第14章 全等三角形 综合检测·培优卷-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（人教版2024）

一初中数学周末测卷八年级上册RJ版 所以∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， 1 所以∠OBC+∠OCB=2（∠ABC+∠ACB)=2 110°=55°. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)= 180°-55°=125° 14.B因为AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB, 所以CD=DE 在Rt△ACD和Rt△AED中， (CD=ED, AD-AD, 所以Rt△ACD≌Rt△AED(HL), 所以AE=AC=12, 所以BE=15-12=3, 所以△BDE的周长为BD十DE十BE=BD十CD十 BE=BC+BE=9+3=12: 15.D如图，过点P作PD⊥AC于点D. M B -F ①因为PB平分∠ABC,PA平分∠EAC,PM⊥BE, PN⊥BF,PD⊥AC， 所以PM=PN,PM=PD, 所以PN=PD 因为PN⊥BF,PD⊥AC,点P在∠ACN内， 所以点P在∠ACF的平分线上，CP平分∠ACF,故① 正确。 ②因为PM⊥AB,PN⊥BC, 所以∠AMP=∠CNP=90°， 所以∠ABP+∠MPB=∠PBC+∠NPB=9O°， 所以∠ABC+∠MPN=180°. 在Rt△PAM和Rt△PAD中， (PM-PD, PA=PA, 所以Rt△PAM≌Rt△PAD(HL), 所以∠APM=∠APD. 同理可得，Rt△PCD≌Rt△PCN(HL), 所以∠CPD=∠CPN, 所以∠MPN=2∠APC, 所以∠ABC+2∠APC=180°，②正确， ③因为AP平分∠CAE,BP平分∠ABC, 所以∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM, 1 1 所以∠PAM=Z∠ABC+2∠ACB=∠ABP+ ∠ACR 因为∠PAM=∠ABP+∠APB, 所以∠ACB=2∠APB,③正确. ④由②可知，Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),Rt△PCD≌ Rt△PCN(HL), 所以SAAPD=SAAPM,S△PCD=S△PCN, 所以SAPAC=SAMP十SACP=SAAPC,故④正确. 综上所述，结论正确的个数为4. 16.42如图，过点O作OE⊥AB,垂足为E,作OF⊥AC, 垂足为F,连接OA. 6 因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC, 所以OE=OD,OD=OF, 所以OE=OF=OD=4. 所以△ABC的面积为SAAB十SAAx十S△Rc=ZAB· OE+号AC.0F+号BC·0D=×4XAB+AC+ BC)= 2×4X21=42. 解题大招 过点O作OE⊥AB,垂足为E,作OF⊥AC,垂 足为F,连接OA,根据角的平分线的性质求出OE= OD=OF=4,根据△ABC的面积等于△AOC的面 积、△OBC的面积、△AOB的面积的和，即可求出 答案 17.40如图，过点P作PE⊥BC,垂足为E,则∠BEP= ∠CEP=90°. D 因为AD⊥AB,AB∥CD, 所以∠BAP=∠CDP=90° 因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD=8cm, 因为D是BC的中点，DE⊥BC, BC=10 cm, 所以DB=DC,∠BDE=∠CDE=90°.…6分 所以AP=PE,PE=DP, (DB=DC, 所以AP=PE=PD=2AD=号X8=4(m). 在△BDE和△CDE中，∠BDE=∠CDE, DE=DE. 因为BP=BP, 所以△BDE≌△CDE(SAS), 所以Rt△EBP≌Rt△ABP(HL), 所以EB=EC. …9分 所以S△EBP=S△ABP· (EB=EC, 同理可得，△ECP≌△DCP, 在Rt△EFB和Rt△EGC中， EF=EG, 所以SAECP=S△DCP, 所以Rt△EFB≌Rt△EGC(HL), 所以Sem=2Sa四=2X号BC·PE=10X4= 所以BF=CG.…12分 20.证明：(1)如图1，过点I作AB,AC,BC的垂线，分别交 40(cm2). 于点M,N,K.…2分 18.证明：如图，过点E作EG⊥AD,垂足为G,EH⊥BC,垂 足为H.…2分 B G 图1 DH 因为BE,CF是△ABC的角平分线， 因为EF⊥AB,∠AEF=60°， 所以IK=IM,IK=IN,…4分 所以∠EAF=90°-∠AEF=90°-60°=30°. 所以IN=IM, 因为∠BAD=120°， 所以点I在∠BAC的平分线上.…6分 所以∠CAD=180°-∠BAD-∠EAF=180°-120° (2)如图2，过点F作AC的垂线，交CA的延长线于点G. 30°=30°， …8分 所以∠EAF=∠CAD=30°，即AC平分∠DAF.·4分 又因为EF⊥AF,EG⊥AD,所以EF=EG.…6分 由题意，得BE平分∠ABC,EF⊥AB,EH⊥BC,所以 EF=EH,…8分 图2 所以EG=EH,所以点E在∠ADC的平分线上， 因为CF是△ABC的角平分线，FT⊥BC,FG⊥CA, 所以DE平分∠ADC.…9分 所以FT=FG.…9分 解题大招 因为∠BAC=120°， 角平分线的性质与判定的关系：“性质”和“判 所以∠GAF=60°. 定”恰好是条件和结论的交换，性质是证明两条线段 因为AD是∠BAC的平分线， 相等的依据，判定是证明两角相等的依据 1 所以∠BAD=2∠BAC=60, 19.解：相等。 所以∠BAD=∠GAF,…11分 证明：如图，连接EB,EC.…2分 所以AB是∠GAD的平分线. 因为FG⊥AG,FL⊥AD,所以FL=FG,所以FT=FL. ……12分 第午色章 综合检测·培优卷 1.A 因为AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于点F,EG⊥ 2.C因为∠B=80°，∠C=30°， AC于点G, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=70. 所以EF=EG.…3分 因为△ABC≌△ADE, 。7。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 所以∠DAE=∠BAC=70°. 根据题意，得AF是∠CAB的平分线. 3.A如图 因为∠C=90°， 所以AC⊥CG. 因为GH⊥AB,CG=3, 所以CG=GH=3, 画一个三角形A'B'C',使∠A'=∠A,A'B'=AB, 所以Saw=号AB,GH=合×12X3=18, ∠B'=∠B,符合全等三角形的判定定理ASA 8.A如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E,DF⊥BC,垂足 4.A如图. 为F. A 由题意可知，ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E,F, 因为△ABD的面积为9，AB=6,所以DE=2X9=3. 6 ME=MF, 因为BM是∠ABC的平分线，所以DF=DE=3, 所以M在∠A的平分线上. 所以DP≥3. 5.A因为BC=CB,∠1=∠2，当AB=CD时，知道两边 一角，但是∠1与∠2不是两边的夹角，所以△ABC和 9.B因为OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA,AC⊥OB,所 △DCB不一定全等，故A选项符合题意. 以ED=EC. 因为BC=CB,∠1=∠2，AC=BD,所以△ABC≌ (OE=OE, 在Rt△OED和Rt△OEC中， △DCB(SAS),故B选项不符合题意. ED=EC, 因为∠A=∠D,∠1=∠2，BC=CB,所以△ABC≌ 所以Rt△OED≌Rt△OEC(HL),所以OD=OC, △DCB(AAS),故C选项不符合题意. ∠ODE=∠OCE,∠DOE=∠COE. 因为∠1=∠2，BC=CB,∠ABC=∠DCB,所以 在△AED和△BEC中， △ABC≌△DCB(ASA),故D选项不符合题意. ∠EDA=∠ECB, 6.A如图，过点B作BF⊥DF,垂足为F. ED-EC, ∠AED=∠BEC, 所以△AED≌△BEC(ASA), 所以AD=BC, D 所以OD+AD=OC+BC,即OA=OB. 因为顶端C恰好是托板AB的中点， 在△OAE和△OBE中， 所以BC-号AB=5cm (OA=OB, 因为射线DB恰好是∠CDE的平分线，BC⊥DC, ∠AOE=∠BOE, BF⊥DF, OE=OE, 所以BC=BF-5cm, 所以△OAE≌△OBE(SAS). 所以点B到DE的距离是5cm. 在△OAC和△OBD中， 7.B如图，过点G作GH⊥AB,垂足为H (OA=OB, C ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 所以△OAC≌△OBD(SAS) ●8。 易错警示 本题根据角的平分线的性质得到ED=EC,则 可利用“HL”判定Rt△OED≌Rt△OEC,根据全等 三角形的性质得出其他相等的线段也可用于证明另 外一组三角形全等，注意不要漏解 10.D延长ED,使DG=DE,连接CG,FG. E D 因为D为BC的中点， 所以BD=CD. 在△BDE和△CDG中， (BD=CD, ∠BDE=∠CDG, ED-GD, 所以△BDE≌△CDG(SAS), 所以BE=CG. 因为DE⊥DF, 所以∠EDF=∠GDF=90° 又因为ED=GD,FD=FD, 所以△EDF≌△GDF(SAS), 所以EF=FG. 因为CG+CF>FG, 所以BE十CF>EF. 因为BE=2,CF=3, 所以EF<5. 11.1因为△ABC≌△DEF, 所以AC=DF=3,BC=EF=5. 因为CF=7, 所以BF=CF-BC=7-5=2, 所以BD=DF-BF=3-2=1. 12.AC=BC(答案不唯一)已知∠A=∠B,∠C=∠C. 若添加AC=BC,则可根据ASA证明△CAD≌△CBE; 若添加CD=CE,则可根据AAS证明△CAD≌△CBE; 若添加AD=BE,则可根据AAS证明△CAD≌△CBE. 综上所述，若要证明△CAD≌△CBE,则可添加的一个 条件为AC=BC(答案不唯一). 13.26°在Rt△DCE中，∠EDC=32°， 则∠DEC=90°-∠EDC=90°-32°=58°， 由题意可知，CB=CE=1m. 在Rt△ACB和Rt△DCE中， (CB=CE, AB=DE, 所以Rt△ACB≌Rt△DCE(HL), 所以∠BAC=∠EDC=32°. 因为∠DEC是△AOE的外角， 所以∠AOE=∠DEC-∠BAC=58°-32°=26°. 14.4因为D为边BC的中点， 所以BD=CD, 因为BE∥CF, 所以∠E=∠CFD. 在△BDE与△CDF中， ∠E=∠CFD, ∠BDE=∠CDF, BD=CD 所以△BDE≌△CDF(AAS), 所以DE=DF. 因为AE=15,AF=7, 所以EF=15-7=8, 1 所以DE=2EF=4, 15.30如图，过点D作DE⊥AB,交BA的延长线于点E. B C 因为BD平分∠ABC, 所以DE=DC=4, 所以S四边形ABCD=S△ABD十S△BD -AB,DE+号BC.CD 1 =工×6×4+2×9×4 =30. 解题天招 求此类面积问题时，常通过“分割法”或“补型 法”将不规则图形转化为规则图形，再根据规则图形 的面积来进行和差求解 16.585°如图. 213 G 6 一专初中数学周未小测卷|八年级上册RJ版 因为AB=AZ,BC=ZV,∠B=∠Z, 所以△ABC≌△AZV, 所以∠1+∠7=180° 同理可得， ∠2+∠6=180°， ∠3+∠5=180°， ∠4=45°， 所以图中所标示的7个角的度数和为∠1十∠7十∠2十 ∠6+∠3+∠5+∠4=180°+180°+180°+45°=585°. 17.证明：因为BC∥AE,所以∠ACB=∠EAD.…2分 I∠ACB=∠EAD, 在△ABC和△EDA中，∠B=∠D, AB-ED. 所以△ABC≌△EDA(AAS), …4分 所以AC=AE.…6分 18.证明：因为DF∥BC, 所以∠F=∠OGC. 因为∠C=∠OGC, 所以∠F=∠C.…3分 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E, ∠C=∠F, AC=DF, 所以△ABC≌△DEF(AAS),…6分 所以BC=EF.…8分 19.证明：因为DE⊥OA,垂足为E,DF⊥OB,垂足为F, 所以∠DEO=∠DFO=90°. (OE=OF, 在Rt△EOD和Rt△FOD中， OD=OD, 所以Rt△EOD≌Rt△FOD(HL),…4分 所以∠EOD=∠FOD, 所以OC是∠AOB的平分线.…8分 20.解：(1)如图，AM即为所求. M D …4分 (2)如图. 由(1)可得，AM平分∠BAC, 所以∠BAM=∠CAM. 因为AB∥CD, 所以∠BAM=∠CMA=∠CAM.…6分 因为CN⊥AM, 所以∠CNM=∠CNA=90°. 在△CAN和△CMN中， ∠CAN=∠CMN, ∠CNA=∠CNM, CN=CN, 所以△CAN≌△CMN(AAS).…9分 21.解：(1)证明：因为AB∥CD, 所以∠ABE=∠CDF.…1分 因为AE∥CF, 所以∠AEB=∠CFD.… 2分 在△ABE和△CDF中， ∠ABE=∠CDF, BE=DF. ∠AEB=∠CFD, 所以△ABE≌△CDF(ASA).… …4分 (2)AF=CE.理由如下：… 5分 因为△ABE≌△CDF, 所以AB=CD. 因为DF=BE, 所以DF一EF=BE-EF, 即DE=BF,… 7分 在△ABF和△CDE中， (AB=CD, ∠ABF=∠CDE, BF=DE, 所以△ABF2△CDE(SAS). 所以AF=CE.…9分 22.解：(1)方案一可行.理由如下：…1分 由题意可知，A,O,B三点共线，CD=AC,CE=BC AC=DC, 在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE, BC=EC, 所以△ABC≌△DEC(SAS), 所以AB=DE, 即测得DE的长就是AB的长.…3分 (2)方案二可行理由如下：…4分 因为BF⊥AB,DE⊥BF, 所以∠ABC=∠EDC=90°， ∠ABC=∠EDC, 在△ABC和△EDC中，BC=DC, ∠ACB=∠ECD, 所以△ABC≌△EDC(ASA), 所以AB=ED, 即测得DE的长就是AB的长.…7分 (3)小明的想法可行理由如下：…8分 (2)证明：如图，作AH⊥DC,垂足为H,AJ⊥BE,垂足 因为AB∥DE, 为J.…8分 所以∠ABC=∠EDC, 由(1)，得△ADC≌△ABE, ∠ABC=∠EDC, 所以SAAC=SAABE,DC=BE.…9分 在△ABC和△EDC中，BC=DC, 因为SA-名DC·AH-号BE·AH, ∠ACB=∠ECD, 所以△ABC≌△EDC(ASA), SAIE=2BE·AJ, 所以AB=ED, 所以号BE·AH=BE·A, 即测得DE的长就是AB的长.…I0分 所以AH=AJ,…10分 23.解：(1)依题意，得BP=2t. 所以点A在∠DFE的平分线上，即FA平分∠DFE. 因为BC=6, …12分 所以PC=BC-BP=6-2t, 第十五章轴对称 故答案为6一2t.…4分 (2)当t=1时，△BPD与△CQP全等理由如下： 第⑤周图形的轴对称 …6分 1.A只有A选项沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 依题意，得BP=2,CQ=2, 相重合 所以BP=CQ=2,PC=BC-BP=4. 2.C面积相等的三角形不一定全等，故A选项不符合 因为AC=AB=8,D为AB的中点， 题意； 如果|a=|b|,那么a=士b,故B选项不符合题意； 所以∠B=∠C,DB=AB=4, 内错角相等，两直线平行，正确，故C选项符合题意； 所以DB=PC=4. 对应角相等的三角形不一定全等，故D选项不符合题意. (BP=CQ, 3.C因为△ABC与△DEF关于直线I对称，所以△ABC≌ 在△BPD与△CQP中，∠B=∠C, △DEF,所以BC=EF=8cm. 因为△ABC的周长为23cm,AB=6cm, DB=PC, 所以△BPD≌△CQP(SAS).…10分 所以AC=23-6-8=9(cm),所以AC的长为9cm. 4.A因为AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于 24.解：(1)如图，记DC交AB于点I. 点E,AC=8,BC=5, 因为∠DAB=∠EAC=90°， 所以AE=BE,所以△BCE的周长为BE十CE十BC= 所以∠DAC=∠BAE=90°+∠BAC.·2分 AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13. AD-AB 解题大招 在△ADC和△ABE中，∠DAC=∠BAE, AC=AE, 根据垂直平分线的性质可得，AE=BE,通过等 式的基本性质把△BCE的周长转化为AC与BC 所以△ADC≌△ABE(SAS),…4分 的和。 所以∠ADC=∠ABE, 所以∠BFD=∠BID-∠ABE=∠BID-∠ADC= 5.C因为点P到点A,B,C的距离相等， ∠DAB=90°.…6分 所以PA=PB=PC, 。9●一本初中数学周末小测卷八年级上册RJ版 第 章 综合检测·培优卷 ⊙时间：90分钟分值：120分 8得分： ☑答案：P50 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如图，已知两个三角形全等，则α的大小为 弥 529 h 58o 709 b A.52 B.589 C.609 D.70 2.如图，△ABC≌△ADE,∠B=80°，∠C=30°，则∠DAE的度数 为 () A.90° B.80° C.70° D.60 C B 拟 封 第2题图 第3题图 3.如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所 学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形 完全一样的依据是 () A.ASA B.SAS C.AAS D.SSS 4.两个完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放，使三角尺的一 条直角边分别与△ABC的边AB,AC重合，它们的顶点重合于 蜜 点M,则点M一定在 () A.∠A的平分线上 B.边AC的高上 C.∠B的平分线上 D.边AB的中线上 B 线 M 第4题图 第5题图 5.如图，已知∠1=∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成 剂 立的是 () A.AB-CD B.AC-BD C.∠A=∠D D.∠ABC=∠DCB 6.新考法真实问题情意境如图1，一个平板电脑支架由托板、支撑 板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意 图.托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，支撑板 的顶端C恰好是托板AB的中点.现量得AB=10cm,当CD⊥ AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到DE的距离 是 () E 图1 图2 A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径 作弧，分别交AB,AC于点D,E,再分别以点D,E为圆心，以大 于2DE的长度为半径作弧，两弧交于点F,作射线AF交BC 于点G.若AB=12,CG=3,则△ABG的面积是 () A.12 B.18 C.24 D.36 D D P C 第7题图 第8题图 8.如图，BM是∠ABC的平分线，D是BM上一点，P为直线BC 上的一个动点.若△ABD的面积为9，AB=6,则线段DP的长 不可能是 () A.2 B.3 C.4 D.5.5 9.易错题如图，BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分别为D,C,BD,AC 相交于点E,连接OE.若OE是∠AOB的平分线，则图中的全 等三角形有 () A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥DF,垂足为D, DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.若BE=2, CF=3,则EF的值可能为 () A.7 B.6 C.5 D.4 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，已知△ABC≌△DEF,点C,D,B,F在同一条直线上， AC=3,EF=5,CF=7,则BD= DB F 第11题图 第12题图 12.新考法开放性试题如图，在△CAD与△CBE中，点D在BC 上，点E在AC上，∠A=∠B.若要证明△CAD≌△CBE,则 可添加的一个条件为 13.新考法真实问题情境如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯 子底部B到墙角C的距离为1m.若梯子底部B沿水平方向向 右滑动至点D,梯子顶部A落在竖直墙体的点E处，此时梯子 与水平地面的夹角∠EDC=32°，点E到墙角C的距离为1m, 则∠AOE的度数为 B D E 第13题图 第14题图 14.如图，在△ABC中，D为边BC的中点，连接AD,E,F为直线 AD上的点，连接BE,CF,且BE∥CF.若AE=15,AF=7,则 DE的长度为 15.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分 ∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积 是 第15题图 第16题图 16.D一个4×4的正方形网格如图所示，图中所标示的7个角的 度数之和为 。11。 一初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 三、解答题（共72分） 17.(6分)如图，已知∠B=∠D,BC∥AE,AB=DE,点C在线段 AD上.求证：AC=AE. 18.(8分)如图，在△ABC中，点D在边AB上，EF分别交BC, AC于点G,O,DF∥BC,AC=DF,∠C=∠OGC,∠B=∠E 求证：BC=EF. 19.(8分)如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，过 点D作DE⊥OA,垂足为E,DF⊥OB,垂足为F,OE=OF.求 证：OC是∠AOB的平分线. 20.(9分)如图，AB∥CD. (1)作∠A的平分线交CD于点M. (2)过点C作CN⊥AM,垂足为N.求证：△CAN≌△CMN. 。12。 21.(9分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E,F在BD上， 且DF=BE,连接AE,CF,且AE∥CF. (1)求证：△ABE≌△CDF (2)连接AF,CE,AF与CE有什么数量关系？请说明理由. 22.新考法综合与实践(10分) 【问题情境】 如图1，这是一个圆形喷水池，水池的中心 O处有一喷水装置，数学活动小组计划使用 皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡， 无法直接测量，该如何准确测量呢？（水池 边缘厚度忽略不计) 【方案设计】 图1 方案一：如图2，先在水池边上取A,B两点，使得A,O,B三点 共线，再在水池外取一点C,测得AC,BC的长，在射线AC, BC上分别取点D,E,使得CD=AC,CE=BC,最后测得DE 的长，便可求出AB的长. 方案二：如图3，先在水池边上取A,B两点，使得A,O,B三点 共线，过点B作AB的垂线BF,垂足为B,在BF上取C,D两 点，使BC=CD.过点D作BD的垂线DE,垂足为D,交AC的 延长线于点E,最后测得DE的长，便可求出AB的长. F 图2 图3 【问题解决】 (1)理论上，方案一是否可行？请说明理由， (2)理论上，方案二是否可行？请说明理由. (3)小明同学提出，在方案二中，并不一定需要BF⊥AB,DE⊥ BF,只需要AB∥DE即可，小明的想法是否可行？请说明 理由. 23.(10分)如图，在△ABC中，∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6,弥 D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速 度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒2个单 位长度的速度由点C向点A运动.设运动时间为ts(0≤t≤3). (1)线段PC= (用含t的代数式表示)； (2)若点P,Q的运动速度相等，t=1时，△BPD与△CQP是 否全等，请说明理由. Q 封 24.D(12分)如图，在Rt△ABD和Rt△ACE中，AD=AB, AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°，连接CD,BE相交于点F, 连接FA. (1)求∠BFD的度数； (2)求证：FA平分∠DFE. 线