第5章 一元一次方程(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

第五章一元一次方程 5.1方程 5.1.1从算式到方程 第1课时方程 知识梳理 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式， 这样的等式叫作方程. 当堂练习 1.下列式子中，是方程的是 A.2x-5≠0 B.2x=3 C.1-3=-2 D.7y-1 2.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x,则可得到方程 A.3x-2x=10 B.3x+2x=10 C.3x=2×10 D.3x=2x-10 3.一个正方形花圃的边长增加2m,所得新正方形花圃的面积是28m,则原正方形花圃 的边长是多少？设原正方形花圃的边长是x,可列方程为 第2课时一元一次方程 知识梳理 ①一般地，使方程左、右两边的值 的 的值，叫作方程的解.求方程的解的 过程，叫作解方程 ②一般地，如果方程中只含有 个未知数（元），且含有未知数的式子都是 未知数的次数都是 ,这样的方程叫作一元一次方程. 当堂练习 1.下列方程中，是一元一次方程的是 A.x+y=5 B.x2=5 C.x=5x+2 1 D.x+1=5 2.如果3xm+8=6是关于x的一元一次方程，那么的值为 3.若关于x的方程2x+a十5=0的解是x=1,则a的值为 4.在课外活动中，张老师发现同学们的年龄都是13岁，就问同学们：“我今年45岁，几年以 后，你们的年龄是我的年龄的？”（只列方程） ·28· 5.1.2等式的性质 知识梳理 ①等式的性质1：等式两边 ,结果仍相等.即如果a=b,那么 a士c= ②等式的性质2：等式两边 ,结果仍相等.即如果a= b,那么ac= 一：如果a=b,c≠0，那么名- ③解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=(常数)的形式. 是 转化的重要依据. ④一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程 ,看这个值能否使方 程左、右两边的值 当堂练习 1.若x=y,则下列变形错误的是 ( ) A.x十a=y+a B.x-a=y-a C.2x=2y D.=1 2.若3a=2b十5，则下列等式不一定成立的是 ) A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6 C.3ac=2bc+5 3.等式x一3=y一2的两边 得到x=y+1. 4.已知6a+8b=2b+6060,利用等式的性质可求得a十b的值是 5.利用等式的性质解下列方程： (1)-3.x+9=3; (2)-3x-1=4+号 ·29· 5.2解一元一次方程 第1课时利用合并同类项解一元一次方程 知识梳理 ①在解方程中，有时需要把几个含有相同未知数的项合并成一项.合并同类项解方程时， 应注意各项系数包括前面的符号， ②“合并同类项”的依据是乘法对加法的分配律，“系数化为1”的依据是等式的性质2. 当堂练习 1.对于方程2y十3y一4y=1,合并同类项正确的是 A.y=1 B.-y=1 C.9y=1 D.-9y=1 2.下列解方程的结果正确的是 A.方程4=3.x-4x的解为x=4 B方程一多-3x=号-1的解为x=专 C方程32=8x一4女的解为x=日 D.方程1-4=弓x的解为x=-9 3.若关于x的方程3x一2m=4的解是x=m,则m的值是 4.一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，且个位数字与十位数字的和为12，则 这个两位数是 5.解下列方程： (1)3x-5x=-6+2; 2)-+2： (3)16x-3.5x-6.5x=7-(-5); (4)0.4x十0.5x-0.2x=-4+1.9. ·30· 第2课时利用移项解一元一次方程 知识梳理 ①移项：把等式一边的某项 后移到另一边，叫作移项.移项的依据是 .注 意：在等号同侧的移动不是移项，移项要改变符号.解方程时，通常把含有未知数的项移 到方程的左边，不含未知数的项（常数项）移到方程的右边，然后再合并同类项，最后将 系数化为1. ②在实际问题中，应找到同一个量的两种不同表示方法.“ 是一个基本的相等关系. 当堂练习 1.下列方程变形中的移项正确的是 A.由5.x=x-3,得5.x-x=-3 B.由7十x=3,得x=3十7 C.由2x+3-x=7,得2x+x=7-3 D.由2x-3=x+6,得2x十x=6+3 2.方程2x一1=3x+2的解为 ( A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 3.当m的值为 时，关于x的方程3x一2m=5x十m的解是x=3. 4.甲厂库存钢材100t,每月用去15t;乙厂库存钢材82t,每月用去9t.设经过x个月后， 两厂剩下的钢材相等，则x的值为 5.解下列方程： (1)3x-2=2x+1; (2)5x+5=8x-2x+2; (3) 3 52 2 一x= 63x (4) r+-+=2 ·31· 第3课时利用去括号解一元一次方程 知识梳理 解含有括号的一元一次方程的一般步骤：(1) ;(2) ;(3) (4)系数化为1. 当堂练习 1.将方程2x一3(4一2x)=5去括号，正确的是 A.2x-12-6x=5 B.2x-12-2x=5 C.2x-12+6x=5 D.2x-3+6x=5 2.若式子2(3x-5)与式子6-(1-x)的值相等，则x的值是 A.8 B.3 C.2 3.一个书架宽88c,某一层上摆满了七年级的数学书和语文书，共90本，小丽量得一本 数学书厚0.8cm,一本语文书厚1.2cm,则这层书架上数学书有 本，语文书有 本. 4.若方程3(3x十3)一1=2x的解与关于x的方程7x十m=5的解相同，则m的值为 5.解下列方程： (1)2(x+1)=x-(2x-5); (2)5(x-2)=6(受-3)： (3)1-81+0.5x)=3(1-2x); (4)6(2x-2)+2x=7-(3x-1). ·32· 第4课时利用去分母解一元一次方程 知识梳理 ①去分母的方法：依据等式的性质2，方程两边的每一项都要乘分母的 ,将分 母去掉 ②解一元一次方程的一般步骤包括： 等.通过这些步骤，可以使以x为未知数的一元一次方程逐步转化为x= m的形式.这个过程主要依据 和 等. 当堂练习 1.将方程士2+1=专去分母，正确的是 A.3(x+2)+12=4x B.12(x+2)+12=12x C.4(x+2)+12=3x D.3(x十2)+1=4x 2.某工厂计划每天烧煤5t,实际每天比计划少烧2t.若mt煤实际比计划多烧了20天， 则m= 3.解下列方程： 安=1： (2)5-10x-21_3x 5 10 (3) (3x-6)=号-3 2x-7_3x-14=1. (4) 3 4 ·33· 5.3实际问题与一元一次方程 第1课时配套问题与工程问题 知识梳理 ①配套问题中配套的物品之间具有一定的 ,这可以作为列方程的依据 ②工程问题中常常把总工作量看作 ,并利用“工作量= ”的关系考虑问题. 当堂练习 1.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.若设安排x名工人生产螺钉，则下面所 列方程正确的是 A.2×1000(26-x)=800x B.1000(13-x)=800x C.1000(26-x)=2×800x D.1000(26-x)=800x 2.某土建工程需动用15台机械，每台机械每小时能挖土3m3或者运土2m3,为了使挖土 和运土工作同时开始，同时结束，安排了x台机械运土，则x应为 A.9 B.6 C.15 D.10 3.9人14天完成一件工作的号，而余下的工作需在4天内完成，假设每个人的工作效率相 同，则需增加的人数是 A.11 B.12 C.13 D.14 4.抄写一份材料，甲单独完成需要16min,乙单独完成需要20min.如果一份材料，甲抄写 6min后，乙接着抄写，乙还需要抄写 min才能完成这份材料， 5.某项工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需24天，乙队单独完成需16天.如果先由甲 队做5天，然后两队合作，问再做多少天可以完成全工程的？ ·34· 第2课时销售中的盈亏问题 知识梳理 商品销售和利润问题中的关系式： (1)商品利润=商品售价一商品成本价（商品进价）； (2)商品利润率=商品利润×100%： 商品成本 (3)商品销售额=商品销售价X商品销售量； (4)商品的销售利润=（销售价一成本）×销售量. 当堂练习 1.一件衬衣，如果卖150元，可以赚50%.如果卖120元，可以赚 ( A.15元 B.30元 C.25元 D.20元 2.把一批上衣按进价提高50%后作为售价，因打六折促销，售价相应调整为90元，则打折 后每件上衣 A.赚20元 B.赚10元 C.亏20元 D.亏10元 3.某款服装每件的进价为120元，每件的标价为x元，商店对这款服装推出“买两件，第一 件原价，第二件打六折”的促销活动.若按此促销方式销售两件该款服装，商店仍获利48 元，则x的值为 4.一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本20元. 如果按标价的八折出售，将盈利40元. (1)每件服装的标价是多少元？ (2)为保证不亏本，最多能打几折？ ·35· 第3课时球赛积分表问题与图表信息问题 知识梳理 ①球队积分：一支球队经过一个赛季的比赛，其成绩是由它的积分决定的，积分越多，名次 就越高。 ②比赛总场数=胜场数十负场数十平场数；比赛总积分=胜场积分十负场积分十平场 积分. 当堂练习 1.某校七年级11个班开展篮球单循环比赛（每班需进行10场比赛）.比赛规则规定：每场 比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场扣1分.已知七(2)班在所有的比赛中共得14 分.若设该班胜x场，则x应满足的方程是 A.3x+(10-x)=14 B.3x-(10-x)=14 C.3x+x=14 D.3x-x=14 2.小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分， 答错或不答一道题扣2分.若小明得了94分，则小明答对的题数是 A.17 B.18 C.19 D.20 3.如图①是一个数表，现用图②的正方形在数表中任意框出(a,b,c,d)4个数，则当a+b+ c十d=72时，a的值为 45678 9101i11213 1415161718 1920212223 fa b 2425262728 ledi 图① 图② 4.在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间只比赛一场）中，规定胜一场记3分，平 一场记1分，负一场记0分.某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果总积 分为18分，问该队战平几场？ ·36· 第4课时方案选择问题 当堂练习 1.现有A,B两款通讯套餐，收费标准为A款通讯套餐月租15元，每月来电显示费3元， 通话费每分钟0.2元；B款通讯套餐月租与来电显示免费，每通话1in收费0.4元.若 分别使用两款通讯套餐，在月通话时间、话费分别相等的情况下，设通话时间为xmin, 则下列方程正确的是 A.3+0.2x=0.4x B.15+0.2x=0.4.x C.15+3+0.2x=0.4x D.15+0.2x=3+0.4x 2.育才中学组织七年级师生去春游，如果单租45座客车若干辆，那么刚好坐满；如果单租 60座的客车，那么少租一辆，且余15个座位.已知一辆45座客车的租金为每天250元， 一辆60座客车的租金为每天300元. (1)求参加春游的师生总人数； (2)单租哪种客车省钱？ (3)如果同时租用这两种客车，那么两种客车分别租多少辆最省钱？ ·37·当堂练习 1.D2.-143.274.解：(1)原式=2十9+(-4)+(-1)=2+9-4-1=6：(2)原 式=-1-(3x号-专÷4)=-1-（-3×-青×号)=-1（青-3） 1-()=1+号=号 2.3.2科学记数法 知识梳理 大于或等于1小于10正整数 当堂练习 1.C2.C3.(1)1000000(2)3140(3)141400(4)-173200004.解：(1)3× 10*×3×102=9×105(m),9×105m=9×102km.答：1光年约是9×1012km:(2)3× 10m/s=1.08×10°km/h,1.08×10°÷1000=1.08×10.答：光的速度是这架飞机速 度的1.08×10倍. 2.3.3近似数 知识梳理 ②精确度 当堂练习 1.C2.B3.D4.百万5.解：(1)2.715≈2.72；(2)561.43≈561；(3)249050≈2.5 ×105. 第三章代数式 3.1 列代数式表示数量关系 第1课时代数式的概念 知识梳理 ①数字母②数字母 当堂练习 1.A2.A3.D4.A5.mn 第2课时列代数式 知识梳理 列代数式 当堂练习 1.B2.B3.(1)(80m+60n)(2)(2a-20) 第3课时成反比例的量 知识梳理 ①一定成反比例反比例②xy=k 当堂练习 1.C2.y=100 3.xy=20反比例 3.2代数式的值 第1课时求代数式的值 知识梳理 数值代数式的值 当堂练习 1.C2.A3.A4.5680156.85.解：(1)当a=6,b=-2时，a2+2ab+b=6 +2X6X(-2+(-2)=162当a=6,6=-2时，22-6.22=-号 ab 6×(-2) 第43页（共48页） 第2课时用公式表示数量关系 当堂练习 1.解：草地的面积为4×千π=；空地的面积为ab-πr.2.解：(1)280h; (2)280h:3)( 280- v+10 0)k3解：1)窗户的面积s=(6十合的)m: (2)当a=80.6=60时，S=4X80X60+2×3.14×60:=24852(cm).因此，窗户的面 积为24852cm2. 第四章整式的加减 4.1整式 第1课时单项式 知识梳理 ①数字母②数字目和 当堂练习 x是 1B2D3一号5475解：-号b是单项式，系数是-号，次数是4： 单项式，系数是2，次数是13xy是单项式，系数是3，次数是2. 第2课时多项式及整式 知识梳理 ①单项式 单项式常数项②次数最高的项③单项式多项式 当堂练习 1.C2.D3.- + 号4.解：由题意，得2十m十1=6，解得m=3,又因为单 产y"的次数也是6，所以3a+5-3=6,解得a=亭.5.解：根据题意，得a 3 项式一 -2=0,b+1=0,解得a=2,b=-1.所以3a十8b=3×2+8×(-1)=6-8=-2. 4.2 整式的加法与减法 第1课时合并同类项 知识梳理 ①字母字母相同同类项②合并同类项系数的和不变 当堂练习 1.C2.D3.B4.65.a6.解：原式=(2-1)x2+(1+1)xy+(3-2)y2=x2+ 2xy+y.当x=2,y=1时，原式=2+2×2×1+12=4+4+1=9. 第2课时去括号 知识梳理 相加 当堂练习 1.C2.D3.8a十2b4.105.解：(1)原式=5m+2m-4n=7m-4;(2)原式=4ab -6-2a-4ab+2b2=6-2a2.6.解：原式=-3a2+4ab十a2-4a-4ab=-2a2 4a.当a=-2时，原式=-2×(-2)2-4×(-2)=-8十8=0. 第3课时整式的加减 知识梳理 ①先去括号合并同类项 当堂练习 1D2.D3.--6a+34(号m-号列295郎：1原式=-8y+6+5-2 第44页（共48页） =-3y十4：(2)原式=3-1十x十1-x-x2=-x2十3.6.解：原多项式整理为(6m 1)x2十(4n十2)xy十2x十y十4.由题意，得6m-1=0,4n十2=0，所以6m=1,4n=-2, 所以6m十4n十5=1-2+5=4. 第五章一元一次方程 5.1方程 5.1.1从算式到方程 第1课时方程 当堂练习 1.B2.A3.(x+2)2=28 第2课时一元一次方程 知识梳理 ①相等未知数②一整式1 当堂练习 1.C2.13。一74，解：设x年后，同学们的年龄是张老师年龄的子.根据题意，得 13+x= 1(45十x). 5.1.2等式的性质 知识梳理 ①加（或减）同一个数（或式子）b士c②乘同一个数，或除以同一个不为0的数 bc:。自等式的性质0检验相等 当堂练习 1.D2.C3.加34.10105.解：(1)方程两边减9，得-3x十9-9=3-9.化简，得 一3x=一6，方程两边除以-3，得号=二号于是x=2:(2)方程两边诚号，得一号 -1一号=4十号一号x化简，得一号一1=4，方程两边加1，得一号-1十1=4十 4 4 上化简，得一合4=5方程两边降以一吉得一子- 4 4·于是x=-5. 4 5 5.2解一元一次方程 第1课时利用合并同类项解一元一次方程 当堂练习 1.A2.D3.44.395.解：(1)合并同类项，得一2x=一4.系数化为1，得x=2; (2)合并同类项，得一青=-是.系数化为1，得=6(3)合并同类项，得6x=12.系数 化为1，得x=2;(4)合并同类项，得0.7x=-2.1.系数化为1，得x=-3. 第2课时利用移项解一元一次方程 知识梳理 ①变号等式的性质1②表示同一个量的两个不同的式子相等 当堂练习 1.A2.D3.一24.35.解：(1)移项，得3x一2x=1十2.合并同类项，得x=3: (2)移项，得5x一8x十2x=2-5.合并同类项，得-x=一3.系数化为1，得x=3;(3)移 项，得-十子=号是合并同类项，得子：立系数化为1，得=子(4移 项，得号一音=2-号日合并时类项，得一日=号系数化为1，得=-9 第45页（共48页） 第3课时利用去括号解一元一次方程 知识梳理 去括号移项合并同类项 当堂练习 1.C2.B3.50404.135.解：(1)去括号，得2x十2=x-2x十5.移项，得2x十 2x-x=5-2.合并同类项，得3x=3.系数化为1，得x=1;(2)去括号，得5x-10=3x -2.移项，得5x-3x=10-2.合并同类项，得2x=8.系数化为1，得x=4;(3)去括号， 得1-2一4x=3一6x.移项，得一4x十6x=3十2一1.合并同类项，得2x=4.系数化为 1,得x=2:(4)去括号，得3x-12+2x=7-3x十1.移项，得3x十2x十3x=7+1十12. 合并同类项，得8x=20.系数化为1，得x=号 第4课时利用去分母解一元一次方程 知识梳理 ①最小公倍数②去分母去括号移项合并同类项系数化为1等式的性质 运算律 当堂练习 1.A2.1503.解：(1)去分母（方程两边乘6），得2(x十1)-3(x十1)=6.去括号，得 2x十2-3x-3=6.移项，得2x-3x=6十3-2.合并同类项，得一x=7.系数化为1，得 x=一7；(2)去分母（方程两边乘10），得50一2(10x一21)=3x.去括号，得50一20x+42 =3x.移项，得-20x-3x=-50-42.合并同类项，得-23x=-92.系数化为1，得x 4;(3)去分母（方程两边乘30），得5(3x-6)=12x-90.去括号，得15x-30=12x-90. 移项，得15x-12x=30-90.合并同类项，得3x=-60.系数化为1，得x=-20:(4)去 分母（方程两边乘12），得4(2x-7)-3(3x-14)=12.去括号，得8x-28-9x十42= 12.移项，得8x-9x=12十28-42.合并同类项，得-x=-2.系数化为1，得x=2. 5.3实际问题与一元一次方程 第1课时配套问题与工程问题 知识梳理 ①数量关系②1人均效率人数时间 当堂练习 1.C2.A3.B4.12.55,解：设再做z天可以完成全工程的号根据题意，得× 5十（分十）：=冬解得=4答：再微4天可以完成全工程的营 第2课时销售中的盈亏问题 当堂练习 1.D2.D3.1804.解：(1)设每件服装的标价为x元.根据题意，得0.5x+20= 0.8x一40.解得x=200.答：每件服装的标价是200元：(2)由(1)可知每件服装的成本 为0.5×200十20=120（元）.设为保证不亏本，最多能打y折.根据题意，得200×0.1y =120.解得y=6.答：最多能打六折. 第3课时球赛积分表问题与图表信息问题 当堂练习 1.B2.B3.154.解：设该队负x场，则胜(x十2)场，战平的场数为11一x一(x十2) =-2x十9（场）.根据题意，得3(x十2)十1×(-2x十9)十0×x=18.解得x=3.所以 -2x十9=-2×3+9=3.答：该队战平3场. 第4课时方案选择问题 当堂练习 1.C2.解：(1)设单租45座客车x辆.根据题意，得45x=60(x一1)一15.解得x=5. 第46页（共48页） 所以45x=45×5=225.答：参加春游的师生总人数为225；(2)单租45座客车的租金为 250×5=1250(元)，单租60座客车的租金为300×4=1200（元）.因为1200<1250， 所以单租60座客车省钱：(3)由(2)，得单租60座客车需4辆，所以同时租用这两种客 车，分以下三种情况讨论：①租60座客车3辆，此时225一60X3=1,则需45座客车1 45 新，瓶金为30X3十250=150（元，②粗60库客车2辆，此时2580X2=子，则需 45 45座客车3辆，租金为300×2+250×3=1350（元）：③租60座客车1辆，此时 25660=号，则需45座客车4辆，租金为300X1+250×4=1300(元).因为1150< 45 1300<1350,所以租60座客车3辆，45座客车1辆最省钱. 第六章几何图形初步 6.1几何图形 6.1.1立体图形与平面图形 第1课时认识立体图形与平面图形 知识梳理 ①形状大小位置②儿何图形③立体图形平面图形 当堂练习 1.D2.C3.①③④⑤⑦⑧②⑥4.解：由圆柱，长方体、三棱柱组成. 第2课时从不同方向观察立体图形及立体图形的展开与折叠 知识梳理 ①前面左面上面 ②平面图形平面图形 当堂练习 1.C2.D3.C4.A5.解：如图 2 (答案不唯一，相对面上的两个数 108-10-8 -2 都互为相反数即可) 6.1.2点、线、面、体 知识梳理 ①线面体②点线面体 当堂练习 1.D2.线动成面3.面动成体4.解：(1)图①能折叠成一个正五棱锥，有10条棱， 侧棱的长度都相等，底面上的五条棱的长度相等；图②能折叠成一个正五棱柱，有15 条棱，上下底面上的棱的长度都相等，侧棱的长度都相等；(2)图①折叠成的正五棱锥 有6个面，侧面是5个等腰三角形，底面是1个正五边形，5个侧面的形状、大小完全相 同.图②折叠成的正五棱柱有7个面，侧面是5个长方形，底面是2个正五边形，5个侧 面的形状、大小完全相同，2个底面的形状、大小完全相同. 6.2直线、射线、线段 6.2.1直线、射线、线段 知识梳理 ①两点确定一条直线②小写字母两个点③相交交点④直线 当堂练习 1.B2.C3B4.两点确定一条直线5.解：(1)如图所示； (2)点A, 点B在直线！上，点P在直线1外 第47页（共48页） 6.2.2线段的比较与运算 知识梳理 ①长度一个端点②两点之间，线段最短③长度④中点 当堂练习 1.D2.A3.-14.15.解：因为点M,N把线段AB三等分，点C为BN的中点， 所以AM=MN=BN=号AB,CN=BC=BN,所以CM=MN+CN=专AB+ 合BN=吉AB+号×号AB=名AB.又因为CM=6cm,所以AB=12cm 1 6.3角 6.3.1角的概念 知识梳理 ①公共端点射线公共端点射线③度分秒3601806060④正北 正南 当堂练习 1.C2.D3.北偏东50°4.105°5.解：(1)∠A,∠C:(2)∠ABE,∠ABC,∠CBE; (3)图中共有7个小于平角的角，分别是∠ABE,∠CBE,∠ABC,∠A,∠C,∠AEB, ∠CEB. 6.3.2角的比较与运算 第1课时角的比较与角的和差运算 知识梳理 度数另一条边的位置 当堂练习 1.D2.C3.>4.11610'5.解：因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2=2∠A0C, ∠3=∠00E所以∠B0D=∠2+∠3=合∠A0C+号∠C0E=合（∠A0C+ 1 ∠C0E)=号∠A0E.因为∠A0E=128,所以∠B0D=号×128°=64. 第2课时角平分线与角的运算 知识梳理 顶点相等射 当堂练习 1.D2.15°3.140°4.22°5.解：因为OE是∠AOB的平分线，∠AOB=90°，所以 ∠B0E=号∠A0B=号X90°=45.又因为∠B0D=70,所以∠DOB=∠B0D- ∠BOE=70°-45°=25°.因为OD是∠BOC的平分线，所以∠BOC=2∠DOB=50°， 6.3.3余角和补角 知识梳理 ①余角互余②补角互补目相等④相等 当堂练习 1.B2.A3.130°4.60°5.解：因为∠AOB=114°，OF是∠AOB的平分线，所以 ∠A0F=方∠A0B=合×1=57.因为∠A0E和∠AOF互余，所以∠AOE+ ∠AOF=90°，所以∠AOE=90°-∠AOF=90°-57°=33°，所以∠BOE=∠AOE+ ∠A0B=33°+114°=147°. 第48页（共48页）