第15章 第8周 专项训练(构造全等三角形利用方程思想或分类讨论思想等腰三角形中辅助线的作法)

一本初中数学周末)小测卷|八年级上册RJ版 第8周 专项训练 构造全等三角形 利用方程思想或分类讨论思想求角度等腰三角形中辅助线的作法 ⊙时间：45分钟 ☑答案：P55 构造全等三角形 弥 》类型一连接构造全等三角形 1.新定义问题如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形 叫作“筝形”某兴趣小组在课余时间研究筝形的性质，得到筝形的其中一条性质是“筝形的一组对角 那 相等”请你利用三角形的相关知识，帮助兴趣小组解释筝形的这一性质. 栽 封 》类型二作平行线构造全等三角形 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边AB上，点E在边AC的延长线上，BD=CE,DE与BC交 于点F.写出DF与EF相等的理由， 线 馨 》类型三倍长中线法构造全等三角形 3⊙新考法解题方法型阅读理解题在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中 线法 (1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌△EDB,其中判定全等的依据为 (2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证： AE=2AD. D D E图1 图2 利用方程思想或分类讨论思想求角度 4.已知三角形三个内角的度数比为1：3：5，求这三个内角的度数. 5.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的顶角的度数. ·21。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 等腰三角形中辅助线的作法 >类型一作平行线法 6.如图，在△ABC中，∠ACB=50°，∠BAC=105°，CD为△ABC的角平分线，AE⊥CD,垂足为E.求 证：AB=2CE. 类型二补形法 7.D⊙如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线 上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论 。22。 类型三截长补短法 8新考法解题方法型阅读理解题 【方法初探】截长补短法是几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略， 问题：如图1，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,若CD=DB十AB,求证：∠B=2∠C. 解题思路：我们可以采用截长补短法解决该问题，如图2，在CD上截取DE=DB,连接AE,从而证 明结论。 请你根据上述解题思路，写出证明过程 【方法应用】如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，交边BC于弥 点D.求证：AC=AB+BD, 【实际应用】如图4，在四边形ABCD中，已知∠BAD=50°，∠D=110°，∠ACD=45°，∠BCA=85°， CE是△ABC的高，AD=12,EB=3,则AE的长为 D B D CB D E CB D E B 图1 图2 图3 图4 封 线一专初中数学周未小测卷八年级上册尺J版 21.解：(1)如图即为所求 D …4分 (2)因为∠C=90°，∠B=35°， 所以∠CAB=90°-35°=55°.…5分 因为点D在AB的垂直平分线上， 所以DA=DB,…7分 所以∠B=∠DAB=35°，…8分 所以∠DAC=∠CAB-∠DAB=55°-35°=20°. …9分 22.解：【分析问题】 根据题意可知，CB=CB',C'B=C'B'. 故答案为CB,CB',…2分 AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC'=AC+ C'B'. 因为AB'<AC'+C'B', 所以AC十BC<AC十CB,…4分 所以作点B关于直线L的对称点B',连接AB'与直线L 交于点C,点C就是饮马的地方.…5分 【解决问题】 如图，分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接 CD,分别交OA,OB于点E,F,则路线PE,EF,PF即 为所求. B …8分 因为CE=PE,DF=PF,则PE十EF十PF=CE十 EF十DF,根据两点之间，线段最短可得，路线PE,EF, PF即为所求.…10分 23.解：(1)证明：因为△AO℃和△BOD都是等边三角形，所 以OA=OC,OB=OD,∠AOC=60°，∠DOB=60°， 所以∠AOD=∠COB=120°.…1分 (AO=CO, 在△AOD和△COB中，3∠AOD=∠COB, OD-OB 所以△AOD≌△COB(SAS),…2分 所以AD=CB.…3分 (2)证明：因为∠COD=180°-∠AOC-∠DOB=60°， 所以∠AOE=∠COF=60°. 由(1)得，△AOD≌△COB,所以∠DAO=∠BCO. …4分 ∠EAO=∠FCO, 在△AOE和△COF中，3OA=OC, ∠AOE=∠COF, 所以△AOE≌△COF(ASA),…6分 所以OE=OF, 所以△EOF是等腰三角形. 又因为∠EOF=60°， 所以△EOF是等边三角形.…7分 (3)如图，作点D关于直线l的对称点G,连接OG,CG, 直线CG交直线l于点P,此时，PC十PD取最小值，最小 值为CG的长. (P)O G …8分 因为∠EOF=60°， 所以∠COD+∠DOB+∠GOB=180°， 所以点C,O,G共线， 所以点O与点P重合， 所以PC+PD的最小值CG=PC+PG=PA十PB= AB=6.… ,...…10分 24.解：(1)设点M,N运动xs时，M,N两点重合， 则有x十12=2x,解得x=12. …3分 (2)设点M,N运动ts时，可得到等边三角形AMN,如 图1. B 图1 AM=t cm,AN=AB-BN=(12-2t)cm. 因为△AMN是等边三角形， 所以t=12-2t,解得t=4, 所以点M,N运动4s时，可得到等边三角形AMN. …7分 (3)当点M,N在边BC上运动时，能得到以MN为底边 所以∠B=∠D. 的等腰三角形AMN. 2.解：如图，过点D作DM∥AE交BC于点M. 由(1)，知运动12s时M,N两点重合，恰好在C处. 如图2，假设△AMN是等腰三角形. 根据作图可得，∠E=∠MDF,∠BMD=∠ACB. 图2 因为AB=AC, 所以AN=AM, 所以∠B=∠ACB, 所以∠AMN=∠ANM, 所以∠B=∠BMD, 所以∠AMC=∠ANB. 8分 所以DB=DM. 因为AB=BC=AC, 因为BD=CE, 所以△ACB是等边三角形， 所以DM=CE. 所以∠C=∠B. 在△DFM和△EFC中， ∠AMC=∠ANB, I∠DFM=∠EFC, 在△ACM和△ABN中，{∠B=∠C, ∠MDF=∠E, AC=AB, DM=CE, 所以△ACM≌△ABN(AAS),所以CM=BN.·9分 所以△DFM≌△EFC(AAS), 设当点M,N在边BC上运动，且M,N运动的时间为 所以DF=EF. ys时，△AMN是等腰三角形， 3.解：(1)因为AD是△ABC的中线， 所以CM=y-12,NB=36-2y, 所以DB=CD. 所以y-12=36-2y,…11分 在△ADC和△EDB中， 解得y=16.故假设成立. (AD=ED. 所以当点M,N在边BC上运动时，能得到以MN为底 ∠ADC=∠EDB, 边的等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为16s. CD=BD, …12分 所以△ADC≌△EDB(SAS). 第⑧周专项训练 故答案为SAS. 1.解：已知：在筝形ABCD中，AB=AD,CB=CD. (2)证明：如图，延长AD至点M,使DM-AD,连接BM. 求证：∠B=∠D. 证明：如图，连接AC. D M 因为AD是△ABC的中线， 所以DB=CD. C 因为∠ADC=∠MDB,AD=MD, (AB=AD, 所以△ACD≌△MBD(SAS), 在△ABC和△ADC中，3AC=AC, 所以MB=AC,∠MBD=∠ACD, BC=DC, 所以∠MBA=∠ABC+∠MBD=∠ABC+∠BCA, 所以△ABC≌△ADC(SSS), 因为∠ACE=∠BAC+∠ABC,∠BAC=∠BCA, 。15。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 所以∠MBA=∠ACE. 因为AE⊥CD, 在△ABM和△ECA中， 所以CE=GE=20G,即cG=2CE, BM=CA, ∠ABM=∠ECA, 所以AB=2CE. AB=EC, 7解：BE-?CD.证明如下： 所以△ABM≌△ECA(SAS), 如图，延长BE,CA交于点F, 所以AM=EA. 因为AM=2AD, 所以AE=2AD. 4.解：因为三个内角的度数比为1：3：5， 所以可设三个内角分别为x,3x,5x, 所以x+3x+5x=180°， 故∠BAF=180°-∠BAC=90°. 解得x=20°， 因为BE⊥CD, 所以这三个内角的度数分别是20°，60°，100° 所以∠BED=90°=∠BAC 5.解：①当这两个内角都是底角时，设其为x,则x= 因为∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC, 所以∠ACD=∠ABF! 2x-30°， 解得x=30°，所以顶角为180°-30°×2=120°； 又因为AB=AC, 所以△ABF≌△ACD(ASA), ②当底角比顶角的2倍少30°时，设顶角为x,则x十 所以BF=CD. 2(2x-30)=180°， 解得x=48°，即顶角为48°； 由题意易证△BEC≌△FEC(ASA), ③当顶角比底角的2倍少30°时，设底角为x,则2x+ 所以BE=EF=专BP, 2x-30°=180°， 1 解得x=52.5°，所以顶角为180°-52.5°×2=75°. 所以BE=2CD. 故这个三角形的顶角的度数为120°或48°或75°. 8.解：【方法初探】证明：如题图2，在DC上截取DE=DE 解题大招 连接AE. 这两个角可能都是底角，也可能一个是底角， 因为AD⊥BC,BD=DE, 个是顶角，应分类讨论 所以AD是BE的垂直平分线， 所以AB=AE, 6.证明：如图，作AG∥BC交CD的延长线于点G. 所以∠B=∠AEB. G、s 因为AB+BD=DC,DE+EC=DC, 所以AB=EC, B 所以AE=EC, 因为∠ACB=50°，∠BAC=105°， 所以∠C=∠EAC. 所以∠B=180°-50°-105°=25°. 因为∠AEB=∠C+∠EAC, 因为CD为△ABC的角平分线， 所以∠AEB=2∠C, 所以∠ACD=∠BCD=号∠ACB=专×50=25 所以∠B=2∠C. 【方法应用】证明：如图，过点D作DH⊥AC于点H. 因为AG∥BC, 所以∠G=∠BCD=25°，∠GAD=∠B=25°， 所以∠B=∠BCD=25°，∠GAD=∠G=25°，∠ACG= ∠G=25°， H 所以CD=BD,AD=GD,AG=AC, B D 所以AB=CG. 由题意，得∠AHD=90°=∠B. 。16 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD=∠HAD. 又因为AD=AD, 所以△ABD≌△AHD(AAS), 所以AH=AB,BD=HD. 因为△ABC是等腰直角三角形， 所以∠C=45°， 所以△CDH是等腰直角三角形， 所以HD=HC, 所以BD=HC. 因为AC=AH+CH, 所以AC=AB+BD. 【实际应用】如图，在AE上截取AF=AD,连接CF. D FEB 由题意可得，∠DAC=180°-∠D-∠ACD=25°， 所以∠FAC=∠BAD-∠DAC=25°， 所以∠DAC=∠FAC. 在△DAC和△FAC中， (AD=AF, ∠DAC=∠FAC, AC=AC, 所以△DAC≌△FAC(SAS), 所以∠AFC=∠D=110°，AF=AD=12, 所以∠CFE=180°-∠AFC=70°. 因为∠B=180°-∠ACB-∠FAC=70°， 所以∠B=∠CFE, 所以BC=FC. 因为CE⊥AB, 所以EF=EB=3, 所以AE=AF+EF=12+3=15. 故答案为15. 第十六章 整式的乘法 第⑨周幂的运算&整式的乘法 1.Ca3十a3=2a3,故选项A不符合题意； (一a2)3=-a,故选项B不符合题意； a2·a=a,故选项C符合题意； a·a=a?,故选项D不符合题意 2.D3a一a=2a,故选项A不符合题意； a3·a2=a5,故选项B不符合题意； (ab)2=ab2,故选项C不符合题意； (-a3)2=a,故选项D符合题意 3.A a8(-6a6)=号×(-6)·a,61= 1 -2a5b3 4.B原式=-4x2y÷(2xy)+2xy÷(2xy)=-2x+1. 5.A(x+2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6. 因为(x十2)(x-3)=x2+ax-6,所以a=-1. 6.1 7.a0(-a)5X(-a)3X(-a)2=(-a)0=a10. 解题大招 a”,n为偶数， ①(-a)"= 一a”,n为奇数； (b一a)”,n为偶数， ②(a-b)"= 一(b-a)",n为奇数. 8.-5xy225x2y3÷(-5xy)=-5.xy2. 9.2原式=0.52024X22025 =0.52021X22021X2 =(0.5X2)2024X2=2. 10解：源式=-8x(2x号-1）-ax+8x …2分 =-16x6+4x4+8x3-4x4-8x3 =-16x6.…4分 (2)原式=3a2-2ab+1十3ab…6分 =3a2十ab+1.…8分 解题大招 当运用暴的有关运算法则计算时，要注意区别 暴的乘方和同底数暴的乘法法则的应用.若暴中含有 负号，则先确定符号，再利用法则进行计算；若式子 中同时含有乘方与乘法运算，则先算乘方，再算乘法 11.解：(1)当a十3b=4时， 30X276=30X36=3a+b…2分 =34=81.…4分 (2)当2=3时， (23x+1÷22x)2 =(23x+1-2x)2 =(2x1)2 =(2X2)2 =22X(2)2…6分 =4×32 =4×9 =36。…8分