2.2.3直线的一般式方程难点训练微专题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.3直线的一般式方程 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 1.直线各种形式方程的互化 2.　求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 3.含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 4.若直线，直线， （1）的充要条件为 ，且或； （2）的充要条件为． 微专题训练 一、单选题 1．对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【详解】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 2．已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 3．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 4．已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由直线一般式平行表示可得答案. 【详解】因，则. 当，， ，两直线互相平行. 则则“”是“”的充要条件. 故选：C 5．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 6．已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【详解】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 7．已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 8．已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线垂直关系设所求直线方程，将点P坐标代入整理即可. 【详解】因为直线， 所以设与直线垂直的直线方程为， 将点代入方程得，，所以， 所以所求直线方程为，即. 故选：D 二、多选题 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．在轴上的截距为 B．过点且可能垂直轴 C．若，则或 D．若，则 【答案】AD 【详解】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可． 【解答】直线，直线， 对于选项A：在直线中，令，解得， 所以在轴上的截距为，故A正确； 对于选项B：因为直线的斜率， 即斜率存在，直线不垂直轴，故B错误， 对于选项C：若，则直线、均为， 即两直线重合，不平行，故C错误； 对于选项D：若，则，解得，故D正确． 故选：AD． 10．下列说法错误的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．过点且垂直于直线的直线方程为 D．过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 【答案】BD 【分析】计算直线定点即可判断A项，计算截距为即可判断B项，计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断C项.，举反例即可判断D项，从而求解. 【详解】对于A：得直线过定点，故A项正确，不符合题意； 对于B：令，得，故在轴上的截距为，故B项错误，满足题意； 对于C：由，的斜率分别为，，则有，故两直线互相垂直， 将代入直线方程得，故在直线上，故C项正确，不符合题意； 对于D：过点，且与坐标轴截距相等，故D项错误，符合题意； 故选：BD. 11．垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】CD 【分析】先设出垂直直线，再根据和坐标轴围成的面积求出参数，最后求出截距. 【详解】因为直线垂直于直线，可令直线， 所以直线与轴交点为，与轴交点为， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为， 所以，所以在轴上的截距为， 故选：CD 三、填空题 12．过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，再利用垂直关系设出直线方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】直线，即，由得点， 设与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 13．过点且与原点的距离最大的直线l的方程为 . 【答案】 【分析】设点为A，确定所求直线为过点且与直线OA垂直的直线，求出斜率，即可得答案. 【详解】设点为A， 则过点且与原点的距离最大的直线l为过点且与直线OA垂直的直线， 而OA斜率为1，故所求直线斜率为-1， 则所求直线方程为，即， 故答案为： 14．垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据直线垂直时的斜率关系可设出直线的方程，求得直线与坐标轴的两个交点后，再由直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为6，可解得参数，即可得直线的方程. 【详解】由题意，可设直线的方程为：， 令，则；令，则， 所以， 解得：， 所以，直线的方程为：或. 故答案为：或 四、解答题 15．三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点式即可求解； （2）由垂直关系确定斜率，再由点斜式即可求解； （3）确定中点坐标，再由两点式即可求解. 【详解】（1）根据题意可知， 则根据直线两点式方程可得，即； （2）设高BD所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由（1）知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由直线点斜式方程可得， 即，这就是所求的直线方程； （3）由，得线段的中点的坐标为， 则根据两点式可得直线方程为， 即. 16．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解； （2）原点到直线的距离最大时，，先求出直线的斜率，即可求解； （3）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由（1）知直线过定点，当时，原点到直线的距离最大， 又，所以直线的方程为，即， 所以与原点距离最大的直线方程为. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3直线的一般式方程 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 1.直线各种形式方程的互化 2.　求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 3.含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 4.若直线，直线， （1）的充要条件为 ，且或； （2）的充要条件为． 微专题训练 一、单选题 1．对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 2．已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．在轴上的截距为 B．过点且可能垂直轴 C．若，则或 D．若，则 10．下列说法错误的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．过点且垂直于直线的直线方程为 D．过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 11．垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是（    ） A．4 B． C．3 D． 三、填空题 12．过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 13．过点且与原点的距离最大的直线l的方程为 . 14．垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线的方程为 ． 四、解答题 15．三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 16．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $