第22章 二次函数——“三角形”存在性问题 专项训练 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

二次函数22.1专题3：“三角形”存在性问题2025-2026学年人教版九年级上 册 1.(24-25九年级上·四川绵阳·期末)我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线. 脊 31 1 -4-3-2-1012345 -21 -3 -4 -5 (1)请在给定的坐标系中画出二次函数y=x2-2x-3的图象. (②)观察图象，当x<-1时，y的范围是 ,当y<0时x的范围是 (3)设二次函数的顶点为M,在x轴上是否存在点P,使三角形OPM是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标， 若不存在，请说明理由. 2.（2025陕西西安·二模)在平面直角坐标系中，抛物线L:y=ax2+bx+3过点A(-1,0),与y轴交于点C,对称轴 为直线x=1. (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线L',使其经过原点.若在第二象限的抛物线L'上存在点P,使△PAC 为等腰直角三角形，请求出抛物线L'的表达式. 试卷第1页，共3页 3.(24-25九年级上·重庆大足·期末)如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(-5,0)和点B,交y轴于点C(0,-5) 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q,当PQ最大时，在抛物线对称轴上找一 点M,使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标： (③)若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P,使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若 不存在，请说明理由， 4.(24-25九年级上·吉林四平.期末)如图，直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线 y=-x2+bx+c经过A,B两点，点E(m,0)是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合)，过点E作ED⊥x轴， 交直线AB于点D,交抛物线于点P,连接PB, B 试卷第1页，共3页 B两点，将抛物线C向右平移4个单位长度得到的抛物线C,与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧). :7 D C B\H (1)求点B的坐标和抛物线C,的函数解析式： (2)记抛物线C,的对称轴1与x轴交于点H,在直线1上是否存在点E,使得以点B、D、E为顶点的三角形是等腰 三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由， 7.（24-25九年级上·黑龙江·阶段练习)如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B,与y轴交于 点C,其中A3,0),C(0,3). A (1)求二次函数的解析式： (2)若点P在二次函数图象上，且S4O=6,求点P的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，△ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标. 试卷第1页，共3页 8.(24-25九年级上江西南昌·期中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B左边），与y轴 交于点C,直线y=x-3经过B,C两点，点P是抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式： (2)当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值； (3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A',连接AC,A'F,当△FA'C是直角三角形时，直接写出点F 的坐标 9.(24-25九年级上·上海崇明阶段练习)己知：抛物线y=ax2-4ax+4a开口向上，顶点为A,与y轴交于B点， 0B=20A. (I)求点A、点B的坐标. (2)在抛物线上是否存在一点C,使ABC是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请 说明理由. 试卷第1页，共3页 10.(24-25九年级上·云南普洱·期末)抛物线y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴 交于点C. (1)求A,B两点的坐标； (②)点D是抛物线在第一象限上的动点，作DE∥x轴，交抛物线于另一点E,作点D关于y轴的对称点F,求线段 EF的长； (3)若点D是抛物线的顶点，是否存在实数a,使得△BCD是直角三角形？若存在，求出实数a的值；若不存在， 请说明理由 11.(24-25九年级上·青海海东·期末)如图，二次函数的图象和x轴交点A(1,0),B(3,0),和y轴交点C(0,3). y个 3 C A B 八24衣 D ()求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数的顶点D的坐标； (3)该二次函数图象对称轴上是否存在点P,使△PAC是以AC为斜边的直角三角形，若存在，求出P的坐标，若不 存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 12.(24-25九年级上·新疆伊犁期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(1,0),B(-3,0)两点 备用图 (I)求a、b的值， (2)若点D为抛物线上一动点，△ABD的面积为10时，求点D的坐标. (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标 试卷第1页，共3页 综上，P成2或0或i0. 【点晴】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到两点之间的距离公式，等腰三角形的性质， 函数作图，解不等式等，分类求解是解题的关键， 2. a-b+3=0 【详解】(1)解：由题意，得 b =1’ 2a a=-1 解得b=2’ .抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)解：当x=0时，y=3, .C(0,3),则0C=3, :A(-1,0), .0A=1, 由平移后抛物线过原点，可设表达式是y=-x2+mx,分三种情况： ①当PC为等腰直角三角形PAC的斜边，如解图①所示，作P2⊥x轴于点Q, :∠PAC=∠AOC=90°， 图① ∠PA9+∠CA0=90°，∠CA0+∠AC0=90°， .∠PAQ=∠AC0. 又∠PQA=∠AOC,PA=AC, △P2A≌△A0C(AAS), .P2=0A=1,A9=0C=3, ∴.OQ=AQ+0A=4, 答案第1页，共2页