专题01 一元二次方程（期中知识清单，4知识&9题型&4易错&4方法清单）九年级数学上学期苏科版

专题01 一元二次方程（4知识&9题型&4易错&4方法清单） 【清单01】一元二次方程的定义与一般形式 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程。 2.一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 【清单02】一元二次方程的解法 1.直接开平方法： 适用于解形如x² = p或(mx + a)² = p（m ≠ 0）的方程。 当p ≥ 0时，可直接开平方求解。 2.配方法： 将方程转化为(x + m)² = n的形式，其中一边是完全平方式，另一边是常数。 当n ≥ 0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程求解。 配方法步骤：移项、二次项系数化为1、配方、开平方。 3.公式法： 对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），当b² - 4ac ≥ 0时，根为。 b² - 4ac称为判别式，用Δ表示。Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；Δ < 0时，方程无实数根。 4.因式分解法： 将方程一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积。 常用方法：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 将方程转化为两个一元一次方程求解。 【清单03】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1.若方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个实数根x₁、x₂，则： x₁ + x₂ = x₁x₂ = 2.应用： 验根：不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的两根。 3.求根及未知数系数：已知一个根，求另一个根及未知数系数。 4.求代数式的值：在不解方程的情况下，求关于x₁、x₂的代数式的值。 5.求作新方程：已知方程的两个根，求一元二次方程的一般式。 【清单04】一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审：读懂题目，明确已知量、未知量及等量关系。 设：设未知数，用含未知数的代数式表示相关量。 列：根据等量关系列方程。 解：解方程，求出未知数的值。 验：检验方程的解是否符合题意。 答：写出答案。 2.常见题型： 增长率问题：平均增长率公式a(1 ± x)² = b。 利润问题：总利润 = 总销售价 - 总成本，利润 = 成本 × 利润率。 几何问题：涉及三角形、四边形、圆等图形的面积、边长、角度等关系。 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】当 时，关于的方程是一元二次方程． 【题型二】一元二次方程的根 【例2】若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-1】若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 【变式2-2】已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为 ． 【题型三】一元二次方程的应用（一） 【例3】学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 【变式3-2】有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为 ． 【题型四】一元二次方程根与系数关系 【例4】若是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】设、 是一元二次方程的两个根， 则 ． 【变式4-2】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1)； (2)． 【题型五】解一元二次方程 【例5】用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) 【变式5-1】用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【变式5-2】解方程 (1) ； (2)． 【题型六】一元二次方程的应用 【例6】如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米． (1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米； (2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？ 【变式6-1】“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【变式6-2】已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 【题型七】配方法的应用 【例7】先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【变式7-1】配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【变式7-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【题型八】换元法的应用 【例8】解方程： 【变式8-1】阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【变式8-2】阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 【题型九】一元二次方程的新定义 【例9】定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【变式9-1】（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【变式9-2】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【题型一】根的判别式忽略前提 【例1】关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式1-1】方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 【变式1-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【题型二】方程和几何结合取舍问题 【例2】已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（       ） A．20 B．18 C．15 D．18或20 【变式2-1】已知三角形的一边长为6，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 【变式2-2】定义：在四边形中，如果有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，则称该四边形为邻等四边形．其中，两条相等邻边的夹角称为邻等角．例如，如图1，在四边形中，已知，，则四边形是一个邻等四边形，其中是邻等角． (1)下列图形一定是邻等四边形的是 ．（填序号） ①平行四边形  ②菱形  ③矩形   ④正方形 (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． (3)如图3，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． (4)如图4，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 【题型三】可化为一元二次方程的分式方程未检验 【例3】解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】分式方程的解是 ． 【变式3-2】解方程：． 【题型四】根与系数关系变形公式不熟 【例4】已知是一元二次方程的两根，则等于（   ） A．2 B． C．6 D． 【变式4-1】为方程的两个根，则代数式的值为 ． 【变式4-2】已知关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 【题型一】一元一次方程的降次法 以若x²+x-1=0，则x³+2x²+2023的值为？为例 方法：去凑x³，将方程两边同乘x，x（x²+x-1）=0，x³+x²-x=0，x³=-x²+x，带入上式得-x²+x+2x²+2023=x²+x+2023， 由题得x²+x=1，可代入求解。 【例1】将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 【变式1-2】阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 【题型二】一元一次方程的整体求解 以已知关于x的一元二次方程ax²+bx-c=0的解是x1=1，x2=-3，则另一个关于x的方程a（x+3）²+b（x+3）-c=0的解是？为例 方法：将x+3当成整体t得at²+bt-c=0，由题目得t=1或-3，因此x+3=1或x+3=-3，x可解。 【例2】关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【变式2-1】关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是 ． 【变式2-2】请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求关于y一元二次方程的两根． 【题型三】十字相乘法 方法：某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 【例3】如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（   ） A．10 B．12 C．10或12 D．6 【变式3-1】方程的解为 ． 【变式3-2】解方程：． 【题型四】分组分解法 方法：常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法。 【例4】已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是 ． 【变式4-2】常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件． 根据以上内容，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)请尝试用上面的方法分解因式：； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（4知识&9题型&4易错&4方法清单） 【清单01】一元二次方程的定义与一般形式 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程。 2.一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 【清单02】一元二次方程的解法 1.直接开平方法： 适用于解形如x² = p或(mx + a)² = p（m ≠ 0）的方程。 当p ≥ 0时，可直接开平方求解。 2.配方法： 将方程转化为(x + m)² = n的形式，其中一边是完全平方式，另一边是常数。 当n ≥ 0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程求解。 配方法步骤：移项、二次项系数化为1、配方、开平方。 3.公式法： 对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），当b² - 4ac ≥ 0时，根为。 b² - 4ac称为判别式，用Δ表示。Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；Δ < 0时，方程无实数根。 4.因式分解法： 将方程一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积。 常用方法：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 将方程转化为两个一元一次方程求解。 【清单03】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1.若方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个实数根x₁、x₂，则： x₁ + x₂ = x₁x₂ = 2.应用： 验根：不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的两根。 3.求根及未知数系数：已知一个根，求另一个根及未知数系数。 4.求代数式的值：在不解方程的情况下，求关于x₁、x₂的代数式的值。 5.求作新方程：已知方程的两个根，求一元二次方程的一般式。 【清单04】一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审：读懂题目，明确已知量、未知量及等量关系。 设：设未知数，用含未知数的代数式表示相关量。 列：根据等量关系列方程。 解：解方程，求出未知数的值。 验：检验方程的解是否符合题意。 答：写出答案。 2.常见题型： 增长率问题：平均增长率公式a(1 ± x)² = b。 利润问题：总利润 = 总销售价 - 总成本，利润 = 成本 × 利润率。 几何问题：涉及三角形、四边形、圆等图形的面积、边长、角度等关系。 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是，是一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确，所以不能确定它一定是一元二次方程；不符合题意； B、方程中，含有和两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程，因为分母中含有未知数，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，整理后为，这个方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意； 故选：D． 【变式1-1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 【变式1-2】当 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 【题型二】一元二次方程的根 【例2】若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 【变式2-1】若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵把代入得：， ∴方程的一个解是， ∵把代入得：， ∴方程的一个解是． 故选：C． 【变式2-2】已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用以及代数式的化简求值，求解出的值是解决本题的关键． 将代入方程可整理得到的值，再整理代数式，为，由此可求． 【详解】解：已知是方程的根， 将代入方程可得：，即， 整理可得， ∴， ∴代数式的值为4． 故答案为：4． 【题型三】一元二次方程的应用（一） 【例3】学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据“第一年共植树400棵，第三年共植树676棵”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 即x的值为． 故选：B． 【变式3-1】一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位数字为x，则个位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两位数是，即可得出这个两位数是36或63． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得． 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故选：C． 【变式3-2】有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，分别求出第一轮和第二轮传染后患流感的人数，即得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数为：，第二轮传染后患流感的人数为：，经过两轮传染后共有81人患了流感，可列方程为：． 故答案为：． 【题型四】一元二次方程根与系数关系 【例4】若是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 故选：C． 【变式4-1】设、 是一元二次方程的两个根， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得：，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系． （1）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可； （2）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴，． 【题型五】解一元二次方程 【例5】用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用因式分解得到，则或，即可得到答案； （2）用公式法解方程即可； （3）变形为，再利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 因式分解得到，， ∴或， 解得； （2） ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【变式5-1】用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）两边除以2，开平方法解答； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， 两边除以2，得， 开平方，得， ∴． （2）解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴． 【变式5-2】解方程 (1) ； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解： 或 所以 （2）解：    或 所以. 【题型六】一元二次方程的应用 【例6】如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米． (1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米； (2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了代数式，一元二次方程的应用，掌握长方体的体积公式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式可得，求出，再结合图形求解即可． （2）根据图中阴影部分的面积为平方米，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米， ， ， 长方形纸板的长为米，长方形纸板的宽为米， 故答案为：，； （2）图中阴影部分的面积为平方米， ，即， 解得， 纸盒的容积为立方米． 【变式6-1】“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】(1) (2)①；②6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可； ②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 【变式6-2】已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)的面积不可能等于，理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）通过根的判别式即可判定能否达到，即可作答． 【详解】（1）解：∵其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动 ∴ 设经过x秒以后面积为， 则， 整理得：， ∴ 解得：（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下： 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， 故的面积不能等于． 【题型七】配方法的应用 【例7】先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】(1)，； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 【变式7-1】配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 【变式7-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4）2025 【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 【题型八】换元法的应用 【例8】解方程： 【答案】，，， 【分析】本题考查了解高次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是正确利用换元的思想． 令，原方程可化为，利用因式分解法解得，，再分别解以及即可． 【详解】解：令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ∴原方程的根为，，，． 【变式8-1】阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】；或； 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，先根据题意填空，再设，最后仿照题干过程解方程即可． 【详解】解：设，原方程化为①， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 原方程的解为． 设，则原方程可化为， ∴， ∴或， 当时，，此时方程无解； 当时，， ∴， ． 【变式8-2】阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解； （1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）设．由已知等式得出，结合可得答案； （3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【详解】（1）解：设最小数为，则， 即：， 设，则， ，， 为正整数， ， ，舍去， 这四个整数为，，，． 故答案为：，，，． （2）设． ， ， ， ， ， ； （3）， ， 设，则， ， 或， ，， 或， ∴． 【题型九】一元二次方程的新定义 【例9】定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】(1)②④ (2)①，②， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【详解】（1）解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； （2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 【变式9-1】（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，，过程见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，熟练掌握一元二次方程的解法、求根公式以及对新定义“友好方程”的理解与运用是解题的关键． （1）依据“友好方程”的定义直接写出； （2）先写出“友好方程”，再用因式分解法求解； （3）先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积或和来推导关系． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； 【变式9-2】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 【题型一】根的判别式忽略前提 【例1】关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式1-1】方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 【变式1-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 【题型二】方程和几何结合取舍问题 【例2】已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（       ） A．20 B．18 C．15 D．18或20 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得，， 由题意知，第三边的长度需满足：第三边长度，即6＜第三边长度， ∴第三边的长度为8， 则这个三角形的周长为， 综上所述，只有A选项正确，符合题意， 故选：A． 【变式2-1】已知三角形的一边长为6，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 【答案】16或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入， 得出， 解得， 此时一元二次方程为， 解得：，， ∴此时， ， ∴此时能够构成三角形； 同理：当，则把代入， 得出， 解得； 当为腰长时，方程， 则， 解得， 此时方程为此时一元二次方程为， 解得：， ∴此时， ， ∴能够构成三角形； 故答案为：12或16． 【变式2-2】定义：在四边形中，如果有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，则称该四边形为邻等四边形．其中，两条相等邻边的夹角称为邻等角．例如，如图1，在四边形中，已知，，则四边形是一个邻等四边形，其中是邻等角． (1)下列图形一定是邻等四边形的是 ．（填序号） ①平行四边形  ②菱形  ③矩形   ④正方形 (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． (3)如图3，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． (4)如图4，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 【答案】(1)④ (2)见详解 (3)见详解 (4) 【分析】（1）根据“邻等四边形的定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，”即可解答． （2）先证明，再证明，即可得到结论； （3）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点；②，结合图形再确定满足的格点； （4）如图，过作于，可得四边形是矩形，，证明四边形为平行四边形，可得，设，而，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得一定是邻等四边形的是 正方形， 故答案为：④． （2）解：∵， ， ∵对角线平分， ， ， ， ∴四边形为邻等四边形． （3）解：即为所求； （4）解：如图，过作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， 设，而， ， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：（不符合题意舍去）， ， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【题型三】可化为一元二次方程的分式方程未检验 【例3】解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：设，则， 因为， 所以， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：B． 【变式3-1】分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解分式方程的步骤和方法，要注意分式方程要检验． 按照解分式方程的步骤求出方程的解，再把解代入最简公分母检验． 【详解】解：， ， 解得：或 经检验：是增根，舍去；是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 【变式3-2】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，先化为整式方程，再解一元二次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得． 整理，得． 解得，． 经检验知：是增根，应舍去；是原方程的根． 所以，原方程的根是． 【题型四】根与系数关系变形公式不熟 【例4】已知是一元二次方程的两根，则等于（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：C． 【变式4-1】为方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据方程的系数结合根与系数的关系解题即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴ ． 故答案为： ． 【变式4-2】已知关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数关系，一元二次方程，若方程有两个不同的实根，若方程无实根，若方程有两个相同的实根；方程两根之和为，两根之积为． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用根与系数关系，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， 若方程有两个实数根则， ，即， 解得． （2）根据一元二次方程有两个实数根，， 由根与系数关系可知： ，， ，， ，即， ， ，即． 【题型一】一元一次方程的降次法 以若x²+x-1=0，则x³+2x²+2023的值为？为例 方法：去凑x³，将方程两边同乘x，x（x²+x-1）=0，x³+x²-x=0，x³=-x²+x，带入上式得-x²+x+2x²+2023=x²+x+2023， 由题得x²+x=1，可代入求解。 【例1】将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求得x2=x+1，再代入即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴=（x+1）2+x(x+1)-5x+3 =x2+2x+1+x²+x-5x+3 =2x2-2x+4 =2(x+1)-2x+4 =2x+2-2x+4 =6， 故选：D． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键． 【变式1-1】将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据降次法，求出，再解一元二次方程，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∵，且， 解得：， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，解一元二次方程．理解并掌握降次法，是解题的关键． 【变式1-2】阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 【答案】（1）①，，；②，；（2） 【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可； （2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题． 【详解】（1）①将变形为， ∴， ∴， ∴， . 或. 解方程得. 解方程得，， ∴原方程的根为：，，； ②， 设，则，方程变形为， ∴， 解得：， 当，时，无实根，舍去， 当，时，解得或； ∴原方程有两个根：，； （2）解：方程的解为：， 由于， ∴， ， ，， ， 当时， 原式 ． 【题型二】一元一次方程的整体求解 以已知关于x的一元二次方程ax²+bx-c=0的解是x1=1，x2=-3，则另一个关于x的方程a（x+3）²+b（x+3）-c=0的解是？为例 方法：将x+3当成整体t得at²+bt-c=0，由题目得t=1或-3，因此x+3=1或x+3=-3，x可解。 【例2】关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解． 【详解】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 【变式2-1】关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则方程可转化为，则可得关于的方程的解是，由此即可得． 【详解】解：令，则方程可转化为， ∵关于的方程的解是（为常数，）， ∴关于的方程的解是， ∴或， ∴或， ∴方程的解是， 故答案为：． 【变式2-2】请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求关于y一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)4； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3），令，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； （3）一元二次方程， ∵令， ∴， 则方程的两根比两根大1， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，， 所以方程 的两根分别是4、． 【题型三】十字相乘法 方法：某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 【例3】如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（   ） A．10 B．12 C．10或12 D．6 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式等知识．先求出方程的解，再分当时，当时，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：解方程得：， 当时，三边长度分别为：，， ∴不能构成三角形， 当时，三边长度分别为：，，， ∴能构成以3和4为直角边长的直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故选：D． 【变式3-1】方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ，， 故答案为：，． 【变式3-2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【题型四】分组分解法 方法：常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法。 【例4】已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，将原方程变为，再转化为关于的一元二次方程，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， 故选：A． 【变式4-1】阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键， 先因式分解，，再求方程的解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 方程的解为：或或． 故答案为：或或． 【变式4-2】常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件． 根据以上内容，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)请尝试用上面的方法分解因式：； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了因式分解以及利用因式分解来解决三角形周长相关问题．熟练掌握因式分解的方法以及三角形三边关系的结合是解题的关键． （1）先提取公因式2得到，再根据完全平方公式进行化简得到； （2）将式子前两项分为一组，后两项分为一组，对于，根据平方差公式可得到，对于提取公因式3可得到， 此时原式变为，再提取公因式即可； （3）先将通过拆项分组，得到，根据完全平方公式化简为，根据非负数的性质得到式子，，求出，的值，再根据三角形的三边关系求出，最后计算的周长即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：，．．，．，．由三角形的三边关系，可知，即．又为正整数，．的周长为． 学科网（北京）股份有限公1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $