4.4 探索三角形相似的条件 同步练习 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第四章4.4探索三角形相似的条件 一、选择题 1．已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 4．已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 6．如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，与相交于点O，添加一个条件，不能判断的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接． ①②③④，以上结论正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图所示，给出下列条件： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中单独能够判定 的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为.如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，作如下作图； ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； ③作射线交于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（　　） ①是等腰三角形 ②③④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 12．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于点D，则线段的长度是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点，如果的长为，那么的长是　 　． 14．在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC，BC，AB各部分长度的比满足．若，则的长为　 　． 15．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三角形为　 　 （填一个即可）． 16．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是　 　 ． 17．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是　 　． ①BE=CD；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE． 18．如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，且 ，则线段CD的长为　 　米． 19．如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是　 　． 三、解答题 20． 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B． （1）证明：△ADB∽△AED． （2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长． 21．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP． 22．如图，在中，D是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，，求的度数． 23．如图，在中，D是边上一点，且， （1）求证：； （2）若，，的面积为9，求的面积． 24．如图，在 中， ， ， ，点P由点A出发沿 方向向终点B以每秒 的速度匀速移动，点Q由点B出发沿 方向向终点C以每秒 的速度匀速移动，速度为 .如果动点同时从点A，B出发，当点P或点Q到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与 相似？ 25． 如图①，已知点G在正方形ABCD 的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点 F. （1）证明与推断： ①求证：四边形CEGF 是正方形. ②推断： 的值为 ▲ . （2）探究与证明： 将正方形CEGF 绕点C 沿顺时针方向旋转α角( ，如图②所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由. （3）拓展与运用： 正方形CEGF 在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD 于点H.若AG=6，GH=2 ，则BC= . 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】A 11．【答案】D 12．【答案】D 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】△ABC 16．【答案】∠ABP=∠C（答案不唯一） 17．【答案】①② 18．【答案】 19．【答案】6或8 20．【答案】（1）证明： （2）解： 21．【答案】证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． 22．【答案】（1）证明：，， ， ； （2）解：，， ， 由（1）得， ． 23．【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴的面积． 24．【答案】解：设 秒后，以点Q，B，P为顶点的三角形与 相似，则 ， . ∵ ， ∴分两种情况讨论：①当 时， ，即 ，解得 ； ②当 时， ，即 ，解得 . 综上所述，当运动2.4秒或 秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与 相似 25．【答案】（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ECF=90°，∠ECG=45° ∵ GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点 F. ∴四边形ACEGF是矩形， ∵∠ECG=45°， ∴EC=EG， ∴ 四边形CEGF 是正方形. ②。 （2）理由如下： 连接CG， ∵ ∴ ∴ （3） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $