第14章 第4周 角的平分线-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（人教版2024）

一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 第 周 角的平分线 ⊙时间：45分钟 号分值：100分 8得分：■ ⑦答案：P50 基础测·教材变式 弥 一、选择题（每题3分，共15分） 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,若AC=10,AD=7,则点D到AB的距离为( 洲 A.6 B.5 C.4 D.3 2新考法过程性学习甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC.如图，现要在道路AB边上建一个 休息点M,使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置. 栽 封 甲的作图 乙的作图 丙的作图 丁的作图 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.如图，若OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 ( A.PC-PD B.OC-PC C.∠CPO=∠DPO D.OC-OD C B 蜜 D B 第3题图 第4题图 4.如图，为了促进当地旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建 假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在 线 A.△ABC三边中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三边高线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 5.如图，小明将两把完全相同的长方形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P,边OA与 一把直尺边缘的交点为C,∠CPO和∠COP的关系是 A 莽 A.∠CPO=∠COP B.3∠CPO<∠COP C.∠CPO>∠COP D.不能确定 二、填空题（每题3分，共12分） 6.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离等于5，D是OB上任意一点，则PD的最小值是 7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=6,BD是∠ABC的平分线.若△BCD的面积为6，则AD= D ) D 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距 离为 9.如图，直线AB,CD相交于点O,ME⊥AB,垂足为E,MF⊥CD,垂足为F.若OE=OF,∠AOC= 56°，则∠OME的度数为 三、解答题（共25分） 10.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB并与AB相交于点D,DE⊥AC,垂足 为E.求证：BC=EC. 11.(8分)如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD,垂足为M,PN⊥ CD,垂足为N.求证：PM=PN. 12.新考法真实问题情境(9分)图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE. 个度 (1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，点D,E分别在边AB,AC上，沿AF 所在直线画一条射线AP,交BC于点P.AP是∠BAC的平分线吗？说明理由， (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q,若PQ=6,AC=9,求△OPC的面积. 另外 A双(O) A双(O) D 图1 图2 图3 。09。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 能力测·迁移运用 一、选择题（每题3分，共9分） 13.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE.若OF=OD= OE,∠BAC=70°，则∠BOC的度数为 () B D C A.70° B.120° C.125° D.130° 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线与BC相交于点D,DE⊥AB,垂足为E.若 BC=9,AC=12,AB=15,则△BDE的周长为 () A AE D B A.6 B.12 C.15 D.21 15.如图，在△ABC中，∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP相交于点P,延长BA,BC,过点P作 PM⊥BE,PN⊥BF,垂足分别为M,N.有下列结论：①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC= 180°；③∠ACB=2∠APB;④S△Pac=SAMAP十S△NCP,其中正确的个数为 () E M CNF A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每题3分，共6分） 16.如图，已知△ABC的周长是21，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,垂足为D,且OD= 4,则△ABC的面积是 17.D如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直，若AD= 8cm,BC=10cm,则四边形ABCD的面积是 cm2. BA D 。109 三、解答题（共33分） 18.(9分)如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=120°，∠ABC的平分线BE与AC相交于点 E,过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F,且∠AEF=60°，连接DE.求证：DE平分∠ADC. B 弥 19.D(12分)如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB,交 AB于点F,EG⊥AC,交AC的延长线于点G.问：BF与CG有什么数量关系？证明你的结论. 封 思维测·拓展创新 20.D(12分)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，BE,CF是△ABC的角平分线，且相交于点I. (1)如图1，连接AI.求证：点I在∠BAC的平分线上. (2)如图2，延长AI交BC于点D,过点F作FT⊥BC,垂足为T,作FL⊥AD,垂足为L.求 证：FT=FL. 图1 图2 线一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 理由如下： 证明：如图. 因为AB=AC,AD=AE, 所以AB-AD=AC-AE,即BD=CE. 由(1)可知，△ACD≌△ABE,所以∠B=∠C. ∠BFD=∠CFE, 在△BDF和△CEF中，∠B=∠C, 因为BD,CE是△ABC的高， 所以BD⊥DC,CE⊥EB, BD=CE, 所以∠1+∠CAE=90°，∠2+∠DAB=90°. 所以△BDF≌△CEF(AAS).…8分 因为∠CAE=∠DAB,所以∠1=∠2. (3)AF是∠CAB的平分线.…9分 (QC=AB, 理由如下： 在△QAC和△APB中，{∠1=∠2， 由(2)可知，△BDF≌△CEF,所以DF=EF. CA=BP, (AD-AE, 所以△QAC≌△APB(SAS), 在△ADF和△AEF中，DF=EF, 所以AQ=PA,∠QAC=∠P.…10分 AF=AF, 因为∠PDA=90°， 所以△ADF≌△AEF(SSS), …11分 所以∠P+∠PAD=90°， 所以∠DAF=∠EAF, 所以∠QAC+∠PAD=90°， 所以AF是∠CAB的平分线.…12分 所以∠QAP=90°，所以AQ⊥AP. 故AP与AQ之间的关系为AP=AQ,AP⊥AQ.·12分 解题大招 第④周角的平分线 证明两个三角形全等的主要思路有：(1)已知两 边：找第三边(SSS)、夹角(SAS)或直角(HL);(2)已 1.D由题意可得，∠C=90°，BD平分∠ABC,则点D到 BC的距离等于CD的长度： 知两角：找夹边(ASA)或角的对边(AAS);(3)已知 因为AC=10,AD=7, 一边一角：①边为角的邻边，则找角的另一边(SAS) 所以CD=AC-AD=10-7=3. 或找同边的另一角(ASA)或找边的对角(AAS); 根据角平分线的性质，得点D到AB的距离为3. ②边为角的对边，则找边的邻角(AAS). 2.C因为点M到AC和BC两边的距离相等， 20.解：(1)AP=AQ,AP⊥AQ. 所以M为∠ACB的平分线与AB的交点，所以丙同学的 作图正确. 因为BD,CE是△ABC的高， 3.B因为OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,所以 所以BD⊥AC,CE⊥AB, PC=PD,所以A选项正确，不符合题意；∠OCP= 所以∠1+∠CAB=90°，∠2+∠CAB=90°， ∠ODP=90°，OP=OP,所以△OPC≌△OPD;OC=PC 所以∠1=∠2.… …2分 无法确定，所以B选项错误，符合题意；由△OPC≌ (QC=AB, △OPD,得∠CPO=∠DPO,所以C选项正确，不符合题 在△QAC和△APB中，∠1=∠2， 意；由△OPC≌△OPD,得OC=OD,所以D选项正确， CA=BP, 不符合题意. 所以△QAC≌△APB(SAS),…3分 4.B设∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.如图，过点 所以AQ=PA,∠QAC=∠P.…4分 O作OP⊥AB,垂足为P,作OQ⊥BC,垂足为Q,作 因为∠DAP+∠P=90°，所以∠DAP+∠QAC=90, OR⊥AC,垂足为R. 即∠QAP=90°，所以AQ⊥AP. D 故AP与AQ之间的关系为AP=AQ,AP⊥AQ. BA …6分 Q (2)仍然成立.…8分 由角的平分线的性质可得，OP=OQ,OQ=OR, 。66 所以OP=OQ=OR,所以点O就是度假村的位置， 所以度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上. 5.A如图，过点P作PN⊥OB,垂足为N. A M 由题意，得PM=PN. 因为PM⊥OA, 所以OP平分∠AOB, 所以∠COP=∠NOP, 因为PC∥OB, 所以∠CPO=∠NOP, 所以∠COP=∠CPO. 6.5因为点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离 等于5， 所以点P到OB的距离为5， 所以PD≥5，所以PD的最小值是5. 7.2如图，过点D作DH⊥BC于点H. D 因为∠A=90°， 所以DA⊥AB. 因为BD是∠ABC的平分线， 所以DH=DA. 因为△BCD的面积为2BC·DH=6,BC=6, 所以DH=2,所以AD=2. 8.3如图，过点P作PF⊥AC,垂足为F,作PG⊥AB,垂 足为G,作PH⊥BC,垂足为H,则PF=3. F C D A 由角的平分线的性质可得，PG=PH=PF=3, 所以点P到AB的距离为3. 9.28°因为ME⊥AB,MF⊥CD, 所以∠OEM=∠OFM=90°， 所以∠FOM+∠FMO=90°，∠EOM+∠EMO=90°， 所以∠FOE+∠FME=180°. 因为∠FOE+∠AOC=180°， 所以∠FME=∠AOC=56°. 因为ME⊥AB,MF⊥CD,OE=OF, 所以OM平分∠FME, 所以∠OME= ∠FME= 1 2×56°=28， 解题大招 判定角的平分线的步骤：(1)构造或找出与角的 两边分别垂直的线段（两条垂线段有一个公共端 点)：(2)证明两条垂线段相等. 10.证明：因为CD平分∠ACB,DE⊥AC,∠ABC=90°， 所以∠DBC=∠DEC=90°，DB=DE.…4分 (DC=DC, 在Rt△BCD和Rt△ECD中， DB-DE. 所以Rt△BCD≌Rt△ECD(HL),所以BC=EC.·8分 11.证明：因为BD为∠ABC的平分线， 所以∠ABD=∠CBD. (AB=BC, 在△ABD和△CBD中，∠ABD=∠CBD, BD=BD, 所以△ABD≌△CBD(SAS),所以∠ADB=∠CDB. …4分 因为点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, 所以PM=PN. …8分 12.解：(1)AP是∠BAC的平分线.…1分 AD-AE, 理由：在△ADF和△AEF中，FD=FE, AF-AF, 所以△ADF≌△AEF(SSS),…3分 所以∠DAF=∠EAF, 所以AP是∠BAC的平分线.…4分 (2)如图，过点P作PG⊥AC于点G …5分 A双(O) D G 因为AP平分∠BAC,PQ⊥AB, 所以PG=PQ=6. …7分 因为AC=9,PG=6, 1 所以S60m=2AC·PG=2X9X6=27.…9分 13.C因为OF=OD=OE, 所以O是△ABC的三条角平分线的交点. 因为∠BAC=70°， 一初中数学周末测卷八年级上册RJ版 所以∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， 1 所以∠OBC+∠OCB=2（∠ABC+∠ACB)=2 110°=55°. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)= 180°-55°=125° 14.B因为AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB, 所以CD=DE 在Rt△ACD和Rt△AED中， (CD=ED, AD-AD, 所以Rt△ACD≌Rt△AED(HL), 所以AE=AC=12, 所以BE=15-12=3, 所以△BDE的周长为BD十DE十BE=BD十CD十 BE=BC+BE=9+3=12: 15.D如图，过点P作PD⊥AC于点D. M B -F ①因为PB平分∠ABC,PA平分∠EAC,PM⊥BE, PN⊥BF,PD⊥AC， 所以PM=PN,PM=PD, 所以PN=PD 因为PN⊥BF,PD⊥AC,点P在∠ACN内， 所以点P在∠ACF的平分线上，CP平分∠ACF,故① 正确。 ②因为PM⊥AB,PN⊥BC, 所以∠AMP=∠CNP=90°， 所以∠ABP+∠MPB=∠PBC+∠NPB=9O°， 所以∠ABC+∠MPN=180°. 在Rt△PAM和Rt△PAD中， (PM-PD, PA=PA, 所以Rt△PAM≌Rt△PAD(HL), 所以∠APM=∠APD. 同理可得，Rt△PCD≌Rt△PCN(HL), 所以∠CPD=∠CPN, 所以∠MPN=2∠APC, 所以∠ABC+2∠APC=180°，②正确， ③因为AP平分∠CAE,BP平分∠ABC, 所以∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM, 1 1 所以∠PAM=Z∠ABC+2∠ACB=∠ABP+ ∠ACR 因为∠PAM=∠ABP+∠APB, 所以∠ACB=2∠APB,③正确. ④由②可知，Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),Rt△PCD≌ Rt△PCN(HL), 所以SAAPD=SAAPM,S△PCD=S△PCN, 所以SAPAC=SAMP十SACP=SAAPC,故④正确. 综上所述，结论正确的个数为4. 16.42如图，过点O作OE⊥AB,垂足为E,作OF⊥AC, 垂足为F,连接OA. 6 因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC, 所以OE=OD,OD=OF, 所以OE=OF=OD=4. 所以△ABC的面积为SAAB十SAAx十S△Rc=ZAB· OE+号AC.0F+号BC·0D=×4XAB+AC+ BC)= 2×4X21=42. 解题大招 过点O作OE⊥AB,垂足为E,作OF⊥AC,垂 足为F,连接OA,根据角的平分线的性质求出OE= OD=OF=4,根据△ABC的面积等于△AOC的面 积、△OBC的面积、△AOB的面积的和，即可求出 答案 17.40如图，过点P作PE⊥BC,垂足为E,则∠BEP= ∠CEP=90°. D 因为AD⊥AB,AB∥CD, 所以∠BAP=∠CDP=90° 因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD=8cm, 因为D是BC的中点，DE⊥BC, BC=10 cm, 所以DB=DC,∠BDE=∠CDE=90°.…6分 所以AP=PE,PE=DP, (DB=DC, 所以AP=PE=PD=2AD=号X8=4(m). 在△BDE和△CDE中，∠BDE=∠CDE, DE=DE. 因为BP=BP, 所以△BDE≌△CDE(SAS), 所以Rt△EBP≌Rt△ABP(HL), 所以EB=EC. …9分 所以S△EBP=S△ABP· (EB=EC, 同理可得，△ECP≌△DCP, 在Rt△EFB和Rt△EGC中， EF=EG, 所以SAECP=S△DCP, 所以Rt△EFB≌Rt△EGC(HL), 所以Sem=2Sa四=2X号BC·PE=10X4= 所以BF=CG.…12分 20.证明：(1)如图1，过点I作AB,AC,BC的垂线，分别交 40(cm2). 于点M,N,K.…2分 18.证明：如图，过点E作EG⊥AD,垂足为G,EH⊥BC,垂 足为H.…2分 B G 图1 DH 因为BE,CF是△ABC的角平分线， 因为EF⊥AB,∠AEF=60°， 所以IK=IM,IK=IN,…4分 所以∠EAF=90°-∠AEF=90°-60°=30°. 所以IN=IM, 因为∠BAD=120°， 所以点I在∠BAC的平分线上.…6分 所以∠CAD=180°-∠BAD-∠EAF=180°-120° (2)如图2，过点F作AC的垂线，交CA的延长线于点G. 30°=30°， …8分 所以∠EAF=∠CAD=30°，即AC平分∠DAF.·4分 又因为EF⊥AF,EG⊥AD,所以EF=EG.…6分 由题意，得BE平分∠ABC,EF⊥AB,EH⊥BC,所以 EF=EH,…8分 图2 所以EG=EH,所以点E在∠ADC的平分线上， 因为CF是△ABC的角平分线，FT⊥BC,FG⊥CA, 所以DE平分∠ADC.…9分 所以FT=FG.…9分 解题大招 因为∠BAC=120°， 角平分线的性质与判定的关系：“性质”和“判 所以∠GAF=60°. 定”恰好是条件和结论的交换，性质是证明两条线段 因为AD是∠BAC的平分线， 相等的依据，判定是证明两角相等的依据 1 所以∠BAD=2∠BAC=60, 19.解：相等。 所以∠BAD=∠GAF,…11分 证明：如图，连接EB,EC.…2分 所以AB是∠GAD的平分线. 因为FG⊥AG,FL⊥AD,所以FL=FG,所以FT=FL. ……12分 第午色章 综合检测·培优卷 1.A 因为AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于点F,EG⊥ 2.C因为∠B=80°，∠C=30°， AC于点G, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=70. 所以EF=EG.…3分 因为△ABC≌△ADE, 。7。