专题04 相似三角形中的动点问题的六种模型（高效培优专项训练）数学湘教版九年级上册

学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题04相似三角形中的动点问题的六种模型 题型归纳 目录 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） .1 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题.13 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题…19 题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题 .25 题型六：相似三角形中的动点探究应用问题 ..41 题型专练 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例1.如图，在ABC中，AB=4cm,AC=8cm,点P从B点出发沿BA方向向终点A以1cm/s的速度移动； 同时，点Q从A出发沿AC方向向终点C以2cm/s的速度移动.设运动时间为t(s，当t=时， ABC与△APQ相似. 》 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA(两角对应相等)、SAS(两边对应成比例且夹角相等)、SSS(三边 对应成比例)判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线 段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如 不同顶点对应)，分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、 动点未超出运动范围)，排除不合理的解。 【变式1-1K24-25九年级上·福建莆田·开学考试)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm 动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以 每秒2cm的速度向点8运动，运动时间为1秒0<1<10 连接MN,若△BMN与ABC相似，求t的值 3 1/12 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为 M B 【变式1-2】(24-25九年级上甘肃兰州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P由点 A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2cms,点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为 1cm/s,如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接P?、PC,设运动的时间为(s)(0≤1≤6).若以Q、A、 P为顶点的三角形与△BPC相似时，则t的值为一， D P B 【变式1-3】(24-25九年级上河北石家庄·阶段练习)如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10, BC=12,有两动点P、Q分别在边AB、BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒 2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动，点Q沿线 段BC按B→C方向向终点C运动.当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 秒，请解答下列问题： B B →9 图1 图2 (1)当t= 时，以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似； (2)当t= 时，△PCQ的面积等于4. 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿 PQ折叠，使点B对应点D恰好落在边AC上，当△APD与ABC相似时，则AP的长为」 2/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成 的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围 (如线段端点、边界位置)，确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E), 分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长 度为正、未超出原线段范围)，排除因计算或对应错误产生的不合理解。 【变式2-1】(2025江苏南京一模)如图，在四边形ABCD中，AB=5,AD=4,CD=0.8, ∠A=∠D=120°，在边AD上有一动点P,若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似， 则AP的长为」 【变式2-2】(24-25九年级上·广东河源·期中)如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O,E是OD的中点，F是边BC(不与B、C重合)上的一个动点，过点E作EG⊥EF,交 CD与G,当△DEG为等腰三角形时，CF的长为一 【变式2-3】(24-25九年级上河南南阳·期末)如图，在等边ABC中，边长为30，点M为线段AB上一 动点，将等边ABC沿过M的直线折叠，折痕与直线AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D处，且 BD:DC=1:4设折痕为MN,则AN的值为__， 3/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B D 【变式2-4】(2024河南开封二模)如图所示，在ABC中，∠A=∠B=45°，AB=16,EF是ABC的中位线， D是边AB上一点，AD=2,P是线段DB上的一个动点，连接EP,DF相交于点O.若△DOP是直角三角 形，则OE的长是 E B 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例3.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,E为AB的中点，P为BC上的一点，连接PD、PE,当 PE+2PD的值最小时，BP= 知识点总结 1.相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含 变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2.最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值 (当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值)。 解题技巧 1.转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利 用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2.结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为 直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 【变式3-1】(2025陕西西安·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=4,BC=2√5， 点D、E分别是AB、AC边上的两个动点，且始终保持AD=CE,连接BE、CD,则当CD+BE取最小值时， AE= 4/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 【变式3-2】(24-25八年级下·山东济南期末)如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E,F分别 是边AB,对角线BD上的动点，且满足EF∥AD,若点G是CE的中点，则线段FG的最小值为 G 【变式3-3】(2025·山东淄博·三模)如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点， 以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG,BE,BG,则BG+BE的最小值 是 E B 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 例4.如图1所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D的路径运动，当点P到达点D时 停止运动.过点P作PQ⊥BP,PQ交AD于点Q,设点P运动的路程为x,DQ=y,己知y关于x的函数 图象如图2所示，当)y时，x的馆为() B 图1 图2 5/12 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2W2 B.4 C.25 D.4.5 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、4AS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高 的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系 转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出 对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应 动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 【变式4-1】(2025·黑龙江大庆·三模)如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上 一动点，设PC=x,PE+PB=y,图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q9的纵坐标为25，则点 Q的横坐标为 D H 图① 图② 【变式4-2】(24-25八年级下·江苏苏州阶段练习)如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是BC边的 中点，P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x,PE与PC的长度和为y,图2是y关于x的函数图象， 其中H是图象上的最低点，则a+b的值为_ 6 b 图1 图2 【变式4-2】(2024山东聊城一模)如图，在ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,点P为线段AB上的 动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止.过点P作PM⊥AC于点M,作 PN⊥BC于点N,连结MN,线段MN的长度y与点P的运动时间t(秒)的函数关系如图所示，则函数图象 最低点E的坐标为· 6/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Y 8 E 10x 题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题 例5.如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边AD上的一个动点，连接CE,将线段CE绕点E按逆时针 方向旋转90°得到线段EF,连接BF交CE于点P. E D A P B 图1 图2 (1)如图1，求证：LDEF=LDCE; (2)如图2，当BF经过点D时，求证：点E是AD的中点； 包当歌=时，职的雀。 知识点总结 1.相似三角形核心知识：包括AA、AS、SSS判定定理，对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于 相似比平方等性质，是解决线段关系、面积计算的基础。 2.几何图形综合性质：需结合三角形、四边形（如平行四边形、矩形)等图形的性质，以及勾股定理、 三角函数、轴对称等知识，形成完整的几何关系网络。 解题技巧 1.分解图形找相似模型：从复杂图形中分离出基本相似模型（如“A型”“X型”），明确动点运动中模型 的变化，通过对应关系建立等式。 2.动态过程分层讨论：按动点位置的临界状态（如与顶点重合、线段端点)分层，结合图形性质分析每 层中相似三角形的存在性，逐步求解综合问题（如线段关系、面积最值）。 【变式5-1】(2425九年级下.北京·开学考试)在ABC中，∠ABC=90°，∠C=a(0°<<45°)，D是 线段BC上的动点（不与点B,C重合），将线段DB绕点D顺时针旋转2得到线段DE· 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B D 图1 图2 (1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：∠AEB=90°； (2)如图2，延长CD至点F,使DF=DC,连接AE,AF,EF,直接写出∠AEF的大小，并证明. 【变式5-2】(24-25八年级下山东东营期末)如图，正方形ABCD的边长是3，E为CD上一动点，将 △ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF(点D的对应点为点B),连接EF. D D M B B 图1 图2 (I)如图1，当DE=1时，EF=- (2)如图2，连接BD交EF于点M, ①求证：M为EF的中点； ②直接写出CE的值是 BM 【变式5-3】(2025九年级上浙江宁波·竞赛)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=3,D 为BC上一点，连结AD,作DE⊥AD,交AB于点E,且DE=BE,动点P从点E出发向点A运动，同时 动点Q从点A出发沿射线4C运动，过程中满足49=4，设AP=,AQ=x. EP E B B 图1 图2 (I)求y关于x的函数表达式. (2)连结PD,QD, ①当∠ADQ与△ADP中的一个内角相等时，AQ的值为 (直接写出答案)； ②如图2，当点Q在线段AC上时，以BD,QD为邻边作平行四边形BDQF,，若PD所在直线平分平行四边 形的面积，△DPE的面积为 (直接写出答案)， 【变式5-4】(2025江苏扬州一模)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E是边BC上一点，且BE=1, 8/12 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点P为边AB上一动点，连接PE,过E作PE的垂线交折线段AD-DC于点Q.连接PO D(O) OD D M B E B E 图1 图2 图3 (1)如图1，当点Q与点D重合时，求PB的长： PE PE ②如图2，当点Q在4D上时，P0是否变化？若不变，请求出P0的值，若变化，请说明理由： (3)点M是PQ的中点. ①如图3，当Q在线段DC上时，CM的最小值为 ②当点P从图1的位置运动到点A时，点M的运动路程长为 【变式5-5】(2025河南南阳二模)(1)在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形 ABCD,正方形CEFG.将正方形CEFG绕点C旋转，连接BE,DG,则BE与DG的数量关系为 ； (2)创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形ABCD和矩形 DEFG中，AD=2DE,AB=2DG,AD=DG,将矩形DEFG绕点D旋转，直线AE,CG交于点P,AE 与CG有怎样的数量关系？请你给出证明， (3)善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,点E 是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接BG,DG,BE,则 8G+?BE的最小值是 B G A 图1 图2 图3 题型六：相似三角形中的动点探究应用问题 例6.【知识探索】 (I)如图①，在矩形ABCD中，E为AD边上不与端点重合的一个动点，连接BD,BE,过点A作BE的垂 线，垂足为M,延长AM,分别交BD,DC于点N,F,求证：∠DAN=LABE; 【知识应用】 (2)在(1)的条件下，若AB=4,AD=3,BD=5DN,求AE的长； 9/12 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【知识拓展】 (3)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E分别是BC,AB上的一点，且AD⊥CE,若 AE =3BE, 求45的值。 AD E 图① 图② 知识点总结 1.相似三角形的判定与动态量化：掌握AA、S4S等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的 代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2.实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形 稳定性、四边形特征)，明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1.从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、 未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2.用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实 际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 【变式6-1】(2025·广西南宁.三模)综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两 个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形 如图1，在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=∠ADB=90°，则四边形ABCD为对垂四边形，记作对 垂四边形ABCD. 【理解】(1)如图1，在对垂四边形ABCD中，若∠A=60°，求∠BCD+∠BDC的值； 【应用】(2)如图2，在对垂四边形ABCD中，已知LABC=∠ADB=90°，∠A=45°，点E为AB边上一动 点，且CD⊥DE,求证：AE=BC; 【拓展】(3)在(2)的条件下，连接CE,将△CDE沿CE翻折，得到△CFE,连接BF,若BF=2, AD=6,求BDE的面积. D B B 图1 图2 备用图 【变式6-2】(24-25九年级上广东深圳期中)如图1，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点，将正方 形沿着AE折叠，使点B落在F处，连接BF、AF,延长BF交CD于点G. 10/12 专题04 相似三角形中的动点问题的六种模型 目录 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 5 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 13 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 19 题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题 25 题型六：相似三角形中的动点探究应用问题 41 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例1．如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当 时，与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如不同顶点对应），分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、动点未超出运动范围），排除不合理的解。 【变式1-1】（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在矩形中，，，点P由点A出发沿方向向点B匀速移动，速度为，点Q由点D出发沿方向向点A匀速移动，速度为，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接、，设运动的时间为．若以Q、A、P为顶点的三角形与相似时，则t的值为 ．    【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质、解一元二次方程，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．与都是直角三角形，两个三角形相似时，的对应边是或．分两种情形构建方程，分别求解即可． 【详解】解：由题意，Q在上运动最大时间为，P在上运动最大时间为，，，， 分两种情况： ①当时，， 即， 或（舍去）， ； ②当时，， 即， ， 或， 经检验，是分式方程的解，不符合题意，舍去， 当或时，以Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 【变式1-3】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）当 时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （2）当 时，的面积等于4． 【答案】 或 5 【分析】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． （1）当时，则，当，则，两种情况建立方程求解即可； （2）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 当 或 时，以点P、B、 Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：或 （2）如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 故答案为：5 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例2．如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 当与相似时， 点始终在边上， 根据折叠， 设，则， 分两种情况： ①， 此时， ，即， 解得， ， ②， 此时， ，即， 解得， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围（如线段端点、边界位置），确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E），分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长度为正、未超出原线段范围），排除因计算或对应错误产生的不合理解。 【变式2-1】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东河源·期中）如图所示，在边长为4的正方形中，对角线与相交于点O，E是的中点，F是边（不与B、C重合）上的一个动点，过点E作，交与G，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键注意分类讨论思想的运用．当为等腰三角形时，根据 ①，②，③ 三种情况讨论即可解决问题． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 当为等腰三角形时， ①若，如图，过E作，，垂足分别为M、N， 得矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴； ③若，， ∴， ∵， ∴， ∴点F与点B重合（不符合题意舍去）， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【变式2-3】（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图， 在等边中，边长为30，点M为线段上一动点，将等边沿过M的直线折叠，折痕与直线交于点N，使点A落在直线上的点D处，且设折痕为，则的值为 ． 【答案】21或65 【分析】分当点D在上与的反向延长线上两类讨论，根据是等边三角形得到，，根据沿折叠得到可得，，，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到，则可得．设，则，，代入比例式中，可得，，根据，求出x的值，即可得到答案； 【详解】解：①当点D在上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠得到， ∴，，， 在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， 设，则，， ∴，， ， 又∵, ∴， 解得， ∴； ②当点D在的反向延长线上时， 与①同理可得，， ∴， ∵，且 ∴，， 设，则，， ， ∴，， ， ， ， 解得， ． 故答案为：21或65． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等边三角形性质，折叠的性质，解题的关键是根据折叠相等及三角形内外角关系得到相似的条件． 【变式2-4】（2024·河南开封·二模）如图所示，在中，是的中位线，D是边上一点，，P是线段上的一个动点，连接相交于点O．若是直角三角形，则的长是 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，先求出，根据三角形中位线定理得到，，，得出，分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴，，， ∴，     分两种情况讨论： ①当时，如图，过点作于， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， ， ②当时，如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例3．如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；在的延长线上截取，过点作，使得，则得出，即可证明，进而得出，则点在与垂直的上运动，当时，即时，最小，进而得出四边形是矩形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， 如图所示，在的延长线上截取，则，过点作，使得 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在与垂直的上运动， 当的值最小时，在上，最小值为的长 ∴当时，即时，最小 此时如图， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 知识点总结 1. 相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2. 最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值（当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值）。 解题技巧 1. 转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2. 结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 【变式3-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，已知，，，点、分别是、边上的两个动点，且始终保持，连接，则当取最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形和全等三角形的综合应用，同时涉及勾股定理和最值问题．本题综合性较强，能合理构建出全等三角形以及转化线段是学生解决本题的关键．先构建出，转化，即可利用三角形三边关系得出，进一步根据以及勾股定理进行分析即可． 【详解】解：将移动至，使与、与分别重合， 则，，, ， 当三点共线时，, ， , , ，， ， 此时, ， 在中由勾股定理可得， ， ． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识．解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，将求线段的最小值转化为求的最小值，再利用三角形面积公式求出的最小值，进而得到的最小值． 解题思路：辅助线作法见详解．利用中位线定理得到，根据菱形的性质证得，再利用平行线性质可证，得到，利用含角直角三角形的性质及勾股定理可求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用面积相等法求得高的长度，等于其一半，即为的最小值． 【详解】如图，延长至点H，使，连接．延长与交于点M，因G为的中点，故． ∵且菱形对角线平分， ∴， 由，得；由得， ∴，则，又， ∴，则， 由得，；由得， ∴，则，即， ∴． 自点M作延长线的垂线，垂足为点N，则， ∴，，则， 在直角三角形中，， 当时，因，所以最短时，也相应最短， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·山东淄博·三模）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等角的余角相等，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，最短距离问题，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 本题先根据矩形的性质得出，，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，作交于点N，交的延长线于点，作点关于直线的对称点，连接，与交于点，连接，可得，，根据矩形的判定与性质得出，，，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求出，根据两点之间，线段最短得出当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为，结合勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 作交于点N，交的延长线于点M，作点D关于直线的对称点，连接，与交于点H，连接，如图： 则，， ∵， 又∵，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为． 在中，， 故答案为：． 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 例4．如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查动点的函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由图象可知，分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由图象可知，当点与点重合时，此时点与点重合，， 当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，即：， 当点与点重合时，，故， ①当点在上时，此时四边形为矩形， ∴， ∴当时，即：， ∴， ②当点在上时，如图： ∵矩形， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，即：时，， 解得：； 故选B． 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 【变式4-1】（2025·黑龙江大庆·三模）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．连接，，由正方形的性质可得，，，证明，得到，则可推出当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，再根据，，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形。 ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 图②中，图象上最低点的纵坐标为， ， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理可得 ， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，观察图象可知，当点与重合时，，推出，，分别求出的最小值，的长即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，， ， 为等边三角形， 点是边的中点， ， 、关于对称， ， ， 当、、共线时，的值最小，即的长． 观察图象可知，当点与重合时，， ，， 在中，， 的最小值为， 点的纵坐标， ∵， ∴， ， ， 点的横坐标， ． 故答案为：． 【变式4-2】（2024·山东聊城·一模）如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的最小值，连接，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形为矩形，利用矩形的对角线相等得到，再利用垂线段最短的性质得到当时，取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可求解，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵， ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为线段上的动点，由于垂线段最短， ∴当时，取得最小值，即取最小值， 过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴当时，取最小值为， ∴函数图象最低点的坐标为， 故答案为：． 题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题 例5．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由旋转性质可知，则，又四边形是正方形，则，故有，然后通过同角的余角相等即可求证； （）作交的延长线于点，证明，则有，，又四边形是正方形，所以，，然后有，故，最后由线段和差即可求证； （）过点作分别交，的延长线于点，，则，证明四边形是矩形，则，同理可得，则，故有，设，则，，，，在中，，，解得，，作于点，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：作交的延长线于点， 由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， 在中，，，解得，， 作于点， 当时，，则， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当时，，则， 同理， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 知识点总结 1.相似三角形核心知识：包括AA、SAS、SSS判定定理，对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等性质，是解决线段关系、面积计算的基础。 2.几何图形综合性质：需结合三角形、四边形（如平行四边形、矩形）等图形的性质，以及勾股定理、三角函数、轴对称等知识，形成完整的几何关系网络。 解题技巧 1.分解图形找相似模型：从复杂图形中分离出基本相似模型（如“A型”“X型”），明确动点运动中模型的变化，通过对应关系建立等式。 2.动态过程分层讨论：按动点位置的临界状态（如与顶点重合、线段端点）分层，结合图形性质分析每层中相似三角形的存在性，逐步求解综合问题（如线段关系、面积最值）。 【变式5-1】（24-25九年级下·北京·开学考试）在中，，（），是线段上的动点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，延长至点，使，连接，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据三角形内角和及三角形外角可得出，根据平角的定义即可得证； （2）延长至，使，连接、，延长到，使，利用三角形中位线定理和相似三角形得出，，根据平行线的性质及全等三角形得出，根据线段的和差得出，根据等腰三角形的性质得出，利用证明，最后根据全等三角形的性质及等腰三角形的三线合一即可得出答案． 【详解】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 当点在线段上时，在中，，， ，， 在中，， ， ； （2）解：，理由如下： 延长至，使，连接、，延长到，使，如图所示， ，， 是的中位线， ，， ∴，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和、三角形外角性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质和判定，等腰三角形的三线合一性质、旋转的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，正方形的边长是，为上一动点，将绕点顺时针旋转至点的对应点为点，连接． (1)如图1，当时， ； (2)如图2，连接交于点， ①求证：为的中点； ②直接写出的值是 ． 【答案】(1) (2)见详解， 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）根据旋转的性质得，，为等腰直角三角形，再根据正方形的性质得，，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出答案； （2）①过点E作交于点N，得和，可证，可得，即可证明中点；②根据平行得，有，可求得，由，有，得到即可求得答案； 【详解】（1）解：根据旋转的性质得：，， ∴为等腰直角三角形． ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①过点E作交于点N，如图， 则，， ∵四边形为正方形，绕点A顺时针旋转至， ∴点C、点B和点F共线， ∵， ∴， 由旋转知，，则， ∵， ∴， ∴， 即M为的中点； ②∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】（2025九年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，在中，，，，为上一点，连结，作，交于点，且，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发沿射线运动，过程中满足，设． (1)求关于的函数表达式． (2)连结，， ①当与中的一个内角相等时，的值为___________（直接写出答案）； ②如图2，当点在线段上时，以为邻边作平行四边形，若所在直线平分平行四边形的面积，的面积为___________（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)①或或或；②或 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质得出，再根据得到，设，则，从而得到，进而推出和的值，从而得到答案； （2）①分三种情况分析：当时，当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质求解即可；②由（1）及①，，分别表示出，，，再由平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴ ∴， ∵，设 ∴， ∵ ∴． （2）解：①当时， 最小时，点与点重合，此时， 点与点重合时，最大为， 时，，不符合题意， 当时， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， 当时，， ∵， ∴， ∵，则， ∴，即， 解得：，即， 当时， ， 或， 综上所述：或或或； ②由（1）及①得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴或， ∵的高为， ∴或． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解直角三角形，相似三角形及全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 【变式5-4】（2025·江苏扬州·一模） 如图，矩形中，，E是边上一点，且，点P为边上一动点，连接，过E作的垂线交折线段于点Q．连接． (1)如图1，当点Q与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点Q在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)点M是的中点． ①如图3，当Q在线段上时，的最小值为______． ②当点P从图1的位置运动到点A时，点M的运动路程长为______． 【答案】(1)； (2)不变，； (3)①；② 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）过点Q作于点H，同（1）可证，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解； （3）①连接，过M作于，于F，交于G，证明，得出，可证明，利用平行线分线段成比例可求出，根据勾股定理可得出，则，故当最小时，最小，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则转化为求的最小值，当与重合时，取最小值为3，即可求解； ②由①可知M在直线上运动，当时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为，最低点为，则M运动的路程长为，如图，延长交于N，可得四边形是矩形，则，同理①可证，根据三角形中位线定理可求出，证明，可求出，同理证明四边形是矩形，得出，然后根据线段的和差求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点Q作于点H， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， 同（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）解：①连接，过M作于，于F，交于G， 则四边形是矩形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵M是中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴当最小时，最小， ∵，M是中点， ∴， ∵当与重合时，取最小值为3， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：； ②解：由①可知M在直线上运动，当时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为，最低点为，则M运动的路程长为，如图，延长交于N， 则四边形是矩形， ∴， 同理可证， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 同理四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点M的运动路程长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，点的轨迹的探究等知识，明确题意，添加合适辅助线，探究处点M的运动轨迹是解题的关键． 【变式5-5】（2025·河南南阳·二模）（1）在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形，正方形．将正方形绕点C旋转，连接，，则与的数量关系为______； （2）创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形和矩形中，，，，将矩形绕点D旋转，直线交于点P，与有怎样的数量关系？请你给出证明． （3）善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，则的最小值是______． 【答案】（1）；（2），理由见解析（3） 【分析】（1）证明，即可得到； （2）证明，即可得到； （3）证明，得，作于N，交的延长线于M，然后证明，得，所以，得点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 在矩形和矩形中， ， ∴， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∴． ∴； （3）∵四边形、四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 作于N，交的延长线于M，如图3， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称－最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键． 题型六：相似三角形中的动点探究应用问题 例6．【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形的性质得到，然后结合求解即可； （2）证明出，得到，求出，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F，得到四边形是正方形，设，由得到，得到，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 又， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， ，， ． 又， ， ． ， ． ，， ， ． ， ． （3）解：如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F． ，， 四边形是正方形． 设， ． ， ． 由（2）知，， ， ． 在中，． ， 由（2）知，． 又， ， ， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 知识点总结 1. 相似三角形的判定与动态量化：掌握AA、SAS等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2. 实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形稳定性、四边形特征），明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1. 从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2. 用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 【变式6-1】（2025·广西南宁·三模）综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】（1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值； 【应用】（2）如图2，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：； 【拓展】（3）在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）12或6； 【分析】（1）利用三角形内角和求解即可； （2）由题得出，进而可证，进而可求证； （3）如图，过点作 于点， 由（2）知，，可证，即得，由折叠的性质可得四边形为正方形，连接，则，证明，可求得，分情况讨论；当点的对应点在的上方时；当点的对应点在的下方时；即可求解. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作 于点， 由（2）知，   ∴， ∵， ∴ 同理（2）可得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴四边形为正方形， 连接，则， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ①如图，当点的对应点在的下方时； ∴， ， ②如图，当点的对应点在的上方时； ∴， . 综上所述，的面积为6或12. 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． 【变式6-2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，使点B落在F处， 连接，延长交于点G． (1)【初步探究】在E的运动过程中，与始终保持全等的关系，请说明理由． (2)【深入探究】把图1中的延长交于点H，如图2，若 ，求线段的长． (3)【拓展延伸】如图3，将正方形改成矩形，同样沿折叠，连接，延长交直线CD与点G、H两点，若 ，直接写出的值 （用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，利用证明即可； （2）折叠，得到，，等边对等角，得到，利用正方形的性质，对顶角相等，等角对等边推出，设，得到，求出的值，连接，利用勾股定理进行求解即可； （3）分H在上和H在的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴． 在△ABE与△BCG中， ， ∴． （2）解：根据折叠性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴设， ∴， 由（1）知： ∴， ∴， 解得：． 连接，则：在中，，在中， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ①当H在线段上时，连接， 由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 设， ∴， 利用折叠性质可得， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴，即， ∴． 同（2）利用勾股定理可得：， 即， 解得：． ∴． ②当H在的延长线上时，如图4所示， 同理可得，， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 利用勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形与折叠，矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【变式6-3】（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $