四边形面积＝底乘高即2.5×3＝7.5（平方分米） 5．B 【分析】梯形的上底缩小为0厘米，梯形就变成了三角形。三角形的底等于梯形的下底10厘米，高等于梯形的高31厘米。三角形的面积＝底×高÷2，据此解答。 【详解】10×31÷2＝155（平方厘米） 故答案为：B 【点睛】明确“梯形的上底缩小为0厘米，梯形就变成了三角形”是解题的关键。 6．B 【分析】假设三角形的底是1，则平行四边形的底是2，它们的高是1。可分别求得两个图形的面积，最后用平行四边形的面积除以三角形的面积即可。 【详解】假设三角形的底是1，则平行四边形的底是2，它们的高是1。 1×1÷2＝0.5 2×1＝2 2÷0.5＝4 平行四边形的面积是三角形面积的4倍。 故答案为：B 【点睛】考查了三角形的面积和平行四边形的面积，赋值法是解答此题的关键。 7．A 【分析】设高为h，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出这几个图形的面积，然后比较即可。 【详解】设高为h， 平行四边形的面积：10h； 三角形的面积：16h÷2＝8h 梯形的面积：（5＋7）×h÷2＝12h÷2＝6h 因为10h＞8h＞6h，所以平行四边形面积大。 故答案为：A 【点睛】明确平行四边形、梯形、三角形的面积计算公式，是解答此题的关键。 8．19.5 【分析】分别数出满格和不满格的数量，不满格的按0.5cm2进行估算即可。 【详解】阴影满格的有：13个 阴影不满格的有：13个 13×1＋13×0.5 ＝13＋6.5 ＝19.5（cm2） 【点睛】此题主要考查学生对不规则图形面积估算的能力。 9．18 【详解】长方形宽：（26－9）＝4（厘米）   三角形面积：9＝18（平方厘米） 10．16 【分析】由题意可知：平行四边形的面积就等于正方形的面积，要求这个正方形的面积，需先知道其边长，由“正方形的周长是16厘米”可知：正方形的边长＝周长÷4，进而能求正方形的面积，也就等于知道了平行四边形的面积。 【详解】16÷4＝4（厘米） 4×4＝16（平方厘米） 【点睛】此题主要考查正方形的周长及面积公式，关键是明确把一个平行四边形割补后得到一个正方形，割补前后面积不变。 11．10 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，由此代入数据求出三角形的面积；再由“三角形的面积＝底×高÷2”得出：三角形的底＝三角形的面积×2÷高，代入数据计算即可。 【详解】6×5÷2×2÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的灵活应用，解题时要明确：三角形的面积是底与其对应的高的乘积再除以2。 12．42.5 【分析】因为两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，即等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此解答。 【详解】8.5×10÷2 ＝85÷2 ＝42.5（平方厘米） 【点睛】此题解答关键是明确：等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半。 13．56 【分析】钢管的根数＝（最上层根数＋最下层根数）×层数÷2，其中层数＝（最下层根数－最上层根数＋1），据此解答。 【详解】11－5＋1＝7（层） （5＋11）×7÷2 ＝16×7÷2 ＝56（根） 这堆钢管共56根。 【点睛】此题考查了梯形面积的实际应用，先求出层数是解题关键。 14．70 【分析】图中空白三角形与平行四边形等底等高，面积是平行四边形的一半，所以涂色部分的面积也是平行四边形面积的一半，据此解答。 【详解】35×2＝70（平方厘米），这个平行四边形的面积是70平方厘米。 【点睛】明确等底等高的三角形是平行四边形的面积一半是解题关键。 15．12 【分析】因为点E是BC的中点，所以△ABE面积是△ABC面积的一半；因为点D是AB的中点，所以△ADE面积是△ABE的一半。所以阴影部分面积是大三角形一半的一半。 【详解】48÷2÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是12平方厘米。 1．49.5平方分米 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据求出梯形的高，梯形的高等于阴影部分三角形的高；又三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】81×2÷（7＋11）×11÷2 ＝162÷18×11÷2 ＝9×11÷2 ＝99÷2 ＝49.5（平方分米） 2．2平方厘米 【分析】据图可知，平行四边形的高是4厘米，根据平行四边形的底＝面积÷高列式求出平行四边形的底，涂色三角形的底等于平行四边形的底减去5，涂色三角形的高等于平行四边形的高，据此根据三角形的面积＝底×高÷2列式计算即可。 【详解】24÷4＝6（厘米） （6－5）×4÷2 ＝1×4÷2 ＝4÷2 ＝2（平方厘米） 所以涂色三角形的面积是2平方厘米。 3．1575平方厘米 【分析】 如图将它分成两个完全一样的梯形。梯形的上底是45厘米，下底是60厘米，高是30÷2＝15厘米。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算出一个梯形的面积，再乘2即可求出这面锦旗的面积。 【详解】（60＋45）×（30÷2）÷2×2 ＝105×15÷2×2 ＝1575（平方厘米） 答：制作一面锦旗需要1575平方厘米布料。 4．（1）392平方米；（2）509.6千克 【分析】（1）实际种植小麦的面积＝长方形麦田的面积（长×宽）－两条人行道的面积（平行四边形的底是32－28的差再除以2，平行四边形的高为14m），计算即可； （2）这块麦田共产小麦的千克数＝实际种植小麦的面积×每平方米麦田产小麦的千克数，计算即可。 【详解】（1）32×14－[（32－28）÷2×14×2] ＝448－[4÷2×14×2] ＝448－[2×14×2] ＝448－56 ＝392（平方米） 答：实际种植小麦的面积是392平方米。 （2）392×1.3＝509.6（千克） 答：这块麦田共产小麦509.6千克。 【点睛】本题综合性较强，明确实际小麦的种植面积是解答本题的关键。 5．21060元 【分析】由“量得这块空地的一边长为36米，这条边对应的高是长的一半”可知，三角形空地的底边是36米，与之对应的高是36÷2＝18米；根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算出三角形空地的面积，在乘每平方米塑料草坪的单价即可。 【详解】36×（36÷2）÷2×65 ＝648÷2×65 ＝324×65 ＝21060（元） 答：预计铺完这块塑料草坪共需要21060元。 【点睛】本题主要考查三角形面积公式的实际应用，解题的关键是求出与底边对应的高。 6．56平方米 【分析】先用22－8＝14米，求出梯形的上底和下底的和，进而利用梯形的面积公式即可求解。 【详解】（22－8）×8÷2 ＝14×4 ＝56（平方米） 答：养鸡场的面积是56平方米。 【点睛】求出梯形的上底和下底的和，是解答本题的关键。 1．18平方米 【分析】由于AB＝BC，阴影部分和它旁边的空白部分的小三角形的高相等，根据三角形的面积公式：底×高÷2，则这个空白小三角形的面积和阴影部分面积相等，由于空白部分小三角形的面积和阴影部分三角形的面积相加正好是平行四边形的面积一半，则阴影部分的面积：72÷2÷2，算出结果即可。 【详解】72÷2÷2 ＝36÷2 ＝18（平方米） 答：涂色部分的面积是18平方米。 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式并灵活运用。 2．30.5平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝两个正方形的面积之和－两个空白直角三角形的面积之和。 【详解】（9×9＋5×5）－[（9＋5）×5÷2＋9×9÷2] ＝106－[35＋40.5] ＝106－75.5 ＝30.5（平方厘米） 3．14平方厘米 【分析】根据题意，AD＝DE＝EC，则三角形ABD的底是三角形ABC底的，高等于三角形ABC的高，三角形的面积＝底×高÷2，所以三角形ABD的面积为24×＝8（平方厘米）；那么三角形BDC的面积＝三角形ABC的面积－三角形ABD的面积＝24－8＝16（平方厘米），因为F是BC的中点，则三角形DFC的底是三角形BDC底的一半，它们的高相等，所以三角形DFC的面积＝三角形BDC面积的一半＝16÷2＝8（平方厘米），同理，因为DE＝EC，则三角形EFD的面积＝三角形DFC面积的一半＝8÷2＝4（平方厘米）；那么三角形EFC面积也是4平方厘米，而G是FC的中点，所以三角形EGC的面积是三角形EFC面积的一半，是4÷2＝2（平方厘米）。最后将阴影部分面积相加即可得到答案。 【详解】三角形ABD的面积：24×＝8（平方厘米） 三角形EFD的面积：（24－8）÷2÷2 ＝16÷2÷2 ＝4（平方厘米） 三角形EGC的面积：4÷2＝2（平方厘米） 阴影部分的面积：8＋4＋2＝14（平方厘米） 则阴影面积是14平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是根据各三角形底和高的关系，确定它们面积之间的关系，然后分别求出各阴影三角形的面积。 4．14平方厘米 【分析】 如图，连接AC，三角形ACF和三角形BCF等底等高，面积相等，因此三角形ACE的面积＝三角形BEF的面积，三角形AEB＋三角形ACE＝三角形ABC＝三角形AEB＋三角形BEF＝三角形ABF＝正方形面积的一半，正方形面积ABCD的面积÷2＝三角形ABF的面积，三角形ABF的面积－三角形ABE的面积＝阴影部分的面积，据此列式解答。 【详解】100÷2＝50（平方厘米） 50－36＝14（平方厘米） 答：阴影部分的面积是14平方厘米。 【点睛】注意运用辅助线，找到相关联图形之间相等的关系，是解答本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $