第15章 轴对称 综合检测·培优卷-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（人教版2024）

一本初中数学周末小测卷八年级上册J版 第 章 综合检测·培优卷 ⊙时间：90分钟 号分值：120分8得分 ☑答案：P54 一、选择题（每题3分，共30分） 1.新考法传统文化秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小 弥 篆，“飞龙在天”这个成语的小篆字体如下，其中是轴对称图形的 n 是 ) 非秀在不 B D 2.在下列图形中，对称轴条数最多的是 A B 拟 3.在平面直角坐标系中，点P(2,1)关于x轴的对称点P'的坐标是 封 A.(-2,-1) B.(1,2) C.(2,-1) D.(-2,1) 4.回易错题若一个等腰三角形的一个外角为105°，则这个等腰三 角形顶角的度数为 () A.30° B.30°或70° C.30°或70°或75 D.30或75 5.如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=120°，则边BC上的 高AD的长为 () 线 A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D,∠A=48°，则 ∠BDC的度数为 禁 E D B A48° B.96° C.90° D.84° 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=72°，BD平分∠ABC交 AC于点D,则图中等腰三角形的个数为 () A.0 B.3 C.2 D.1 8.如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，以线段 OC为边在第一象限内作等边三角形OBC,D为x轴正半轴上 一动点且在点C的右侧，连接BD,以线段BD为边在第一象限 内作等边三角形ABD,连接AC,若AC=4,则点D的坐标为 () A.(4,0) B.(0,2) C.(2,0) D.(0,4) 9.如图，在△ABC中，AB=AC,把△ABC沿线段DE折叠，使点 B落在点F处，若AC∥DE,∠CEF=a,则∠ADF的度数（结 果用含a的式子表示)为 () A.60°+2a B.90°-a C.180°-a D.180°-2a 10.新考法规律探究如图，已知∠MON=30°，点A1,A2,A3,A4在射 线ON上，点B1,B2,B3在射线OM上，△A1B1A2,△A2B2A3, △A3B3A4均为等边三角形若OA1=2,则A1A4的长为（) B3M O A A2 A3 A.12 B.14 C.16 D.18 二、填空题（每题3分，共18分） 11.已知点M(1一a,2a+2),若点M关于x轴的对称点在第四象 限，则a的取值范围是 12.如图，AD是△ABC的对称轴，E,F是AD上的两点.若BD= 2,AD=3,则图中阴影部分的面积是 13.新定义问题定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的 三角形叫作“倍长三角形”若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，一 边长为4，则等腰三角形ABC的腰为 14.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点 E作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N.若BM+CN= 8,则线段MN的长为 15.如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E,F分别在 AB,BC上，且AE=BF=5,DF=2,在AD上有一动点G,则 EG十FG的最小值为 B FD 16.在等边三角形ABC中，边长为6，点D在射线CA上，AD=3, 点E在射线BC上，BD=ED,则BE的长为 三、解答题（共72分） 17.(6分)在4×4的正方形网格中建立如图1,2所示的平面直角 坐标系，其中格点A,B的坐标分别是(0,1)，（一1，一1) (1)请在图1中添加一个格点C,使得△ABC是轴对称图形， 且对称轴经过点(0,1). (2)请在图2中添加一个格点D,使得△ABD是轴对称图形， 且对称轴经过点(1,1) y -2-1/012x -2-17O12x B-1 B-】 图1 图2 。19。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 18.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD= BC=AD,求∠C的度数. 19.(8分)如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上的一点，点E 在边BC的延长线上.若BD=ED,CD=CE.求证：D为AC的 中点。 20.(9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(一4,4)，B(一2， 0),C(-1,2) (1)请画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1; (2)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为6，求点P的 坐标 。20。 21.(9分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC<BC. (1)作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD; (2)若∠B=35°，求∠DAC的度数 22.新考法综合与实践(10分) 【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄 昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题—将军饮马. 如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回 到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最 短呢？ 【分析问题】 小亮：作点B关于直线L的对称点B',连接AB'与直线L交于 点C,点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的 (如图2) 小慧：你能详细解释为什么吗？ P B B -B 图1 图2 图3 图4 小亮：如图3，在直线1上另取任一点C',连接AC',BC',B'C', 我只要证明AC+CB<AC'+C'B即可. 因为直线1是点B,B'的对称轴，点C,C在L上， 所以CB= ,C'B= 请完整地写出小亮的证明过程。 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地 OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点 E,F,使得走过的路程最短.（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最 短路径用实线) 弥 23.D(10分)如图，直线1上的线段AB=6,O为线段AB上一 点，△AOC和△BOD都是等边三角形，连接AD交CO于点 E,连接CB交OD于点F,连接EF. (1)求证：AD=CB; (2)求证：△EOF是等边三角形； (3)若P为直线l上一动点，求PC+PD的最小值. 封 24.□(12分)如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm,现有两 点M,N分别从点A,B同时出发，沿三角形的边运动，已知点 M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到 达点B时，M,N同时停止运动. (1)点M,N运动几秒时，M,N两点重合？ (2)点M,N运动几秒时，可得到等边三角形AMN? (3)当点M,N在边BC上运动时，能否得到以MN为底边的 等腰三角形AMN?如果能，请求出此时M,N运动的时间. 线 —NB一初中数学周末小测卷八年级上册RJ版 因为AD平分∠BAC, 所以点E在AC上. 由题意可知，AD⊥BE,且AD平分BE,所以EM= BM,AE=AB=8. 因为∠BAC=60°， 所以△ABE是等边三角形， 所以BM+MN=EM+MN=EN, 此时BM十MN的值最小. 在Rt△ENA中，∠AEN=90°-60°=30°， 所以BN=AN=2AE=4, 16.40如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E E 0 C 因为AO=B0=50cm,CO-DO=30cm, 所以AD=AO+D0=50+30=80(cm). 因为AO=BO,∠AOB=120°， 所以∠A=∠B=2180-∠A0B)=号×(180 1 120)=30°， 所以在Rt△ADE中，∠A=30°，AD=80cm, 所以DE=号AD=号×80=40Ccam, 1 即AB距离地面CD的高度是40cm. 17.2a因为BO平分∠ABC, 所以∠OBE-∠OBA. 因为OE∥AB, 所以∠EOB=∠OBA, 所以∠OBE=∠EOB, 所以BE=OE. 同理，OF=FC. 所以△OEF的周长为OE+EF+OF=BE+EF+ FC=BC=2a. 18.解：(1)证明：因为AE是∠BAC的平分线， 所以∠DAE=∠BAE.…1分 因为DE∥AB, 所以∠DEA=∠BAE,…2分 所以∠DAE=∠DEA, 所以AD=DE.… …4分 (2)因为AB=AC,AE是∠BAC的平分线， 所以AE⊥BC,…5分 所以∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°. 由(I),得∠CAE=∠DEA, 所以∠C=∠CED,… …7分 所以DE=CD. 因为DE=3, 所以AD=DE=CD=3,…8分 所以AC=6.…9分 19.解：(1)证明：因为△ABC为等边三角形， 所以∠ABC=∠A=∠ACB=60°.…1分 因为E为AB的中点， 所以BE=AE,CE⊥AB,CE是∠ACB的平分线， …2分 所以∠BEC=90°，∠BCE=30°， 所以2BE=CB.…3分 因为DE=EC, 所以∠EDC=∠ECD=30°，…4分 所以∠DEB=60°-30°=30°，…5分 所以BD=BE, 所以CB=2BD.…6分 (2)如图，过点E作EF∥BC,交AC于点F,…7分 所以∠ECB=∠FEC. D B 因为△ABC为等边三角形， 所以∠AFE=∠ACB=60°，∠AEF=∠ABC=-60°， BC=AB=12, 所以△AEF为等边三角形， …9分 所以∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE. 因为DE=EC, 所以∠EDB=∠ECB, 所以∠EDB=∠FEC. ∠EBD=∠CFE, 在△BDE和△FEC中，∠EDB=∠CEF, DE=EC, 所以△BDE≌△FEC(AAS),…11分 所以BD=EF, 所以BD=AE=2, 所以CD=BC+BD=12十2=14.…12分4.D当105的角是等腰三角形顶角的外角时，顶角的度数 20.解：(1)证明：因为△BOC≌△ADC, 为180°-105°=75°；当105°的角是等腰三角形底角的外 所以OC=DC.… …1分 角时，底角的度数为180°-105°=75°，则顶角的度数为 因为∠OCD=60°， 180°-75°-75°=30°. 所以△OCD是等边三角形.…3分 故这个等腰三角形顶角的度数为30°或75° (2)△AOD是直角三角形.…5分 易错警示 理由如下： 当求等腰三角形各角的度数时，若顶角和底角 因为△OCD是等边三角形， 不能确定，需进行分类讨论若已知角是钝角或直角， 所以∠ODC=60°. 6分 因为△BOC≌△ADC,a=150°， 则这个角只能是等腰三角形的顶角，若已知角是锐 角，则分这个已知角是顶角和底角两种情况讨论. 所以∠ADC=∠BOC=a=150°，7分 所以∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°， 所以△AOD是直角三角形.…8分 5.B由题意可知，∠B=∠C=2×(180°-1209=30 (3)因为△OCD是等边三角形， 因为ADLBC,所以AD=AB=3, 所以∠COD=∠ODC=60°. 因为∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=a, 6.B因为DE是线段AC的垂直平分线， 所以∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD= 所以DA=DC, 360°-110°-a-60°=190°-a, 所以∠DCA=∠A=48°， ∠ADO=∠ADC-∠ODC=a-60°， 所以∠BDC=∠DCA+∠A=96°， 所以∠OAD=180°-∠AOD-∠AD0=180°-(190°- 7.B因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形， a)一(a一60)=50°.…9分 所以∠ABC=∠C=72°. ①当∠AOD=∠ADO时，190°-a=a-60°， 因为BD平分∠ABC, 所以a=125°；…10分 所以∠CBD=∠ABD=名∠ABC=36, ②当∠AOD=∠OAD时，190°-a=50°， 所以∠A=180°-∠ABC-∠C=36°，∠BDC=180° 所以a=140°；…11分 ∠CBD-∠C=72°， ③当∠ADO=∠OAD时，a-60°=50°， 所以a=110°. 所以∠A=∠ABD,∠C=∠BDC, 综上所述，当a为110°或125°或140时，△AOD是等腰 所以△ABD,△BDC为等腰三角形， 三角形.…12分 所以题图中等腰三角形的个数为3. 8.A由题意可知，OB=CB,DB=AB,∠OBC= 解题大招 ∠ABD=60°， 先从要证的结论开始寻找它成立需具备的条 所以∠OBC+∠CBD=∠ABD+∠CBD,即 件，再从已知条件出发，看如何得到要满足的条件， ∠OBD=∠CBA, 从而找到解题的途径 所以△DBO≌△ABC(SAS),所以OD=AC=4, 所以点D的坐标为(4,0). 第个章综合检测·培优卷 9.D因为把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处， 1.DA,B,C选项都不能找到一条直线，沿这条直线对折， ∠CEF=a, 使直线两旁的部分能够完全重合. 所以∠DEB=∠DEF=号×(18o-a)=90-7a, 2.DA选项有8条对称轴，B选项有3条对称轴，C选项有 ∠BDE=∠FDE 6条对称轴，D选项有无数条对称轴， 3.C根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相 因为AC/DE,所以∠DEB=∠C=904 反数，得点P(2,1)关于x轴的对称点P'的坐标 是(2，-1). 因为AB=AC,所以∠B=∠C=90, 913。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 所以∠BDE=18°-(90°-2a)-(90-2a)-a=∠FDE, 13.4或8一边长为4，三角形的另两边长为2,2；2,4；4,8； 8,8. 所以∠ADF=180°-∠BDE-∠FDE=180°-2a 根据三角形的三边关系，得只有2和4,8和8能与4构 10.B如图. 成三角形， B3M 14.8因为∠ABC,∠ACB的平分线相交于点E, B2 所以∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB. B 2人4N 因为MN∥BC, OA A2 As A 所以∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB, 因为△A1B1A2是等边三角形， 所以∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN, 所以A1A2=A2B1=A1B1,∠1=60°. 所以BM=ME,EN=CN, 因为∠1是△OA1B1的外角， 所以MN=ME+EN=BM+CN. 所以∠1=∠2+∠MON. 因为BM+CN=8, 又因为∠MON=30°， 所以MN=8. 所以60°=∠2+30°， 15.9如图，作点E关于AD的对称点E',连接EF交AD 所以∠2=30°， 于G,此时EG+FG的值最小. 所以∠2=∠MON, 所以△OA1B1是等腰三角形，即OA1=A1B1=2, 所以A1A2=A2B1=A1B1=2, 所以OA2=OA1十A1A2=4. G 因为△A2B2A3是等边三角形， B 所以∠4=60°，A2A3=A3B2=A2B2, 因为△ABC是等边三角形，AE=BF=5,DF=2, 所以∠1=∠4=60°， 所以∠C=60,BD=DC=号BC=BF+FD=5+2=1, 所以A1B1∥A2B2, 所以CF=CD+DF=7+2=9,BC=AC=14, 所以∠3=∠2=∠MON=30°， 所以CE'=AC-AE'=AC-AE=14-5=9, 所以△OA2B2是等腰三角形，即OA2=AzB2=4, 所以CF=CE', 所以A2A3=A3B2=A2B2=4, 所以△CE'F是等边三角形， 所以OA3=OA2十A2A3=4十4=8， 所以EG+FG的最小值为EF=CF=9. 同理可证，△OAB是等腰三角形，即OA3=A,B,=8. 16.9或3分以下两种情况： 因为△AB3A4是等边三角形， ①如图1，当点D在线段AC上时. 所以A3A4=AB3=8, 所以A1A4=A1A2+A2A3+A3A4=2+4+8=14. 11.一1<a<1因为点M(1-a,2a+2)关于x轴的对称 点在第四象限， 1-a>0, 所以点M在第一象限，所以 图1 2a+2>0, 因为△ABC是等边三角形，边长为6， 解得-1<a<1. 所以AC=BC=6. 12.3因为AD是△ABC的对称轴， 因为AD=3, 所以AD垂直平分BC, 所以AD-AC, 即AD⊥BC,BD=DC, 所以SAEFB=SAEFC, 所以D是AC的中点， 所以SA=Saum号BD·AD=合×2X3=8 所以BD⊥AC,DC=3. 因为BD=ED, 。14。 所以∠DBC=∠DEB=30° 因为∠BCD=60°=∠CDE+∠DEB, 所以∠CDE=30°=∠DEB, 所以CD=CE=3, 所以BE=BC+CE=6+3=9. ②如图2，当点D在线段CA的延长线上时，过点D作 DG⊥BC于点G. B GE 图2 因为BD=ED, 所以BG=EG 在Rt△DGC中，DC=3+6=9,∠ACB=60°， 所以∠CDG=30°， 所cGCD=45 所以BG=6-4.5=1.5, 所以BE=2BG=3. 综上，BE的长为9或3 17.解：(1)如图1. 2式 -2-1/0:2x B-1 2 图1 点B的对称点是C,点A的对称点还是A,连接点A,B, C可知，△ABC是轴对称图形，且对称轴经过点(0,1)， 点C即为所求.…3分 (2)如图2. -2 图2 点A的对称点是D,点B的对称点还是B,连接点A, B,D可知，△ABD是轴对称图形，且对称轴经过点(1， 1),点D即为所求.…6分 18.解：设∠A=x. 因为AD=BD,所以∠ABD=∠A=x.·1分 因为BD=BC,所以∠BCD=∠BDC=∠ABD十∠A= 2江.…3分 因为AB=AC,所以∠ABC=∠BCD=2x,…5分 所以∠DBC=x…6分 因为x十2x十2x=180°，所以x=36°，…7分 所以∠C=72°.… …8分 19.证明：因为△ABC是等边三角形， 所以∠ACB=∠ABC=60°.…1分 因为CD=CE,所以∠CED=∠CDE.…2分 因为∠ACB=∠CED+∠CDE, 所以∠CED=∠CDE=2∠ACB=号×60°=30 …4分 因为BD=ED,所以∠CBD=∠CED=30°，·5分 所以∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-30°=30°，·6分 所以∠ABD=∠CBD, 所以BD是△ABC的角平分线.…7分 因为△ABC是等边三角形， 所以BD是△ABC中边AC上的中线， 所以D为AC的中点.…8分 20.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作 D1 …4分 (2)设P(m,0). 因为A(-4,4),B(-2,0), 所以PB=|m十2|，…5分 所以Sm=2PB·a=2m+2X4=2m+2=6, …7分 解得m=1或m=-5, 所以点P的坐标为(1,0)或（一5,0）.…9分 一专初中数学周未小测卷八年级上册尺J版 21.解：(1)如图即为所求 D …4分 (2)因为∠C=90°，∠B=35°， 所以∠CAB=90°-35°=55°.…5分 因为点D在AB的垂直平分线上， 所以DA=DB,…7分 所以∠B=∠DAB=35°，…8分 所以∠DAC=∠CAB-∠DAB=55°-35°=20°. …9分 22.解：【分析问题】 根据题意可知，CB=CB',C'B=C'B'. 故答案为CB,CB',…2分 AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC'=AC+ C'B'. 因为AB'<AC'+C'B', 所以AC十BC<AC十CB,…4分 所以作点B关于直线L的对称点B',连接AB'与直线L 交于点C,点C就是饮马的地方.…5分 【解决问题】 如图，分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接 CD,分别交OA,OB于点E,F,则路线PE,EF,PF即 为所求. B …8分 因为CE=PE,DF=PF,则PE十EF十PF=CE十 EF十DF,根据两点之间，线段最短可得，路线PE,EF, PF即为所求.…10分 23.解：(1)证明：因为△AO℃和△BOD都是等边三角形，所 以OA=OC,OB=OD,∠AOC=60°，∠DOB=60°， 所以∠AOD=∠COB=120°.…1分 (AO=CO, 在△AOD和△COB中，3∠AOD=∠COB, OD-OB 所以△AOD≌△COB(SAS),…2分 所以AD=CB.…3分 (2)证明：因为∠COD=180°-∠AOC-∠DOB=60°， 所以∠AOE=∠COF=60°. 由(1)得，△AOD≌△COB,所以∠DAO=∠BCO. …4分 ∠EAO=∠FCO, 在△AOE和△COF中，3OA=OC, ∠AOE=∠COF, 所以△AOE≌△COF(ASA),…6分 所以OE=OF, 所以△EOF是等腰三角形. 又因为∠EOF=60°， 所以△EOF是等边三角形.…7分 (3)如图，作点D关于直线l的对称点G,连接OG,CG, 直线CG交直线l于点P,此时，PC十PD取最小值，最小 值为CG的长. (P)O G …8分 因为∠EOF=60°， 所以∠COD+∠DOB+∠GOB=180°， 所以点C,O,G共线， 所以点O与点P重合， 所以PC+PD的最小值CG=PC+PG=PA十PB= AB=6.… ,...…10分 24.解：(1)设点M,N运动xs时，M,N两点重合， 则有x十12=2x,解得x=12. …3分 (2)设点M,N运动ts时，可得到等边三角形AMN,如 图1. B 图1 AM=t cm,AN=AB-BN=(12-2t)cm. 因为△AMN是等边三角形， 所以t=12-2t,解得t=4, 所以点M,N运动4s时，可得到等边三角形AMN. …7分 (3)当点M,N在边BC上运动时，能得到以MN为底边 所以∠B=∠D. 的等腰三角形AMN. 2.解：如图，过点D作DM∥AE交BC于点M. 由(1)，知运动12s时M,N两点重合，恰好在C处. 如图2，假设△AMN是等腰三角形. 根据作图可得，∠E=∠MDF,∠BMD=∠ACB. 图2 因为AB=AC, 所以AN=AM, 所以∠B=∠ACB, 所以∠AMN=∠ANM, 所以∠B=∠BMD, 所以∠AMC=∠ANB. 8分 所以DB=DM. 因为AB=BC=AC, 因为BD=CE, 所以△ACB是等边三角形， 所以DM=CE. 所以∠C=∠B. 在△DFM和△EFC中， ∠AMC=∠ANB, I∠DFM=∠EFC, 在△ACM和△ABN中，{∠B=∠C, ∠MDF=∠E, AC=AB, DM=CE, 所以△ACM≌△ABN(AAS),所以CM=BN.·9分 所以△DFM≌△EFC(AAS), 设当点M,N在边BC上运动，且M,N运动的时间为 所以DF=EF. ys时，△AMN是等腰三角形， 3.解：(1)因为AD是△ABC的中线， 所以CM=y-12,NB=36-2y, 所以DB=CD. 所以y-12=36-2y,…11分 在△ADC和△EDB中， 解得y=16.故假设成立. (AD=ED. 所以当点M,N在边BC上运动时，能得到以MN为底 ∠ADC=∠EDB, 边的等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为16s. CD=BD, …12分 所以△ADC≌△EDB(SAS). 第⑧周专项训练 故答案为SAS. 1.解：已知：在筝形ABCD中，AB=AD,CB=CD. (2)证明：如图，延长AD至点M,使DM-AD,连接BM. 求证：∠B=∠D. 证明：如图，连接AC. D M 因为AD是△ABC的中线， 所以DB=CD. C 因为∠ADC=∠MDB,AD=MD, (AB=AD, 所以△ACD≌△MBD(SAS), 在△ABC和△ADC中，3AC=AC, 所以MB=AC,∠MBD=∠ACD, BC=DC, 所以∠MBA=∠ABC+∠MBD=∠ABC+∠BCA, 所以△ABC≌△ADC(SSS), 因为∠ACE=∠BAC+∠ABC,∠BAC=∠BCA, 。15。