4.4 探究三角形相似的条件同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.4 探究三角形相似的条件 第1课时 相似三角形的有关概念及判定定理1 基础夯实 知识点 1 相似三角形的概念 1.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则 ( ) A.2 B. C.3 D1 2.如图,△ABC∽△ACP. (1)若∠A=75°,∠APC=65°,则∠BCP 的大小为 度. (2)若△ABC 与△ACP 的相似比为 ,AP=6,则AC= ,BP= 知识点 2 相似三角形的判定定理1 3.如图,在△ABC 纸片中,∠A=76°,∠B=34°.将△ABC 纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 ( ) A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 4.下列描述中的各组图形，不一定相似的是( ) A.各有一个角是50°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形 C.各有一个角是100°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形 5.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边AB，AC 上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 .(写出一个条件即可) 6.如图,已知AD 是△ABC 的角平分线,AD=BD,求证:△ABC∽△DAC. 7.如图，在△ABC中,∠ACB=90°. (1)在AB上求作点 D,使△CDB∽△ACB.(要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,求证: B 8.如图,四边形ABCD是平行四边形，G是 DC 的延长线上一点，AG分别与DB,CB交于点 E,F,下列结论错误的是 ( ) A.△ADG∽△FCG B.△ADE∽△FBE C.△ABE∽△GDE D.△ABF∽△GDE 9.如图,△ABC为等边三角形,点D,E 分别在边 BC,AB上,∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为 ( ) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 10.如图，△ABC中，CE⊥AB,垂足为 E,BD⊥AC,垂足为 D,CE 与 BD交于点 F，则图中相似三角形有 ( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 11.如图,四边形ABCD为菱形,点 E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE. (1)求证:△ABC∽△AEB. (2)当AB=6,AC=4时,求CE的长. 12.如图,四边形ABCD 中,BD平分∠ABC,∠ADB=∠DCB=90°,E 为 AB 的中点,CE与BD 交于点 F. (1)求证:△ABD∽△DBC. (2)求证:DE∥BC. (3)若DF:BF=2:3,CD=6,求DE 的长. 13.如图,正方形ABCD的边长为4,E是 BC边的中点,点 P 在射线 AD 上,过 P 作 PF⊥AE于 F. (1)求证:△PFA∽△ABE. (2)当点 P 在射线 AD 上运动时,设 PA=x,是否存在实数x，使以 P，F，E为顶点的三角形与△ABE 相似?若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由. 第2课时 相似三角形的判定定理2 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 相似三角形的判定定理2 1.解释教材或选练习 如图，已知△ABC，则选项中的三角形与△ABC相似的是 ( ) 2.易错题教材变式 「2025山东济南育英中学期末」如图，点D在△ABC的边AC上,添加一个条件,使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是 ( ) A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC 3.「2025上海崇明一模」如图，在三角形纸片ABC 中，AB=6,AC=4,BC=8,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是 ( ) 4.「2025福建三明三元期中」如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，其中 量得CD=4 cm,则AB= cm. 5.如图,BD平分∠ABC,且AB=4,BC=6,则当BD= 时,△ABD∽△DBC. 6.「2025广东普宁期末」如图,在△ABC中,点D 是AB上一点,且 AD = 1,AB =3,AC = 求证:△ACD∽△ABC. 7.「2024广东广州中考」如图，点 E，F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF. 能力提升 8.△ABC按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点 B′、F、C为顶点的三角形与△ABC 相似,那么 BF 的长度是______ C 学科网（北京）股份有限公司 9.如图,在△ABC中, 点 D 在AC上,且 (1)用尺规作出点 D.(保留作图痕迹，不写作法) (2)连接BD,并证明:△ABD∽△ACB. 10.如图,在△AOB 中,∠AOB = 90°,OA=12 cm,AB=6 cm,点 P 从 O 开始沿 OA 边向点 A 以2cm/s的速度移动;点 Q 从点 B 开始沿BO 边向点 O 以1 cm/s的速度移动,如果 P,Q 同时出发,设时间为xs(0<x<6),那么: (1)当x为何值时,△OPQ 的面积为5 cm²? (2)当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB 相似? 11.如图,四边形ABCD、CDEF、EFGH 都是正方形. (1)△ACF 与△ACG相似吗? 说说你的理由. (2)求∠1+∠2的度数. 素养提优 12.如图,已知∠MON=90°,A 是∠MON 内部的一点,连接OA,过点A作AB⊥ON,垂足为B,AB=3cm,OB=4 cm,动点 E,F同时从点O 出发,点E以1.5cm/s的速度沿ON方向运动,点 F 以2cm/s的速度沿OM 方向运动,EF与OA 交于点 C.当点 E 到达点 B 时，两点均停止运动.设运动时间为t(t>0)s. (1)当t=1时,△EOF 与△ABO 是否相似? 请说明理由. (2)在运动过程中，无论 t取何值时，总有 EF⊥OA,为什么? 第2课时 相似三角形的判定定理3 基础夯实 知识点 相似三角形的判定定理3 1.若△ABC的三边长分别是3，5，6，则与△ABC相似的△DEF 的各边长可能满足( ) A. DE=6,DF=8,EF=10 B. DE=9,EF=18,DF=25 C. DE=1,EF=2,DF=2.5 D. DE=6,DF=10,EF=12 2.「2025湖南新田期中」已知点 D、E、F 分别为△ABC 的三边AB、BC、AC的中点,连接DE、EF、DF,则下列结论不一定正确的是 ( ) A. DE∥AC C. DF=EF D.△DEF∽△CAB 3.「2024山东邹平期末」如图所示，网格中相似的两个三角形是 ( ) A.①与③ B.②与③ C.①与④ D.③与④ 4.如图,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,DF=3CF,那么△AEF 和△ECF 是否相似? 并说明理由. 5.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB=14 千米,AD=28千米,BD=21 千米,BC=42千米,DC=31.5千米,公路AB与CD平行吗? 说出你的理由. 单位：千米 6.学科教材变式特色P94例3 如图,在四边形ABCD中,AC,BD 相交于点F,点E在BD上,且 (1)∠1 与∠2 相等吗? 为什么? (2)判断△ABE与△ACD 是否相似,并说明理由. 能力提升 7.△ABC 的坐标分别是(1,1),(1,5),(5,1),(7,1),以C,D，E为顶点的三角形与△ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是 ( ) A. (7,-2) B.(5,-1 ) C.(6,0) D.(7,3) 8.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中作出格点△ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有 个. 9.如图所示的是由 4个边长为1 的正方形组成的图形. (1)求证:△ABD∽△BCD. (2)求∠ABC的度数. 10.一个钢筋三角形支架边长分别是20cm,50cm,60cm,现在要做一个与其相似的钢筋三角形支架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，有几种不同的截法? 素养提优 11.新排班推理能力如图①,在△ABC 和△A'B'C'中,D、D'分别在,AB、A'B'上, (1) 当 时,证明 △ABC∽△A'B'C'的途径可以用如下框图表示，请填写其中的空格. (2) 当 时,求证: △ABC∽△A'B'C'. (3)如图②,M 是AC的中点,P,Q 是 BC 的三等分点,AP、AQ 分别交 BM 于点D、点 E,则BD: DE:EM= . 第3课时 黄金分割 基础夯实 知识点 黄金分割 1.已知点 C 把线段AB分成两条线段AC、BC,且AC>BC，下列说法错误的是 ( ) A.如果 那么线段AB 被点 C 黄金分割 B.如果 那么线段 AB 被点 C 黄金分割 C.如果线段AB 被点 C 黄金分割，那么BC与AB 的比叫做黄金比 D.0.618是黄金比的近似值 2.大自然中，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”的美.黄金分割比的比值为 如图，P 为线段AB 的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10 cm，那么AP 的长度是( ) B.(15-5 ) cm C.6.18 cm 3.如图1，在线段AB 上找一点 C,点 C 把线段AB 分为 AC 和 CB 两段,其中AC是较短的一段，若 则点 C 叫做线段 AB的黄金分割点.如图2所示的是正五角星图案，若点N 是线段 BE 的黄金分割点,且BE=2,则BN的长为 ( ) 4.如图，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A，B 固定在乐器面板上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D是靠近点A 的黄金分割点，则支撑点 C，D之间的距离为 cm.(结果保留根号) 能力提升 5.能教材变量练习「2024 四川南充中考，如图，已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B 作BC⊥AB,使BC= 连接AC；②以点C 为圆心，以BC 长为半径画弧,交AC 于点 D;③以点A 为圆心,以 AD 长为半径画弧,交AB 于点 E.若AE=mAB,则m的值为( ) 6.如图，在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点 C为圆心，以BC长为半径作弧交AC于点 D，再分别以B，D为圆心，以大于 4B的长为半径作弧，两弧相交于点 P,作射线 CP 交AB 于点 E,连接 DE.下列结论不正确的是 ( ) A.∠BCE=36° B. BC=AE 4 探究三角形相似的条件 第1课时 相似三角形的有关 概念及判定定理1 基础夯实 1. B ∵△ABC∽△A'B'C', 故选 B. 2.答案 (1)25 (2)10,3 解析 (1)∵∠A=75°,∠APC=65°,∴∠ACP=40°, ∵ △ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°, ∴ ∠BCP=∠ACB-∠ACP=25°. (2)∵△ABC∽△ACP,相似比为- ,AP=6, 3. C 题图①中,∠B=∠B,∠A=∠BDE=76°,所以△BDE和△ABC相似; 题图②中，仅有∠B=∠B 一个条件，不能推出△BCD和△ABC相似; 题图③中,∠C=∠C,∠CED=∠B,所以△CDE 和△CAB 相似; 题图④中，仅有∠C=∠C一个条件，不能推出△CDE和△ABC 相似. 所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选 C. 4. A选项A，当一个等腰三角形中50°的角为顶角，底角为65°，另一个等腰三角形中50°的角为底角，顶角为80°时，这两个等腰三角形不相似，故选 A. 5.答案 ∠ADE=∠C(答案不唯一) 解析 ∵ ∠DAE = ∠BAC,∴ 添加的条件可以是∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似,可判定△ADE∽△ACB.(答案不唯一) 6.证明 ∵AD 是△ABC 的角平分线, ·∠BAD=∠CAD, ∵AD=BD,∴∠BAD=∠B,∴∠CAD=∠B, 又∵∠C=∠C,∴ △ABC∽△DAC. 7.解析 (1)如图，点D 就是所求作的点. (2) 证明:∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90°, ∴∠CAD+∠ACD=90°, ∵ ∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°, ∴ ∠BCD=∠CAD,∴ △ADC∽△CDB, 即 能力提升 8. D ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∴△ADG∽△FCG,△ADE∽△FBE,故选项 A、B 均正确，不符合题意；∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC,∴△ABE∽△GDE,故选项 C正确,不符合题意；无法证明△ABF∽△GDE，故选项D错误，符合题意.故选 D. 9 C △ABC 是等边三角形,∴ BC=AC,∠B=∠C=60°,∴∠CAD+∠ADC=120°,∵ ∠ADE=60°, ∴∠BDE+∠ADC=120°,∴∠CAD=∠BDE,∴△ADC ∵BD=4DC,∴设DC=x,则BD=4x, 故选C. 10. A ∵BD⊥AC,CE⊥AB, ∴∠AEC=∠ADB=90°,∠BEF=∠CDF=90°, 又∵∠A=∠A,∠EFB=∠DFC, ..△AEC∽△ADB,△BEF∽△CDF, ∵∠EBF=∠ABD,∠BEF=∠ADB=90°, .. △BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF, ..共有6对相似三角形.故选 A. 11.解析 (1)证明:∵ 四边形ABCD为菱形,∴∠ACD=∠BCA,∵∠ACD=∠ABE,∴∠BCA=∠ABE,∵ ∠BAC=∠EAB,∴△ABC∽△AEB. (2)∵△ABC∽△AEB,∴ABA=ACAB,∵AB=6,AC=4, 12.解析 (1)证明:∵ BD平分∠ABC, ∴∠CBD=∠ABD, ∵ ∠ADB=∠DCB,∴△ABD∽△DBC. (2)证明;∵ E 是 AB 的中点,∠ADB=90°,∴ DE=BE=AE,∴∠EDB=∠EBD, ∵∠CBD=∠EBD,∴∠CBD=∠EDB,.. DE∥BC. (3)∵ ∠EDF=∠CBF,∠EFD=∠CFB,∴ △DEF∽ 设AB=4m,则BC=3m,由(1)知△ABD∽△DBC, 解得 (舍去负值)， 素养提优 13.解析 ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD∥BC,∠B=90°. (1)证明:∵AD∥BC,..∠PAF=∠AEB. ∵ ∠PFA=∠B=90°,∴△PFA∽△ABE. (2)存在.∵PF⊥AE,∴∠PFE=90°=∠B.∴当以P,F，E为顶点的三角形与△ABE 相似时，有两种情况：如图①,若△EFP ∽ △ABE,则∠PEF = ∠EAB,.. PE∥AB.∴四边形 ABEP 为矩形.... PA=EB=2,即x=2. 如图②,若△PFE∽△ABE,则∠PEF=∠AEB. ∵∠PAF=∠AEB,∴∠PEF=∠PAF…PE=PA. ∵ PF⊥AE,∴ 点 F 为AE 的中点. 即 即x=5. 综上可知，x的值为2或5. 第2课时 相似三角形的判定定理2 基础夯实 1. D ·AB=AC=6,∠B=75°, .∠C=∠B=75°,∴∠A=30°, 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可知 D 中三角形与△ABC相似. 2. C 选项 A,若∠ABD=∠C,∠A=∠A,则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意； 选项 B,若∠ADB = ∠ABC,∠A = ∠A,则△ADB ∽△ABC，故此选项不符合题意； 选项 C，当 时,由于 AB 和 BD 的夹角与 AC 和CB的夹角不一定相等，故不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意； 选项D，若 则△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意.故选 C. 3. A 在三角形纸片ABC中,AB=6,BC=8,AC=4. ∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似，故此选项符合题意； ∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意； ∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意； ∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项不符合题意. 故选 A. 4.答案 12 解析 ∵AD,BC相交于O,∴∠COD=∠AOB, ∴AB=4×3=12(cm),故答案为12. 5.答案 2 解析 ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD=∠CBD,当 时,△ABD∽△DBC,∵AB=4,BC=6,∴ B=BD,1解得 .故答案为2 6.证明∵AD=1,AB=3,AC= 又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC. 7 证明 ∵BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9, ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°, ∴△ABE∽△ECF. 能力提升 8答案 或2 解析 由折叠易知BF=B'F,在△B'FC 与△ABC 中,∠ACB=∠B'CF. 若 则△B'FC∽△ABC,易知B'F=B'C,AB=AC=3,B'F=BF,∴BF/₃=4-B/F,解得 若 则△B'CF∽△BCA.易知B'F=CF,∵AB=AC=3,BF=B'F,∴BF=CF= BC=2.综上所述，BF 的长度是 或2. 易错点 相似三角形的对应关系不确定时，需分类讨论，避免漏解. 9解析 (1)如图，点D 即为所求. (2)证明: ∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB. 10.解析 (1)∵∠AOB=90°,∴BO²=AB²-AO²,.. BO=6 cm. 在Rt△OPQ中,OQ=(6-x) cm,OP=2x cm, ∵△OPQ的面积为5cm², 即 解得x=1或x=5.故当x=1或5时,△OPQ的面积为5 cm². (2)在△AOB 和△OPQ 中,∠AOB=∠POQ=90°,若 则△OPQ∽△OAB,故 解得x=3.若 则△OPQ∽△OBA,故 解得 综上所述，当x=3或- 时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB 相似. 解析 (1)相似. 理由；设正方形的边长为a，则 ∵ ∠ACF=∠GCA,∴△ACF∽△GCA. (2)∵△ACF∽△GCA,∴∠1=∠CAF, ∵ ∠CAF+∠2=45°,∴ ∠1+∠2=45°. 素养提优 12.解析 (1)相似.理由如下: 当t=1时,OE=1.5cm,OF=2cm. 又∵∠EOF=∠ABO=90°,∴△EOF∽△ABO. (2)在运动过程中,OE=1.5t cm,OF=2t cm. ∵AB=3c m,OB=4cm,∴OEB=OFB= 又∵∠EOF=∠ABO=90°, ∴ △EOF∽△ABO.∴ ∠EFO=∠AOB. 又∵∠AOB+∠FOC=90°, ∴ ∠EFO+∠FOC=90°.∴∠FCO=90°,即EF⊥OA. 第3课时 相似三角形的判定定理3 基础夯实 1. D 已知△ABC的三边长分别是3,5,6. 选项A,当DE=6,DF=8,EF=10时, △DEF与△ABC不相似，此选项不符合题意. 选项B,当DE=9,EF=18,DF=25时, △DEF 与△ABC不相似，此选项不符合题意. 选项C,当DE=1,EF=2,DF=2.5时, △DEF 与△ABC不相似，此选项不符合题意. 选项D,当DE=6,DF=10,EF=12时, △DEF与△ABC相似,此选项符合题意.故选 D. 2. C ∵点 D、E、F 分别为△ABC 的三边AB、BC、AC 的中点,∴DE、DF、EF 是△ABC 的中位线,∴ DE∥AC, 故 A 选项正确，不符合题意； 故 B选项正确，不符合题意； ∽△CAB,故D选项正确,不符合题意;若DF=EF,则BA=BC，题干中并未给出，故C选项不一定正确，符合题意.故选 C. 3. A设网格中每个小正方形的边长为1，则三角形①的三边长分别为 ,2,. 三角形②的三边长分别为 三角形③的三边长分别为2， 2 三角形④的三边长分别为 三角形①与三角形③相似，故选 A. 4.解析 △AEF 与△ECF 相似.理由:设正方形 ABCD 的边长为4a.∵E是BC的中点,DF=3CF,,BE=EC=2a,CF=a,DF=3a. 根据勾股定理易得 5.解析 公路AB 与 CD平行.理由: ∴∠ABD=∠BDC,.. AB∥DC. 6.解析 (1)∠1与∠2相等.理由如下:∵ABBC=BCE=ACD,∴△ABC∽△AED,∴∠BAC=∠EAD,∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF,即∠1=∠2. (2)△ABE与△ACD相似.理由如下: 又∵∠1=∠2,∴△ABE∽△ACD. 能力提升 7. A 、点A,B,C的坐标分别是(1,1),(1,5),(5,1),∴AB=AC=4,∠BAC=90°,即△ABC为等腰直角三角形,∵D(7,1),∴CD=2,∵以C,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似,∴△CDE为等腰直角三角形. 当CD=CE=2或CD=DE=2时,如图,可知E₁(5,3),E₂(7,3),E₃(5,-1),E₄(7,-1); 当 CE=DE时,过点 E作 EF⊥CD 于点 F,如图; ∵CE=DE,EF⊥CD, ∴点 F为 CD 的中点,∴ CF=1,∵∠CED=90°, ∴E₅(6,2),E₆(6,0). 综上,点E的坐标可能是(5,3)或(7,3)或(5,-1)或(7, 1)或(6,2)或(6,0).故选A. 8.答案 6 解析 如图. 结合题意知,使得△ADE∽△ABC 的格点△ADE 一共有6个.故答案为6. 9.解析 (1)证明：【证法一】由题意得 ∴ABC=ADD=BDDC,∴△ABD∽△BCD. 【证法二】根据题意得A , 由正方形的性质得∠1=45°， ∴ ∠ADB=∠BDC=135°.∴△ABD∽△BCD. (2)∵ △ABD∽△BCD,∴ ∠BAD =∠CBD.∴ ∠1=∠BAD+∠ABD=∠CBD+∠ABD=45°,即∠ABC=45°. 10.解析 当取 30 cm 为一边长时，设另两边长分别为x cm、y cm(x<y). 若30cm与20cm 对应,则 解得：x=75,y=90. 75+90>50,故此种情况不存在. 若30cm与50 cm对应,则 解得x=12,y=36. 12+36=48<50,故此种情况存在. 若30cm与60 cm对应,则 解得x=10,y=25. 10+25=35<50,故此种情况存在. 当取50cm作为一边长时，无法得到符合题意的三角形. 综上所述，有两种不同的截法. 素养提优 11.解析 △ADC∽△A'D'C',∴∠A=∠A', AC/CC=AB/TB,∴ △ABC∽△A'B'C'. 故答案为 (2)如图,过点D、D'分别作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE交AC于点 E,D'E'交A'C'于点 E'. ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, 同理 又 同理 則 又 .△DCE∽△D'C'E' ∴ ∠CED=∠C'E'D'. : DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°. 同理， ∴∠ACB=∠A'C'B'.又-40ACAC,P=BCC,∴∴ △ABC∽△A'B'C'. (3)如图,过A 作AF∥BC 交 BM 的延长线于 F,设BC=3a, 则BP=PQ=QC=a∴M是AC的中点,∴AM=CM. . AF∥BC,∴AF:BC=AM:CM=1, AF=BC=3a, BD∶DF=BP∶AF=1∶3,∴BD=BF/4, 后”可得 下 案为5∶3∶2. 第4课时 黄金分割 基础夯实 1. C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC>BC),若 则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.根据黄金分割的定义可知 A、B、D中说法正确.如果线段AB 被点 C 黄金分割(AC>BC),那么AC与AB的比叫做黄金比，所以C 中说法错误. 2. A ∵ P 为 AB 的黄金分割点, ∵AB 的长度为10 cm,∴ 故选 A. 3. C 【解法一】∵N是BE的黄金分割点,BN>NE, 故选 C. 【解法二】∵点 N 是线段 BE 的黄金分割点， BNB,∵BE=2,∴EN=BE-BN=2-BN, 负值舍去)，故选 C. 4.答案 解析 ∵ 点C是靠近点 B 的黄金分割点,AB=80 cm, ∵ 点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，∴ ∴支撑点 C，D之间的距离为 故答案为( 能力提升 5. A 设AB的长为2a,则 在Rt△ABC中, 因为CD=CB,AE=AD,所以, 则AE= 所以m的值为 故选 A. 6. C ∵ AB =AC,∠BAC = 36°,∴ ∠ABC = ∠ACB = 由 题 意 得 CP 平 分 ∠ACB, 36°,∴AE=CE,∵∠CEB=∠A+∠ACE=72°, ∴∠ABC=∠CEB,∴CB=CE,∴AE=CE=CB, ∵△BCE和△ABC均为顶角为36°的等腰三角形, .△BCE∽△BAC,∴BEC=BCAB, ·BC²=BE·AB,∴AE²=BE·AB,∴.点 E 为线段AB的黄金分割点， 综上知A、B、D中结论正确，不符合题意，C中结论不正确，符合题意，故选 C. $$