第15章 第7周 等腰三角形-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（人教版2024）

一本初中数学周末小测卷八年级上册RJ版 第 周 等腰三角形 ⊙时间：45分钟 号分值：100分 8得分： ⑦答案：P53 基础测·教材变式 弥一、选择题（每题3分，共15分） 1.某等腰三角形的一个底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为 0 洲 A.509 B.65 C.80° D.100° 2.如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC.若△ABC的周长为12，则BC的长为 B A.3 B.4 C.8 D.9 3.新考法真实问题情境直线1是一条河，点P,Q是两个村庄，欲在1上的某处修建一个水泵站，向P, Q两个村庄供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需铺设的管道最短的是 T () 封 Q Q Q 济7 M B 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°，则 ∠ABE的度数为 () B 线 A.20 B.35 C.40° D.70 5.如图，已知直线l垂直平分AB且交AC于点D,点C在直线l的左侧，且AB=9,AC=7,BC=5,P 是直线L上的任意一点，连接PB,PC,则PB十PC的最小值是 () A.5 B.6 C.7 D.9 二、填空题（每题3分，共12分） 6.口易错题如果等腰三角形的两边长为2cm,4cm,那么它的周长为 cm. 7.如图，△ABC是等边三角形，点D在线段BC的延长线上，且CD=CE,则∠D= B 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC相交于点D,与AB相交于 点E,连接BD.若AD=12,则BC的长为 D 9.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,2)，点P在x轴上运动，当以A,P,O为顶点的三角形是等 腰三角形时，点P的个数为 三、解答题（共25分） 10.(8分)如图，在△ABC中，已知∠A=36°，点D在边AC上，AD=BD=BC,求∠DBC的度数. B D 1.(8分)如图，在△ABC中，已知∠A=60°，AC=AB.求证：△ABC是直角三角形. 12.(9分)如图，AB=AC,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD. (1)求∠ADC的度数； (2)求证：CD=2BD. 。17。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 能力测·迁移运用 一、选择题（每题3分，共9分） 13.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE= () D A.18° B.20 C.30° D.159 14.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,BE与AC相交于点E,∠A= ∠ABE.若AC=10,BC=6,则DB的长为 () A.5 B.3 C.4 D.2 15.D如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点，AB= 8,∠BAC=60°.当BM+MN的值最小时，BN的长为 () M A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题（每题3分，共6分） 16.新考法真实问题情境如图1，设计一张折叠方桌，其示意图如图2所示.若AO=BO=50cm,C0= DO=30cm.现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度∠AOB应为120°，此时AB距离地面CD的 高度是 cm. D 图1 图2 17.如图，在△ABC中，角平分线BO和CO相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,BC=2a,则△OEF的周 长为 。18。 三、解答题（共33分） 18.(9分)如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，交BC于点E,DE∥AB交AC于点D. (1)求证：AD=DE; (2)若AC=AB,DE=3,求AC的长. B 弥 19.(12分)在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上，且DE=EC. (1)如图1，当E为AB的中点时，求证：CB=2BD; (2)如图2，若AB=12,AE=2,求CD的长. D D B 图1 图2 封 思维测·拓展创新 20.D(12分)如图，O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外一点，∠AOB=110°，∠BOC=a, △BOC≌△ADC,∠OCD=60°，连接OD. (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)当a=150时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 110 线 a一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 所以点B向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长 第⑦周等腰三角形 度到点A,点C通过相同的平移方式到点D,所以线段 1.D这个等腰三角形的顶角为180°一40°-40°-100°. AD可以看作由线段BC平移得到的， 2.B因为∠A=60°，AB=AC,所以△ABC是等边三角形. 所以AD∥BC,AD=BC.…9分 19.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形. 因为△ABC的周长为12，所以BC=号×12=4 y 3.C作点P关于直线l的对称点P',连接QP交直线l于 5 点M根据两点之间，线段最短可知，选项C所需铺设的管 B2 3 道最短 2 1A 4.B因为AD是△ABC的中线，AB=AC,∠CAD=20°， -5-4-3-2-1012345x -14N -2 B 所以∠CAB=2∠CAD=40°，∠ABC=∠C=2(180° ∠CAB)=70°. 因为BE是△ABC的角平分线， …2分 点C1的坐标为(2，一3).…4分 所以∠ABE=2∠ABC=35 (2)在图中，若点B2(一4,2)与点B(4,2)关于一条直线 5.C连接AP(图略). 对称，则这条对称轴是直线x=0,即y轴，…6分 因为直线I垂直平分AB,所以PB=PA, 此时点C关于这条直线的对称点C2的坐标为（一2,3）. 所以PB+PC=PA+PC≥AC. 故答案为y轴，（一2,3）.… …8分 因为AC=7, (3)SMA6=3X2-7×1X2-2×1X2-号×1X3= 所以PB十PC的最小值是7. 6.10以2cm为腰长时，三边长分别为2cm,2cm,4cm 2 …12分 因为2十2=4， 所以以2cm为腰长时无法构成三角形 20.解：点P(x,y)关于y轴的对称点为P1(-x,y),点 以4cm为腰长时，三边长分别为2cm,4cm,4cm,可以构 P1(-x,y)关于直线y=m的对称点为P2(-x,2m 成三角形，所以等腰三角形的周长为2十4十4=10(cm). y).(1)因为点A的坐标为(3,4)，所以点A(3,4)关于y 轴和直线y=1的“青一对称点”A2的坐标是（一3，一2）. 易错警示 故答案为（一3，一2）.… …4分 当已知等腰三角形两边的长（未知是底还是 (2)因为点B(3m+n,m-n)关于y轴和直线y=m的 腰)，求第三边的长时，需分类讨论，注意当两边之 3m+n=9, 和≤第三边时无法构成三角形。 “青一对称点”B2的坐标是（一9,5），所以 2m-m十n=5, …6分 7.30° 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°， 解得m2, 因为CD=CE,所以∠CED=∠D. …8分 n=3. 因为∠ACB=∠CED+∠D=60,所以∠D=号X (3)点C(6x-5,2x+1)关于y轴和直线y=m的“青一 60°=30°. 对称点”C2为(5-6x,2m一2x-1).…9分 8.6因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD=12, 因为点C2在第二象限，所以5-6x<0,2m-2x-1>0, 所以∠A=∠ABD=15°， 所以>号<m合 1 ……10分 所以∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°. 因为满足条件的x的整数解有且只有一个， 在Rt△BCD中，∠DCB=90°，∠BDC=30°，BD=12, 所以1<m2≤2，解得名<m<是.…12分 1 5 所以BC=2BD=号×12=6 。12。 解题天招 含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和 证明线段倍分关系的重要依据.在这类题目中，当给 出的直角三角形中有一个角是15°时，常根据三角形 的外角等于与它不相邻的两个内角的和，把15°的角 转化为30°的角，从而利用这个性质解决问题 9.4如图. PsP,P 当OA=OP时，点P1,P2满足条件； 当AP=OP时，点P满足条件 当OA=AP时，点P,满足条件. 综上，满足条件的点P有4个. 10.解：因为BD=AD, 所以∠A=∠ABD=36°， …2分 所以∠BDC=∠A十∠ABD=72°.…4分 因为BD=BC, 所以∠BDC=∠BCD=72°，…6分 所以∠DBC=180°-72°-72°=36°.…8分 11.证明：如图，在AB上截取AD=AC,连接CD.…2分 B 因为∠A=60°，所以△ACD是等边三角形，…4分 所以CD=AD=AC,∠ADC=∠ACD=60°.…5分 因为AC=名AB,所以AD=名AB, 所以BD=AD=CD,…6分 所以∠B=∠BCD. 因为∠ADC=∠B+∠BCD=2∠BCD, 所以∠BCD=30°， …7分 所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°， 所以△ABC是直角三角形.…8分 12.解：(1)因为AB=AC,∠BAC=120°， 所以∠B=7(180-∠BAC)=2×180°-120)=30 …2分 因为AB的垂直平分线交BC于点D, 所以AD=BD, 所以∠BAD=∠B=30°，…4分 所以∠ADC=∠B+∠BAD=30°+30°=60°.·5分 (2)证明：因为∠ADC=60°，∠C=30°， 所以∠DAC=90°， 所以AD=2CD.…7分 由(I),得AD=BD,所以BD=2CD,即CD-2BD, …9分 13.D在等边三角形ABC中，∠ACB=60°，AB=AC 因为AD⊥BC, 所以D是BC的中点， 所以AD垂直平分线段BC, 所以EB=EC, 所以∠ECB=∠EBC=45°， 所以∠ACE=15°. 解题大招 所有的等边三角形都是等腰三角形，具有等腰 三角形的所有性质，每条边上的中线、高和所对角的 平分线互相重合(“三线合一”)，它们所在的直线都 是等边三角形的对称轴 14.D因为CD平分∠ACB,， 所以∠BCD=∠ECD=号∠ACB, 因为BE⊥CD 所以∠BDC=∠EDC=90°. 在△BCD和△ECD中， I∠BCD=∠ECD, CD=CD, ∠BDC=∠EDC, 所以△BCD≌△ECD(ASA), 所以DB=DE,BC=EC. 因为∠A=∠ABE, 所以AE=BE. 因为AC=10,BC=6, 所以EC=6,AE+EC=10, 所以AE=10-6=4. 因为BE=ED+DB=2DB=4, 所以DB=2. 15.C如图，作点B关于AD的对称点E,过点E作EN⊥ AB,垂足为N,EN交AD于点M. 一初中数学周末小测卷八年级上册RJ版 因为AD平分∠BAC, 所以点E在AC上. 由题意可知，AD⊥BE,且AD平分BE,所以EM= BM,AE=AB=8. 因为∠BAC=60°， 所以△ABE是等边三角形， 所以BM+MN=EM+MN=EN, 此时BM十MN的值最小. 在Rt△ENA中，∠AEN=90°-60°=30°， 所以BN=AN=2AE=4, 16.40如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E E 0 C 因为AO=B0=50cm,CO-DO=30cm, 所以AD=AO+D0=50+30=80(cm). 因为AO=BO,∠AOB=120°， 所以∠A=∠B=2180-∠A0B)=号×(180 1 120)=30°， 所以在Rt△ADE中，∠A=30°，AD=80cm, 所以DE=号AD=号×80=40Ccam, 1 即AB距离地面CD的高度是40cm. 17.2a因为BO平分∠ABC, 所以∠OBE-∠OBA. 因为OE∥AB, 所以∠EOB=∠OBA, 所以∠OBE=∠EOB, 所以BE=OE. 同理，OF=FC. 所以△OEF的周长为OE+EF+OF=BE+EF+ FC=BC=2a. 18.解：(1)证明：因为AE是∠BAC的平分线， 所以∠DAE=∠BAE.…1分 因为DE∥AB, 所以∠DEA=∠BAE,…2分 所以∠DAE=∠DEA, 所以AD=DE.… …4分 (2)因为AB=AC,AE是∠BAC的平分线， 所以AE⊥BC,…5分 所以∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°. 由(I),得∠CAE=∠DEA, 所以∠C=∠CED,… …7分 所以DE=CD. 因为DE=3, 所以AD=DE=CD=3,…8分 所以AC=6.…9分 19.解：(1)证明：因为△ABC为等边三角形， 所以∠ABC=∠A=∠ACB=60°.…1分 因为E为AB的中点， 所以BE=AE,CE⊥AB,CE是∠ACB的平分线， …2分 所以∠BEC=90°，∠BCE=30°， 所以2BE=CB.…3分 因为DE=EC, 所以∠EDC=∠ECD=30°，…4分 所以∠DEB=60°-30°=30°，…5分 所以BD=BE, 所以CB=2BD.…6分 (2)如图，过点E作EF∥BC,交AC于点F,…7分 所以∠ECB=∠FEC. D B 因为△ABC为等边三角形， 所以∠AFE=∠ACB=60°，∠AEF=∠ABC=-60°， BC=AB=12, 所以△AEF为等边三角形， …9分 所以∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE. 因为DE=EC, 所以∠EDB=∠ECB, 所以∠EDB=∠FEC. ∠EBD=∠CFE, 在△BDE和△FEC中，∠EDB=∠CEF, DE=EC, 所以△BDE≌△FEC(AAS),…11分 所以BD=EF, 所以BD=AE=2, 所以CD=BC+BD=12十2=14.…12分4.D当105的角是等腰三角形顶角的外角时，顶角的度数 20.解：(1)证明：因为△BOC≌△ADC, 为180°-105°=75°；当105°的角是等腰三角形底角的外 所以OC=DC.… …1分 角时，底角的度数为180°-105°=75°，则顶角的度数为 因为∠OCD=60°， 180°-75°-75°=30°. 所以△OCD是等边三角形.…3分 故这个等腰三角形顶角的度数为30°或75° (2)△AOD是直角三角形.…5分 易错警示 理由如下： 当求等腰三角形各角的度数时，若顶角和底角 因为△OCD是等边三角形， 不能确定，需进行分类讨论若已知角是钝角或直角， 所以∠ODC=60°. 6分 因为△BOC≌△ADC,a=150°， 则这个角只能是等腰三角形的顶角，若已知角是锐 角，则分这个已知角是顶角和底角两种情况讨论. 所以∠ADC=∠BOC=a=150°，7分 所以∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°， 所以△AOD是直角三角形.…8分 5.B由题意可知，∠B=∠C=2×(180°-1209=30 (3)因为△OCD是等边三角形， 因为ADLBC,所以AD=AB=3, 所以∠COD=∠ODC=60°. 因为∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=a, 6.B因为DE是线段AC的垂直平分线， 所以∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD= 所以DA=DC, 360°-110°-a-60°=190°-a, 所以∠DCA=∠A=48°， ∠ADO=∠ADC-∠ODC=a-60°， 所以∠BDC=∠DCA+∠A=96°， 所以∠OAD=180°-∠AOD-∠AD0=180°-(190°- 7.B因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形， a)一(a一60)=50°.…9分 所以∠ABC=∠C=72°. ①当∠AOD=∠ADO时，190°-a=a-60°， 因为BD平分∠ABC, 所以a=125°；…10分 所以∠CBD=∠ABD=名∠ABC=36, ②当∠AOD=∠OAD时，190°-a=50°， 所以∠A=180°-∠ABC-∠C=36°，∠BDC=180° 所以a=140°；…11分 ∠CBD-∠C=72°， ③当∠ADO=∠OAD时，a-60°=50°， 所以a=110°. 所以∠A=∠ABD,∠C=∠BDC, 综上所述，当a为110°或125°或140时，△AOD是等腰 所以△ABD,△BDC为等腰三角形， 三角形.…12分 所以题图中等腰三角形的个数为3. 8.A由题意可知，OB=CB,DB=AB,∠OBC= 解题大招 ∠ABD=60°， 先从要证的结论开始寻找它成立需具备的条 所以∠OBC+∠CBD=∠ABD+∠CBD,即 件，再从已知条件出发，看如何得到要满足的条件， ∠OBD=∠CBA, 从而找到解题的途径 所以△DBO≌△ABC(SAS),所以OD=AC=4, 所以点D的坐标为(4,0). 第个章综合检测·培优卷 9.D因为把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处， 1.DA,B,C选项都不能找到一条直线，沿这条直线对折， ∠CEF=a, 使直线两旁的部分能够完全重合. 所以∠DEB=∠DEF=号×(18o-a)=90-7a, 2.DA选项有8条对称轴，B选项有3条对称轴，C选项有 ∠BDE=∠FDE 6条对称轴，D选项有无数条对称轴， 3.C根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相 因为AC/DE,所以∠DEB=∠C=904 反数，得点P(2,1)关于x轴的对称点P'的坐标 是(2，-1). 因为AB=AC,所以∠B=∠C=90, 913。