专题02 相似三角形中（双）8字型的四种模型（高效培优专项训练）数学湘教版九年级上册

专题02 相似三角形中（双）8字型的四种模型 目录 题型一：“8”字模型 1 题型二：反“8”字模型 6 题型三：平行双“8”字模型 9 题型四：“A”字模型与“8”字模型综合 13 题型一：“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，，，垂足分别为、，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证明，再根据对应边成比例判断即可． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 故选：D． 2．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．由得到，进而根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，相交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 4．（2025·江苏徐州·二模）如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则到与到的距离比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设，则，根据平行四边形的性质可得，，，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：， 设，则， 在平行四边形中，，，， ， 的角平分线交于， ， ， ， 同理可得：， ， ， △△， ， 到与到的距离比是 故答案为：． 5．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 6．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到边和边的平行关系，进而推出相似三角形，再利用相似三角形的性质得到对应边成比例，从而完成证明． （2）先求出的长度，再结合平行四边形的性质得到的长度，接着依据（）中得到的比例关系列出等式，求解得出的长度，最后用减去得到的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，，， ∴， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ 由（1）知 ∴ ∴ ∴ 题型二：反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 5．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，对顶角相等，由，，则，所以，然后代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，线段、相交于点，，若，，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】由，求得，由，，证明∽，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】解：线段、相交于点，：：， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得或不符合题意，舍去， 故答案为：． 3.如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 4.如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 5．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三：平行双“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 1．（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 由得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴． 故选：C． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，若平行于，为中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据为中点，，得到，，然后根据，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：设， 为中点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，的顶点A是线段的中点，，连接、，分别交、于M、N，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知，，从而有，，结合，推出，，结合，推出，根据相似三角形对应角相等，可知，从而得证． 【详解】证明：点A是线段的中点， ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 4.如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 题型四：“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC，形成△ADE与△ABC）；8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD，AD与BC相交于点O，形成△AOB与△COD），均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/AC=DE/BC，8字模型中AO/OD=BO/OC=AB/CD，可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对边平行+交点）模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比例式的灵活转换（如交叉相乘）。 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点分别在边上，交于点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线截线段成比例定理和相似三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解题的关键． 根据平行线截线段成比例定理得到比例式以及利用相似三角形的判定定理得出、、，再根据相似三角形的性质得出比例式并进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； D．不能证明，故D错误，符合题意． 故选D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，，，相交于O，，，则线段的长为（　　） A．6 B．10 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，首先由证得，应用相似三角形对应边的比相等得，再由证得，得到，求得的长，进而求得的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：A． 3．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（　　） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二元一次方程组的应用．设，，，证明和，得到①，②，据此求解即可． 【详解】解：设，，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，①， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴②， 解①②得，， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，和相交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，利用相似三角形的性质可，再证明可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·广东深圳·二模）如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由菱形的性质得，，则，，所以，则，而，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·陕西榆林·三模）如图，在矩形中，，，点，分别为、的中点，、相交于点，过点作，交于点，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，根据题意得，，由进一步得到，由勾股定理求得，由题意得得到对应线段成比例即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（2025·湖南永州·二模）如图，在中，为对角线，过点B作交于点E，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形性质，结合相似三角形的判定得到，由相似比变形即可得证； （2）由题中条件，结合相似三角形的判定得到，再由相似三角形的性质得到，根据四边形是平行四边形，由矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 8．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．证明出与全等以及与相似是解决本题的关键． （1）根据角边角的证明方法证明与全等，由全等可得，再由平行可得相似，再由相似的性质可得边成比例； （2）根据（1）中结论由全等可得，再由相似可得，根据边的关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又， 在与中， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 又， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，即， 由（1）知，， ∴， 即， 即， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 9.如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形中（双）8字型的四种模型 题型归纳 目录 题型一：“8”字模型1 题型二：反“8字模型 ..6 题型三：平行双“8”字模型.9 题型四：“A字模型与“8字模型综合. .13 题型专练 题型一：“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两 个三角形相似. D “8”字棋型 条件：如图1，ABCD:结论：△AOB一△COD===. 1.(25-26九年级上·上海课后作业)如图，AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为B、D,则下列各式中正 确的是() 0 B A. ECBD B.AC=BC AC BC AC DC AE DC c焉瓷 D. EC DC 2.(24-25九年级下·云南昆明阶段练习)如图， S4B腿的值 40C0'AGn交于点E若铝方则 为() 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4. B.3 c.4 D.g 3.(25-26九年级上·全国·期中)如图，AB∥CD,AD,BC相交于点E,若AE:DE=1:2,AB=2.5,则CD 的长为一 D 4.(2025江苏徐州二模)如图，平行四边形ABCD中，AB:BC=3:2,∠BAD和∠ABC的平分线交 CD于E、F两点，AE、BF交于点G,则G到DC与G到AB的距离比是一 D B 5.如图，已知：AB⊥BC,CDLBC,垂足分别为B、C,AC与BD交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足 为F. D EFEF ()求证：ABCD =1 (2)连接AF、DF,求证：EF平分∠AFD. 6.(24-25九年级上·江苏常州阶段练习)如图，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点，AB与 DE相交于点F. E B C F D 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EC DA (1)求证： CD AF (2)若BE=2,BC=3,CD=4,求BF的长. 题型二：反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两 个三角形相似. C 反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D:结论：△AOB一△DOC===. 5.(2025·浙江嘉兴二模)如图，线段AD,BC交于点E,连接AB,CD.若∠A=∠C,AE=2, BE=3,DE=5,则CE的长为() C D 6 A.5 5 B.2 c.号 2.(24-25八年级下山东泰安·期中)如图，线段AD、BC相交于点O,∠A=∠C,若AD=5,OD=2, C0:OB=1:4,那么BC的长为一· A 3.如图，BD、AC相交于点P,连接BC、AD,且∠I=∠2，AD=3,DP=2,CP=1,求BC的长， B 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图∠ADE=∠ACB,BD=10,CE=6,CF=3, D (I)求证：△DBF∽aCEF: (2)求DF的长. 5.(2425九年级下·安徽合肥开学考试)如图，点D,C分别在AB,AE上，BC交DE于点F, ∠ADE=∠ACB,BD=8,CE=4,CF=2. D (I)求证：△BDF∽△ECF: (2)求DF的长. 题型三：平行双“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两 个三角形相似。 AE BE AB 平行双“8”字模型 条件：如图3，ABCD:结论：DF CF CD 1.(2025江苏南京·三模)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,过点O的直线与AB,CD分别相交 于点E,F,若AB=2,CD=4,则下列关系正确的是() 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. A01 C.FO-2 AD 1 C0-2 D. BC2 2.(2025·上海杨浦·模拟预测)如图，若AE平行于BF,D为EF中点，DF=3GD,则AG:BG=」 E G 3.(24-25九年级上·陕西榆林期中)如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC,连接PC、 QB,分别交AB、AC于M、N,连接MN,求证：NM∥BC. M 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点，连结DE,BD,CE,CE分别与AD, BD交于点F,G. D E A (1)若BE=3CD,BC=12,求AF的长. (2)求证：GC2=GF.GE. 题型四：“A”字模型与“8”字模型综合 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC,形成 △ADE与△ABC)；8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD,AD与BC相 交于点O,形成△AOB与△COD),均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/ACDE/BC,8字模型中AO/ OD=BO/OCAB/CD,可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对 边平行+交点)模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比 例式的灵活转换（如交叉相乘）。 1.(2025·黑龙江哈尔滨三模)如图，点D,F,E分别在边BC、AB、AC上，DE∥AB,DF∥AC,BE交FD 于点G,则下列说法错误的是() B AFEG FG BG A. AB BE B.GDGE FG DG AF AE C. AE EC D.BFEC EO 2 2.(2025~黑龙江哈尔滨一模)如图，DE∥BC,BD'CE相交于0，C0方，AB=4则线段E的 长为( ) B A.6 B.10 C.8 D.7 3.(2025河南周口一模)如图，在ABCD中，DG:GC=1:2,连接BG并延长交AD的延长线于点F, 交对角线AC于点E,若GE=4,则BF的长为() E B 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.15 B.18 C.21 D.24 4.(24-25九年级下·辽宁抚顺：阶段练习)如图，已知DE∥BC,CD和BE相交于点O, AE S.0=9:25,则EC一 D E B 5.(2025广东深圳二模)如图，在菱形ABCD中，点G是边CD上一点，连接AG并延长，交对角线于 BF 点F,交边BC的延长线于点E'若FG=GE'则DF的值为一· G B 6.(2025陕西榆林三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,点E,F分别为BC、CD的中点， BF、DE相交于点G,过点E作EH∥CD,交BF于点H,则线段DG的长度为一 G B 7.(2025湖南永州·二模)如图，在口ABCD中，AC为对角线，过点B作BE⊥AC交AC于点E,交AD 于点F,交CD的延长线于点G. G B (I)求证：GF.CG=DG·BG: 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如果AB=BE·BF,求证：四边形ABCD是矩形 8.(24-25九年级上·安徽宣城阶段练习)如图，CE是△ABC的边AB上的中线，AG∥BC交CE的延长 线于点G,AD是∠BAC的平分线，AD与CE相交于点F. G E B D BC AF (1)求证： DC FD AD 2EC (2)求证： FD FC 9.如图，AC是口ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长BF交CD的延长线 于点G. G F D B (I)若∠ABF=∠ACF,求证：△ECF∽△EGC. (2)若DG=DC,BE=6,求EF的长. (3)在(2)的条件下，若S△Br=3,求S四边形cDFE 8/8