4.6利用相似三角形测高 同步练习 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第四章4.6利用相似三角形测高 一、选择题 1．如图所示，身高为的小刚站在离路灯底部处时发现自己的影长恰好为，则该路灯的高度是（　　） A． B． C． D． 2．小明测量旗杆高度的示意图，如图所示．他首先在旗杆的右边点处放置了一平面镜，并测得米．然后小明沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），则旗杆的高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为（　　）． A． B． C． D． 4．如图所示，为了测量文昌塔AB的高度，数学兴趣小组根据光的反射定理（图中），把一面镜子放在点C处，然后观测者沿着直线BC后退到点D．这时恰好在镜子里看到塔顶A，此时量得，，观测者目高，则塔AB的高度为（　　） A．35m B．36m C．37m D．38m 5．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（　　） A．9m B．10m C．11m D．12m 6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，在、上分别找点M，N，使得，，测量出的长为，由此可知A、B间的距离为（　　） A． B． C． D． 7．小莹同学的身高为1.6米，某一时刻她在阳光下的影长为3.2米，与她邻近的一棵树的影长为8米，则这棵树的高为（　　） A．3.2米 B．3米 C．4米 D．4.2米 8．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（　　） A．4m B．6m C．8m D．12m 9．如图，为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组做了如下的探索：把一面很小的镜子水平放置在离树底（B）7.8米的点E处，然后观察者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为（　　）米． A．15.6 B．6.4 C．3.4 D．3.9 10．如右图所示为我市某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（　　）米． A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 二、填空题 11．如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得点离地面的高度为，小莹与“观光塔”的水平距离为，则“观光塔”的高度是　 　． 12．如图，为了测量大树的高度，小明发现大树离教学楼4.5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为1.2m，此时小明拿起一根高2m的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长1m，那么这棵大树高　 　m． 13．如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB：BC＝1：8，则建筑物CD＝　 　． 14．中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为　 　尺． 15．如图，在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为　 　米. 16．某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为　 　米． 17．宁霞做测量阳光下旗杆长度的试验时发现学校的旗杆是在一个台座上的（如图所示）．经测量旗杆底部点到台座边缘的距离为1，每级台阶高，阶面长，旗杆落在水平地面上的影长，此时，竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为，则学校的旗杆高度是　 　． 18． 如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝8cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 　 　cm． 三、解答题 19．为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米． （1）该小组同学是利用______投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”） （2）求这棵树的高度． 20．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 21．如图，在△ABC中，AC＝60m，BC＝40m，点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动（运动到C即停止），同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动（运动到B即停止），设运动时间为t秒。 （1）当t为何值时，PC＝CQ？ （2）当t为何值时，PQ＝50m？ （3）几秒后，△PCQ与△ABC相似？求出t的值 22．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度． 23．小强想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米． （1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF． （2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高． 24．“远远的街灯明了，好像闪着无数的明星．天上的明星现了，好像是点着无数的街灯……”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯A走向路灯B的过程中，当她行到P点时，她在路灯B下的影长为1.5米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了5米到Q处，恰好她在路灯A下的影子位于路灯B的正下方（已知小华身高1.6米，路灯B高8米） （1）计算小华站在Q处在路灯A下的影长； （2）计算路灯A的高度． 25．小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度． （1）若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度． （2）在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度． 26．如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，将这个情景转化成几何图形，如图3所示． （1）利用图1、图2所示水的体积相等，求的长； （2）求水面高度． 27．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． （1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点P处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少． （2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？ 28．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量旗杆高度 问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？ 组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案： 方案一 方案二 … 测量工具 标杆，皮尺 自制直角三角板硬纸板，皮尺 … 测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上． 说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上． 　 测量数据 B，D之间的距离 16.8m B，D之间的距离 16.8m … D，F之间的距离 1.35m EF的长度 0.50m … EF的长度 2.60m CE的长度 0.75m … … … 　 根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）； 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】 12．【答案】10.2 13．【答案】10.8m 14．【答案】 15．【答案】6 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】24 19．【答案】（1）平行 （2）5.25米 20．【答案】旗杆的高度为 21．【答案】（1）解：PC＝（60﹣2t）m，CQ＝3t m 60﹣2t=3t 解得t＝12 当t＝12时，PC＝CQ （2）解：PC＝（60﹣2t） m，CQ＝3t m 在Rt△PCQ中， PQ2=PC2+QC2=（60﹣2t）2+（3t）2=502 解得t1＝10，t2= 当t1＝10，t2=时，PQ＝50m （3）解：t秒后，△PCQ与△ABC相似， 根据题意得：AP＝2tm，PC＝（60﹣2t）m，CQ＝3t m， 分两种情况考虑：当∠CPQ＝∠A，∠C＝∠C＝90°时，△CPQ∽△CAB， 此时有，即 解得：t＝ 当∠CPQ＝∠B，∠C＝∠C＝90°时，△CPQ∽△CBA， 此时，即 解得：t＝15 ∵当t＝15时，15×3=45m＞40m，应舍 ∴秒时，△PCQ与△ABC相似． 22．【答案】解：延长OD， ∵DO⊥BF， ∴∠DOE=90°， ∵OD=0.8m，OE=0.8m， ∴∠DEB=45°， ∵AB⊥BF， ∴∠BAE=45°， ∴AB=BE， 设AB=EB=xm， ∵AB⊥BF，CO⊥BF， ∴ABCO， ∴△ABF∽△COF， ∴， 即， 解得：x=4.4m． 经检验：x=4.4是原方程的解． 答：围墙AB的高度是4.4m． 23．【答案】（1）解：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图； （2）解：∵AF∥CE， ∴∠AFB＝∠CED， 而∠ABF＝∠CDE＝90°， ∴△ABF∽△CDE， ∴， 即 ∴AB＝8（m）． 答：旗杆AB的高为8m． 24．【答案】（1）1米 （2）12米 25．【答案】（1）DE=m （2）假山的高度为 26．【答案】（1）解：如图所示， 设DE=xcm，则AD=（8－x）cm， 根据题意得：（8－x+8）×3×3=3×3×6，解得：x=4， ∴DE=4（cm） （2）解：∵∠E=90°，DE=4，CE=3， ∴CD=5， ∵∠BCE=∠DCF=90°， ∴∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB， ∴∠DCE=∠BCF ∵∠DEC=∠BFC=90°， ∴△CDE∽△CBF， ∴，即， ∴CF=（cm）， 答：CF的高是cm 27．【答案】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴， ∴， 解得； ∴灯泡离地面的高度为； （2）解：设横向影子，的长度和为， 同理可得． ∴， 即， 解得：， ∴横向影子，的长度和为． 28．【答案】解：方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H， 则四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形， ∴CQ＝DF＝1.35m，CH＝BD＝16.8m， ∵EQ∥AH， ∴ ∵ ∴△CEQ∽△CAH， ∴， 即：， 解得：AB＝12.9m； 方案二：（1）∵∠ACG＝∠ACG，∠CGA＝∠AEF＝90°． ∴△CEF∽△CGA， ∴， 即：， 解得：AB＝12.9m； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $