专题01 相似三角形中（双）A字型的三种模型（高效培优专项训练）数学湘教版九年级上册

专题01 相似三角形中（双）A字型的三种模型 目录 题型一：“A”字模型 1 题型二：反“A”字模型 7 题型三：同向双“A”字模型 14 题型一：“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 　 “A”字模型 条件：如图，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知如图，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据得到；根据得到，得到 ，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点D在的边上，交于点E．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据得代入解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，点D，E分别在和上，且，若，，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据题意易证，得，即可求解，掌握相似三角形的判定方法及性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，则， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（2025·浙江杭州·二模）如图，在，点D，E分别在边上，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，中，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比相等是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出的长． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 6．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点D、E分别在的边、上，且． (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，正方形的四个顶点都在的边上．    (1)求证：； (2)若正方形的边长是，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． （1）先由正方形得到，再由互余关系证明，即可证明相似； （2）由求出，再由线段和差计算即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ∴ ∵ ， ， （2）解：， ， ，， ， 解得， （）． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形．顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． (1)求的长及的值； (2)直接写出的长及的值； (3)猜想的值，并直接写出的长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）先证明，设正方形边长为x，求出，即可求出； （2）同（1）方法证明即可； （3）找出规律作答即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设正方形边长为x，则 即 解得：， ∴， ∴； （2）解：同（1）可知， 设正方形边长为y，则， 即， 解得， ∴ ∴； （3）解：， …… 题型二：反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 1．（2025·贵州遵义·二模）如图，已知且．若，则值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·云南玉溪·二模）如图，在中，，是上一点，交于点，若，则（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明得到，即，据此代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖南·期末）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，点D、E分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．由，，根据相似三角形的判定得到，根据相似的性质得，然后把三角形面积代入计算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为16， ∴的面积， ∴，而， ∴． 故答案为． 5．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，D，E分别是的边，上的点，且．如果，，，那么的长等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．先证明，然后利用相似比计算的长． 【详解】解：．， ， ，即， ． 故答案为2． 6．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，，是边上一点，，过点的直线将分成两部分，使所分成的三角形与相似．若直线与另一边的交点为点，则的长为 ． 【答案】2或或3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分三种情况讨论，即，，．由相似三角形的性质分别求解． 【详解】解：如图1，若，则． ． ． ． 如图2，若，则． ． ． 如图3，若，且， 则． ． ． ． 故答案为：2或或3 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点D，E分别为，边上两点，且，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知可得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，D，E分别是，上的点，，，，，求的长． 【答案】2 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，由，，得，则，证明是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是2． 9．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由补角性质可得，进而即可求证； （）由得，进而根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 题型三：同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 同向双“A”字模型 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 1．如图，，，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，再由得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：5． 2．如图，在中，，高，矩形的边在线段上，点，分别在边，上，，求的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，推出，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴，， ∵为的高， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴设，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴； ∴； 故选C． 3.如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 5．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 6.如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01相似三角形中（双)A字型的三种模型 题型归纳 目录 题型一：“A”字模型. 题型二：反“A”字模型 .7 题型三：同向双A”字模型14 题型专练 题型一：“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. “A”字模型条件：如图，DE‖BC;结论：△ADE~△ABC=ADAB=AEAC=DEBC 1.24235八年线下江苏苏州阶段练习》已红图0E∥8C,0·则8-() BC D C.2 D.3 2.(24-25九年级上·河南开封期末)如图，点D在ABC的AB边上，DE∥BC交AC于点E.若 AD=2.5,AE=2,EC=4,则BD=() D A.3 B.4 C.5 D.6 3.(24-25八年级下江苏苏州期末)如图，在ABC中，点D,E分别在AB和AC上，且DE∥BC,若 1/7 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC=4, AD 1 DB2 则DE的长是() D E B A.1 B. 4 C.2 D.3 4.(2025浙江杭州·二模)如图，在ABC,点D,E分别在AB,BC边上，DE∥AC,且CE=3BE,则 DE的值为一 A C D B 5.(24-25九年级上湖北十堰期中)如图，ABC中，DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,求BC的长. B 6.(24-25八年级下·黑龙江大庆期末)如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，且DE∥BC. (1)求证：△ADE∽△ABC; (2)已知，AD:BD=2:3,AE=3,求AC的长. 7.(24-25八年级下山东淄博·期末)如图，在ABC中，LA=90°，正方形DEFG的四个顶点都在ABC的 边上 2/7 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B D (1)求证：△BDG∽△FEC; (2)若正方形DEFG的边长是6cm,CE=3cm,求BC的长. 8.(24-25八年级下山东青岛期末)在ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=2,依次作正方形CC,BD, 正方形CCBD2,正方形CC,BD3,,正方形CC B D.顶点C,C2,C,,C,在AC边上，顶点 B,B,B,,Bn在AB边上. C C C3 Ch-L D D2 Ds Bn Bn-1 B3 B2 B B 1)求CB的长及Cg的值， CB (2)直接写出CB2的长 CB的值： CB 猪想C8的值，并直接写出C,B,的长（用合n的代数式表示）. CBI 题型二：反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. A E B C 反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE~△ACB=ADAC=AEAB=DEBC 1.(2025贵州遵义二模)如图，已知△ABC△AED且B-2.若SA=1,则Sc值为() AE 3/7 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2025云南玉溪二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E是AB上一点，DE⊥AB交AC于点D,若 4C=+,AE=2,则4E+DE+4D=() AC+BC+AB A.2 B. C.② 2 D.6 2 3.(24-25九年级上·湖南期末)如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发 到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果两 点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是() A.3秒或4.8秒 B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒 4.(24-25八年级下·山东济南·期末)如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C,如 果AE=2,ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，则AB的值为一· 5.(2025辽宁抚顺三模)如图，D,E分别是ABC的边AB,AC上的点，且∠AED=∠B,如果AB=6, AE=3,EC=1,那么AD的长等于 4/7 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B C 6.(2025江西模拟预测)如图，在ABC中，AB=6,AC=8,BC=12,D是BC边上一点，CD=4, 过点D的直线I将ABC分成两部分，使所分成的三角形与ABC相似.若直线1与ABC另一边的交点为 点P,则DP的长为 B C 7.(24-25九年级上全国随堂练习)如图，点D,E分别为AB,AC边上两点，且AD=4,BD=2, AE=2,CE=10.求证：DE·AC=AD·BC. A E D >C 8.(24-25九年级下广东深圳开学考试)如图，在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，LADE=LC ,AB=6,AC=9,DB=3,求AE的长. E B 9.(24-25九年级上·贵州六盘水·期末)如图，点D,E分别是ABC的边AC,AB上的点， ∠B+∠CDE=180°. D B C (I)求证：△ADE∽△ABC; ②若BC=6,AD=2AB,求DE的长. 3 题型三：同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. 5/7 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同向双“A”字模型 条件：如图，EFBC,结论：△AEF△ABC,△AEG-△4BD,△4GF-△4DC。EG_FG-AG BD CD AD 1.如图，ABC,EG∥BC,BD=CD,EF=5,则FG= E B D 2.如图，在ABC中，BC=18cm,高AD=12cm,矩形EFGH的边EF在线段BC上，点G,H分别在 边AC,AB上，EH:EF=I:3,求HG的长度为() D A.4cm B.8cm C.12cm D.16cm 3.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点F,G, 且AD、DF AC CG D (1)求证：AG平分∠BAC; (2)求证： EF DF BG CG 4.(25-26九年级上·上海课后作业)如图，在△ABC中，DE∥BC,交AB于D,交AC于E,F为BC上 的点，05交千G,0-号4E=5, 6/7 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DA G B (0G (2)AC的长. 5.(25-26九年级上·吉林长春·开学考试)如图，在ABC中，DE∥BC,G为BC上一点，连接AG交DE于 点F,F、2 AG 5 ()求D 的值； B (2)当DE=6时，求BC的长度， 6.如图，D,E分别是AC,AB上的点，∠ADE=∠B,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,AD=3,AB=5. G 蝶光的能， (2)求ADE与ABC的周长之比； (3)若ADE的面积为4，求ABC的面积. 7/7