第17章 因式分解 综合检测·培优卷-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（人教版2024）

一李初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 第 章 综合检测·培优卷 ⊙时间：90分钟分值：120分 &得分： ☑答案：P58 一、选择题（每题3分，共30分） 弥 1.分解因式02-号 A(a-3 郑 B(a+) c(a+(a-) n.(a+2)(a-2) 2.有下列多项式：①9a2-12a+4;②16x2一8y2+1;③x2y2+ 2xy+y2;④9m2+16n2-20mm.其中，是完全平方式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.多项式8x2y4-12xy2之的公因式可以是 ( ) A.4x2y2 B.4xyz C.4x2y D.4xy2 救 封4.若多项式a2十b2十m可以运用平方差公式分解因式，则m的值 可以是 () A.2cb B.-2ab C.3b2 D.-5b2 5.下列运算是因式分解的是 () A.4a2+4a-1=(2a-1)2 B.a2-4b2=(a-4b)(a+4b) C.(a+3b)(a-3b)=a2-9b2 D.a2-2a+1=(a-1)2 6.多项式x2y(a-b)-xy(b-a)十y(a-b)提公因式y(a-b) 后，另一个因式为 线 A.x2-x十1 B.x2+x+1 C.x2-x-1 D.x2+x-1 7.下列各组中的两个多项式，没有公因式的是 A.a+b与a2-2ab+b2 B.a.x-bx与by-ay C.x(x-y)3与y(y-x)2 D.x2-y2与x-y 赵 8.对于任何整数a(a≠0或1)，多项式(3a+5)2-4都能() A.被9整除 B.被a整除 C.被a十1整除 D.被a一1整除 9.若一个关于x的完全平方式是4x2+(m一1)x十9，则m的值为 () A.-5 B.7 C.13或-11 D.-5或7 10.若分解因式x2一mx十12的结果为(x一a)(x一b),则a2十 b2-m2的值为 () A.-24 B.0 C.12 D.24 二、填空题（每题3分，共18分） 11.分解因式：(x-3)(x-5)+1= 12.若m2n一mn2=4,mn=2,则m一n= 13.若长方形的长为a,宽为b,周长为16，面积为15，则a2b+ ab2= 14.新考法开放性试题在多项式16x2十1中添加一个单项式，使其 成为一个完全平方式，则添加的单项式是 (写出一个即可) 15.若k为任意整数，则(3k十5)2一9k2的值一定能被 整 除.（填符合条件的最大整数） 16.D我们把形如a2士2ab十b2的式子称为完全平方式.已知x2十 2mx十4是一个完全平方式，若(n+m)m=1(n≥0)，则n的值 为 三、解答题（共72分） 17.(6分)用简便方法计算：（一2）227十（一2）2026十+2225. 18.(8分)分解因式： (1)(a2+4)2-16a2; (2z+1Dx+2)+ 19.新考法开放性试题(8分)在4ab十3b2,a2十b2,3a2一4ab这三 个整式中，任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解. 20.(9分)已知二次三项式x2十x十g的常数项与(x一1)(x一9) 的常数项相同，而它的一次项与(x十2)(x十4)的一次项相同. (1)分别求出p,q的值. (2)x2十x十q是完全平方式吗？ 。31。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 21.新考法过程性学习(9分)下面是某同学对多项式（x2一 2x)(x2一2x+2)+1进行因式分解的过程： 解：设x2一2x=y. 原式=y(y+2)+1(第一步) =y2+2y十1（第二步） =(y十1)2（第三步） =(x2一2x十1)2.（第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步利用了 A提公因式法 B.平方差公式 C.完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，则最终结果 为多少？ (3)请你模仿上述方法，对多项式(x2一2)(x2一6)+4进行因 式分解 。329 22.(10分)(1)分解因式：4(a+b)2-12(ab+b2)+9b2; (2)若|a+4|与b2+4b十4互为相反数，把多项式(x十a)(x十 b)+1因式分解. 23.D(10分)(1)已知a-b=7,ab=-12,求a2b-ab2的值； (2)已知4m十n=40,2m-3n=5,求(m+2m)2-(3m-n)2 的值. 24.。新考法解题方法型阅读理解题(12分)材料1：课本中这样写 道：我们把a2+2ab十b2和a2一2ab十b2这样的式子叫作完全 平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形： 先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个 项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法。 例如，x2十2x-3=(x2+2x十1)-4=（x十1)2-4=(x十1十 2)(x+1-2)=(x+3)(x-1). 材料2：分解因式(a十b)2十2(a十b)+1. 弥 解：设a十b=x,则原式=x2+2x十1=(x十1)2=(a十b十1)2. 这样的解题方法叫作换元法，即在复杂的多项式中，当某部分 重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式.换元 法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将x2十4x十3因式分解； (2)根据材料2将(x一y)2-10(x一y)+25因式分解； (3)结合材料1和材料2，将(m2一2m)(m2一2m一3)一4因式 分解. 封 线一初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 解题大招 =(x2-1)2 用提公因式法分解因式时：(1)如果多项式第一 =(x十1)2(x-1)2.… …9分 项的系数是负的，那么一般提出“一”号，同时多项式 19.解：(1)a+4 中的各项都变号；(2)如果多项式中某些项的系数为 =a4+4a2+4-4a2 小数（或分数），那么一般要提取小数（或分数），使多 =(a2十2)2-4a2…3分 项式中各项的系数为整数， =(a2+2a+2)(a2-2a十2).…6分 (2)x4-43x2y2+81y 12.解：根据题意，得a一b=1,ab=12.…2分 =x1-18x2y2+81y1-25x2y2 (1)当a-b=1,ab=12时， =(x2-9y2)2-25x2y2…9分 原式=ab(a-b) =(x2-9y2+5xy)(x2-9y2-5xy).…12分 =12×1 20.解：(1)132-102=(13+10)×(13-10)=69. =12.…4分 因为69÷3=23，所以能被3整除.…4分 (2)当a-b=1,ab=12时， (2)(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)= 原式=3ab(a2-2ab+b2) 3(4n十3)，所以能被3整除.…8分 =3ab(a-b)2… …7分 (3)设这个数为n,比n大9的数为n+9. =3×12×12 (n+9)2-n2=(n十9+n)(n+9-n)=9(2n+9),所以 =36。…9分 能被9整除.…12分 13.A由完全平方公式可得，x2-4x十4=(x-2)2. 因为x<2,所以正方形的边长为2一x. 第它章 综合检测·培优卷 14.C(2n+3)2-1 1D- =(2n+3+1)(2n+3-1) =(2n+4)(2n+2) -a-(2)月 =4(n+2)(n+1). 因为n为任意整数，所以4(n十2)(n十1)既能被2整除， -(e+2)(a2) 又能被4整除。 2.A依题意，得9a2-12a十4=(3a-2)2是完全平方式，故 15.0因为a-b=5,b-c=-6, ①符合题意； 所以a-c=-1, 16x2-8y2+1不是完全平方式，故②不符合题意； 所以a2-ac-b(a-c) x2y2+2xy+y2不是完全平方式，故③不符合题意； =a(a-c)-b(a-c) 9m2+16n2-20mn=(3m-4n)2+4mn不是完全平方式， =(a-b)(a-c) 故④不符合题意 =5×(-1) 综上，是完全平方式的有1个. =-5. 3.D 16.(x-y)(x十y)2原式=(x2+y2-2xy)(x2+y2+4.Da2+b2-5b2=a2-4b2=(a+2b)(a-2b). 2xy)=(x-y)2(x+y)2. 5.DA.4a2+4a-1≠(2a-1),故该选项不符合题意； 17.5或-7因为关于x的二次三项式x2-(1十m)x十9 B.a2一4b2=(a-2b)(a十2b),故该选项不符合题意； 是一个完全平方式， C.(a+3b)(a-3b)=a2-9b2,没有化成几个整式的乘积 所以1+m=±6， 的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； 解得m=5或m=-7. D.a2一2a十1=(a一1)2，是因式分解，故该选项符合题意. 18.解：(1)2a(y-z)-3b(z-y) 6.B原式=y(a-b)(x2+x+1), =2a(y一之)十3b(y一之)…2分 公因式是y(a-b),所以另一个因式为x2+x十1. =(y-z)(2a十3b).…4分7.Aa十b与a2一2ab十b2没有公因式，故选项A符合 (2)(x2+2)2-6(x2+2)+9 题意； =[(x2十2)-3]…6分 ax一bx与by一ay的公因式为a一b,故选项B不符合 。209 题意； =-22027十22026十22025.…3分 x(x-y)3与y(y一x)2的公因式为(x-y)2,故选项C不 =22025X(-22+2+1) 符合题意； =-22025.…6分 x2-y2与x-y的公因式为x一y,故选项D不符合题意. 18.解：(1)(a2+4)2-16a2 8.C原式=(3a+5+2)(3a+5-2)=3(3a+7)(a+1), =(a2+4+4a)(a2+4-4a)…2分 则对于任何整数a,多项式(3a十5)2一4都能被a+1 =(a十2)2(a-2)2.…4分 整除. (2z+1x+2)+号 9.C因为一个关于x的完全平方式是4x2+(m一1)x十9， 所以(m-1)x=±2×2xX3, =x2+3x+4 9 …6分 所以m-1=士12， 解得m=13或m=-11. 号(z+)2…8分 10.A因为x2-mx+12=(x-a)(x-b),(x-a)(x- 19.解：若选择a2十b2,3a2-4ab,…2分 b)=x2-(a+b)x+ab, 则(a2+b2)+(3a2-4ab) ab=12, 所以 =a2+b2+3a2-4ab a+b=m, =4a2-4ab十b2,…6分 所以a2+b2-m2=(a+b)2-2ab-(a十b)2= 所以4a2-4ab+b2=(2a-b)2.(答案不唯一)…8分 -2ab=-24. 20.解：(1)(x-1)(x-9)=x2-x-9x+9=x2-10x+9, 11.(x-4)2(x-3)(x-5)+1 (x+2)(x+4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8.…2分 =x2-8x+15+1 因为二次三项式x2十px十q的常数项与(x一1)(x一9) =x2-8x+16 的常数项相同，而它的一次项与(x十2)(x十4)的一次项 =(x-4)2. 相同， 12.2因为m2n-mm2=4, 所以p=6,q=9.…5分 所以mn(m-n)=4. (2)由(1)可知，x2+px十q=x2+6x+9=(x+3)2, 因为mn=2, 所以x2十px十q是完全平方式.…9分 所以m-n=2. 21.解：(1)C…2分 13.120由题意，得a十+b=8,ab=15,所以原式=ab(a十 (2)该同学因式分解的结果不彻底.…3分 b)=120. 因为x2-2x+1=(x-1)2, 14.64x(答案不唯一)根据完全平方式的定义，得如果第 所以最终结果为(x一1)4.…5分 一项为64x4,那么组成的完全平方式为64x4十16x2+ (3)设x2-2=m, 1=(8x2+1)2. 则原式=m(m一4)十4 15.5(3k+5)2-9k2=(3k+5+3k)(3k+5-3k)= =m2-4m+4 5(6k十5)，所以(3k+5)2-9k2的值一定能被5整除. =(m-2)2 16.0或3因为x2+2mx+4=(x士2)2=x2士4x十4， =(x2-2-2)2 所以2m=±4， =(x2-4)2 所以m=土2. =(x-2)2(x十2)2.…9分 ①当m=2时，(n十2)"=1. 22.解：(1)4(a十b)2-12(ab+b2)+962 当n=0时，(0十2)°=1，符合题意； =4(a十b)2-12b(a+b)+9b2…2分 当n十2=1，即n=-1时，不符合题意， =[2(a+b)-3b]2 ②当m=-2时，(n-2)”=1. =(2a—b)2.…4分 当n=0时，(0-2)°=1，符合题意； (2)由题意可知，|a+4|+b2+4b+4=|a+4|+(b+ 当n-2=1,即n=3时，(3-2)3=13=1，符合题意. 2)2=0, 综上所述，n的值为0或3. 所以a十4=0，b十2=0， 17.解：(-2)2027+(-2)2026+22025 解得a=一4，b=一2，…6分 一去初中数学周未小测卷八年级上册RJ版 所以(x+a)(x+b)+1 =(x-4)(x-2)+1 3B若要使分式青有意义，则z十1≠0，解得≠1 4.C =x2-6x+8+1 3x2 x =x2-6x十9 5.A由题意，知分式二y与分式2(z一的公分母为 =(x-3)2.… 10分 2(x-y)(x+y), 23.解：(1)因为a-b=7,ab=-12, 3x2 3x2 6x2 所以a2b-ab2=ab(a-b)=-12X7=-84.…4分 x2-y=(x-y)(x+y)-2(x-y)(x+y)’ (2)(m+2n)2-(3m-n)2 分式的分子位变为6 =(m+2n+3m一n)(m+2n-3m+n)…6分 6.-2由题意，得x2-4=0且x-2≠0，解得x=-2. =(4m+n)(3n-2m) 7.6x2y2 1与1 =-(4m十n)(2m-3n).…8分 分式2zy与6y的分母分别为2xy和6xy,系 当4m十n=40,2m-3n=5时，原式=-40×5=-200. 数的最小公倍数为6，再取x2和y2,可得最简公分母为 6x2y2. …10分 24.解：(1)x2+4x十3 解题大招 =x2+4x+4-1 确定最简公分母的方法：(1)若分母是单项式， =(x十2)2-1…2分 应取各项系数的最小公倍数与所有字母的最高次暴 的积作为最简公分母；(2)若分母是多项式，应先进 =(x+2+1)(x+2-1) 行因式分解，再取各项系数的最小公倍数与所有因 =(x+3)(x十1).… 4分 式的最高次幂的积作为最简公分母。 (2)设x一y=c, 则原式=c2-10c+25 8.×(答案不唯一) 根据分式的基本性质可得，号 =(c-5)2 a2a_a÷2 =(x-y-5)2.…8分 bX2’bb÷21 (3)设m2-2m=d, 9.② 42 2x 则原式=d(d-3)-4 “2x二…①不是最简分式，”x年的分子分母 =d2-3d-4 没有公因式，：@是最简分式：：号 =-0+是盟 十D中③不是最简分式：气1， x-1 1 -(a》9 ∴④不是最简分式。 10解：（12有意义， -(a-8+8)(a-8》 ∴.2x一1≠0，… …2分 1 =(d+1)(d-4) 10分 x≠2 4分 =(m2-2m+1)(m2-2m-4) (2):3z2 =(m-1)2(m2-2m-4).… 12分 4x2-有意义， ∴.4x2-1≠0， …6分 第十八章分式 x≠士2 1 …8分 第②周分式及其基本性质 解题大招 1.0分式有+3，，（z十，共3个. 讨论分式有无意义时，一定要对原分式进行讨 x’a-b’m 论.不能将分式化简后再计论 易错馨示 1.解：1)10a6c=5a2bc·2a2a …4分 5十y不是分式，是整式 5a'b'c25a2bc.b2cb2c π (2)22-2xy 一2xy(x-y）_一2xy_2xy x2-2xy+y2 (x-y)2 x-y y-x 2.B …8分 12.解：(1)，最简公分母为ab, 1=61_a 3a-36_3(a-6=3=3=3. (a-b)2=(a-b)2-a-6=1 "a ab'b ab' …4分 (2)最简公分母为(x一y)2(x十y), 18.证明：等式十b十4奶的两边都乘(4a+6)(a十46)， 1 1 x-y 得a(a+4b)=b(4a+b). 小z2-y(x+y)(x-”(x+x-y ∴.a2+4ab=4ab+b2, x+y x2-2xy十y2=(x-y)2-(x-y)2(x+y) …9分 a2-b2=0,…4分 即(a十b)(a-b)=0.…5分 2(a+b)a+b 13.D 若A=a+6,则2(2a十-a十6，分式的值不变， .a>0,b>0, 即A选项不符合题意； ∴.a十b≠0， a-b=0,…8分 2a+6,分式的值不变， 若A=2a+2b,则2+物=2a十26 即a=b.…9分 即B选项不符合题意； 19.解：(1)若分式的值是0， 4ab 2ab 则x-3=0且1-2x≠0，…3分 若A=ab,则2(2a十b）一2a十b,分式的值扩大为原来的 解得x=3.…6分 2倍，即C选项不符合题意； (2)若分式的值是正数， 8a2b 4a2b 若A=ab,则22a中b2a十6分式的值扩大为原来 则听20任- …9分 的4倍，即D选项符合题意. 解题大招 解得<x<3. …12分 (1)判断分式的值变化的依据是分式的基本性 20.解：1)：-1D2x3g+2=2z-3,2z-3是 质，即分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0 (x-1)(x+2) 的整式，分式的值不变；(2)分式的值不变的条件要 整式， 符合两个“同”，一是要同时作“乘法”或“除法”运算， ①是“巧分式”. 二是“乘或除以”的对象必须是同一个不等于0的整 :2x+5-2x+61-2x+3》-1=2-1 式；(3)分式的分子、分母加（减）一个整式，也要转化 x+3 x+3 x+3 +3,2 为乘（除），根据分式的基本性质进行判断；(4)判断 x千3不是整式， 1 分式值变化的方法：先根据已知条件进行相应的变 化，再将分式整理成原式与某个数（代数式）的积，最 ∴.②不是“巧分式”. 后与原分式进行比较即可， =_x-)(x+》 x+y x+y =x一y,x-y是整式， 14.B若分式的值为0，则b2-1=0且(b-1)(b+3)≠0， ∴.③是“巧分式”. 即b=士1且b≠1，b≠一3，则b=一1. 故答案为①③.…4分 9x 3x 15.D当△是3x时，原式=g3z-3z,原式不是最简 （2:分式-+m(m为常数)是一个“巧分式”，它 x十3 分式，故A选项不符合题意； 的“巧整式”为x一7， 当△是6时，原式-g。-3x,原式不是分式故B选项 9x .(x十3)(x-7)=x2-4x十m,…6分 不符合题意； ∴.x2-4x-21=x2-4x十m, 当△是3时，原式-g受，原式不是分式，故C述项 m=-21.…8分 不符合题意； 《分式2的巧维式为1 当△是x时，原式=g,原式是最筒分式，故D选项符 “A=2x+2z 1-x 合题意。 A 2x1-x2)_2x(1-x)(1+x）=2z1+x),即 1-x 1一x 16.子十2答案不唯-)”x2≥0，∴写出的分式可以是 1 A=2x2十2x.…10分 x2+2(答案不唯-). 1 2x+4x2+2z_2z(x2+2x+1_(x+1)2 2x2+2x 2x(x+1) (x+1)=x+1, 17.3.'a-b-1=0, x十1是整式， a-6=1,.3(a-26)+36=3a-66+36 a2-2ab+62 (a-b)2 2x3+4r+2匹是“巧分式”.…12分 A 921。