第13章 三角形 综合检测·培优卷-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（人教版2024）

一初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 ③当∠M=3∠N时，2∠A=3(90-2∠A), 解题大招 根据三角形的中线平分三角形的面积得到 ∠A=135°影…11分 SACBD-SAABD=2SACDE. ④当∠N=3ZM时，902∠A-8∠A, 8.C①因为∠A+∠B=-∠C,∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=45°. 所以2∠C=180°， 综上所述，∠A的度数为60°或120°或135或45° 所以∠C=90°， …12分 所以△ABC是直角三角形. 易错警示 ②因为∠A:∠B:∠C=1:2:3, 在△BMN中，当存在一个内角等于另一个内角 3 所以∠C=1+2+3X180°=90， 的3倍时，分①∠NBM=3∠M,②∠NBM=3∠N, 所以△ABC是直角三角形. ③∠M=3∠N,④∠N=3∠M四种情况讨论，注意 ③因为∠A=90°-∠B, 不要漏解 所以∠A+∠B=90°， 第个白章综合检测·培优卷 所以△ABC是直角三角形. 1.D等边三角形一定是锐角三角形，一定不是钝角三角形. ④因为∠A=∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A=∠B=∠C=60°， 2.A根据三角形的外角性质，得∠1=∠2十90° 所以△ABC不是直角三角形， ,∠1=120°，.∠2=∠1-90°=30°. ⑤因为∠A=2∠B=3∠C, 3.B根据题图可知，BC=8m,AB=2m,CD=3m. 设在篱笆CD上接上的新的篱笆长度为xm. 所以设∠C=x,则∠A=3x,∠B= 22 若要围成一个三角形的空地，则8-2<3十x<8十2， 因为∠A+∠B+∠C=180°， 解得3<x<7故只有选项B符合题意。 所以x+3x+号x=180, 4.D根据题意可得，∠4=∠1=45°，∠5=∠3=65°， ∠2=∠6 由三角形的内角和定理及平角的定义，得∠2=∠6= 所以∠A-(),B=(9,c-(0 180°-45°-(180°-65°×2)=85°. 所以△ABC不是直角三角形. 5.C露出两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以 因此能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共有3个. 判断出三角形类型，故选项A不符合题意；露出的角是钝9.C因为AD,BE,CF为△ABC的角平分线， 角，因此是钝角三角形，故选项B不符合题意；露出的角 所以可设∠BAD=∠CAD=x,∠ABE=∠CBE=y, 是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类 ∠BCF=∠ACF=, 型，故选项C符合题意；露出的角是钝角，因此是钝角三 所以2x+2y+2z=180°，即x+y+z=90° 角形，故选项D不符合题意 在△AHB中，∠AHE=x十y=90°-x, 在△CHG中，∠CHG=90°-z, 6.B①当腰长为3时，另两边长为3,7. 所以∠AHE=∠CHG. 因为3十3<7，不满足三角形的三边关系， 解题大招 所以舍去。 先根据AD,BE,CF为△ABC的角平分线，可 ②当底边长为3时，另两边长为5,5. 设∠BAD=∠CAD=x,∠ABE=∠CBE=y, 因为5十5>3，满足三角形的三边关系， ∠BCF=∠ACF=之.由三角形的内角和定理可知， 所以该等腰三角形的三边长为5,5,3，底边长为3. 2x+2y+2x=180°，即x+y+z=90°.在△AHB 7.B因为BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线， 中，由三角形外角的性质可知，∠AHE=x十y= 所以S△cBD=S△ABD=2S△cDE=16, 90°-x,在△CHG中，∠CHG=90°-z,即可得 所以SACDE=8. ∠AHE=∠CHG. 2 10.C因为BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平 分线， 所以∠A,BC=2∠ABC,∠A,CD-2∠ACD. 因为∠ACD=∠ABC+∠A,∠A,CD=∠A1BC+∠A1, 所以2(ZABC+∠A)=2∠ABC+∠A1, 所以∠A,=2∠A 因为∠A=a, 所以∠A=号 同理可得，∠A2= 22A=, 所以∠A-受， 所以∠A2026=22026· 解题大招 根据角平分线的定义和三角形的外角性质可 得，∠ACD=∠A+∠ABC,∠ACD=∠ABC+ ∠A1,整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2,可 以发现后一个角等于前一个角的2，根据此规律即 可得解。 11.=根据重心是三角形三条中线的交点，得BD=CD. 12.6由题意可得，∠CEB=∠CEA=∠ADB= ∠ADC=90°， 所以△ADC,△ADB,△CEA,△CEB,△PDC,△PEA 是直角三角形，共有6个 13.12或14设三角形的第三边长为x. 因为三角形的两边长分别为3和5， 所以第三边长的取值范围为2<x<8. 因为第三边长为偶数， 所以第三边长为4或6， 所以这个三角形的周长为12或14. 14.70°由题意，得∠BCD=∠ECD=45°，∠B=∠CED. 因为∠A=25°， 所以∠B=90°-25°=65°， 所以∠CED=65°， 所以∠CDE=180°-∠ECD-∠CED=180°-45° 65°=70°. 15.90°因为BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是 ∠ACB外角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°， 所以∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°， ∠PBC=∠ABP=20°，∠PCM=∠ACP=50°， 所以∠A=∠ACM-∠ABC=100°-40°=60°， ∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°， 所以∠A十∠P=60°+30°=90°. 16.125°由题意可知，AO平分∠BAC,∠BAO=35°， 所以∠BAC=2∠BAO=70°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°. 因为O是△ABC三条角平分线的交点， 所以∠OBC=7LABC,∠OCB=2∠ACB, 所以∠OBC+∠OCB=号∠ABC+号∠ACB= 2(∠ABC+∠ACB)=2×10=5, 所以∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125. 17.解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°， 所以∠A+∠B=180°-∠C=90. …2分 因为∠A=4∠B, 所以4∠B十∠B=5∠B=90°，…4分 所以∠B=18°.…6分 18.解：如图，在△ABC中，AB=AC,BD是边AC上的 中线， 所以设AD=CD=x,则AB=AC=2x, 所以AB+AD=3x,BC+CD=BC+x.…3分 若AB+AD=15,则BC+CD=21,得x=5, 所以腰长为10，底边长为16；…5分 若AB+AD=21,则BC+CD=15,得x=7, 所以腰长为14，底边长为8.…7分 综上，该三角形的腰长和底边长分别为10,16或14,8. …8分 易错警示 分腰长与腰长的一半是21和15两种情况，求出 腰长，再求出底边长，然后利用三角形的任意两边之 和大于第三边进行判断，避免漏解。 19.解：因为AD平分∠BAC,∠1=40°， 所以∠BAC=2∠1=80°.…2分 一专初中数学周未小测卷|八年级上册RJ版 在△ABC中，∠C=60°，∠B+∠BAC+∠C=180°， 所以∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-60°=40°. …4分 因为∠EDF是△ABD的外角， 所以∠EDF=∠B+∠1=40°十40°=80°.…6分 因为EF⊥BC,所以∠DEF=90°. 所以在Rt△EDF中，∠F=90°-∠EDF=90°-80°=10°. …8分 20.解：(1)由三角形外角的性质可得，∠BFC=∠BEF十 ∠EBF,∠BEF=∠A+∠ACE, 所以∠BF℃=∠A+∠ACE+∠ABD=45°+12°+24°=81° …4分 (2)证明：因为∠ABC=90°，∠ABD=24°， 所以∠CBF=∠ABC-∠ABD=90°-24°=66° …6分 因为∠BFC=81°，所以∠BCF=180°-∠BFC ∠CBF=180°-81°-66°=33°， 折以∠BCF=号∠CBF,…9分 21.解：(1)因为∠A与∠B互为“友爱角”，且∠A>∠B, 所以∠B=号∠A,所以∠A=2∠B.1分 在△ABC中，∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°，…2分 所以2∠B+∠B=90°， 所以∠B=30°，所以∠A=2∠B=60°.…4分 (2)△ACD,△BCD都是“友爱三角形”.理由如下： 因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°. 在Rt△ACD中，∠A=60°， 所以∠ACD=90°-∠A=30°， 所以∠ACD=2∠A, 所以∠ACD与∠A互为“友爱角”，△ACD是“友爱三角 形”.…7分 在Rt△BCD中，∠B=30°， 所以∠BCD=90°-∠B=60°， 所以∠B=号∠BCD, 所以∠BCD与∠B互为“友爱角”，△BCD是“友爱三角 形”.… …9分 22.解：(1)根据题意可知，三根木条的长度分别为xcm, x cm,(18-2x)cm, 所以x=18一2x,解得x=6.…4分 (2)根据题意可知，三根木条长度分别为xcm,xcm, (18-2x)cm. 由三角形的三边关系可得，z一(18一2x)1<x 〔x+(18-2x)>x, ①当x-(18-2x)≥0，即x≥6时， 〔x+(18-2x)>x, 则 解得x<9, x-(18-2x)<x, 所以6≤x<9.…7分 ②当x-(18-2x)<0,即x<6时， x+(18-2x)>x, 则 9 (18-2x)-x<x 解得2<x<9, 所以号<x<6…9分 9 综上所述x的取值范围为2<x<9.…10分 解题大招 (1)抓住等边三角形三条边长相等的性质，通过方程 求解。 (2)根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边，列出不等式，然后根据不同情况分别求解化 简，得出x的取值范围. 23.解：(1)∠EAD与∠B,∠C之间的关系为∠EAD= 号（∠C-∠B).理由如下：…2分 因为AE平分∠BAC, 所以∠BAE-名∠BAC 因为∠BAC=180°-∠B-∠C, 所以∠BAE-2180°-∠B∠C)=90-2∠B-日 ∠c. …3分 因为∠AEC=∠B+∠BAE, 所以∠ABC=∠B+90°-2∠B-号∠C=90+ 号∠B-3∠c …4分 因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°， 所以∠EAD=90-∠ABC=90°-(90+2∠B 分∠C）-2（∠C-∠B.…5分 (2)0∠EFD=2（ZC-∠B.…7分 理由：因为AE平分∠BAC, 所以∠BAE=名∠BAC, 因为∠BAC=180°-∠B-∠C, 因为AE平分∠OAB,所以∠BAE=∠OAE, 所以∠BAE=号(180°-∠B-∠C)=90-∠B 所以∠BEF=∠AFO=∠BFE.…4分 (2)因为∠AOB=90°，∠OAB=58°， 74C. 所以∠ABO=90°-∠OAB=32°， 因为∠AEC=∠B+∠BAE, 所以∠ABN=180°-∠ABO=148°. 因为CD平分∠NBA, 所以∠ABC=∠B+90-号∠B-7∠C=90+ 所以∠ABC=∠NBA=7, 3∠B-3∠c 所以∠OBE=180°-∠ABO-∠ABC=74°. 因为FD⊥BC,所以∠FDB=90°， 因为∠BOG=90°，且OE平分∠BOG, 所以∠EFD=90-∠AEC=90°-(90+2∠B 所以∠BOE=名∠BOG=45, ∠c)-2c-2B. 所以∠OEB=180°-∠OBE-∠BOE=61°.·8分 …9分 (3)因为CD平分∠NBA,BF平分∠OBA, ②当点F继续移动到AE的延长线上时，FD⊥BC, ①中的结论还成立理由如下： 所以∠ABC-∠NBA,∠ABF-号∠OBA, 如图. 所以∠CBF=∠ABC+∠ABF=2(ZNBA+∠OBA) 合×180r=0, 所以∠EBF=180°-∠CBF=90°， 所以∠F+∠BEF=90°. 因为∠BOG=90°，且OE平分∠BOG, 因为AE平分∠BAC, 所以∠BOE=合∠0G=45 所以∠BAE=号∠BAC, 由三角形外角的性质可得，∠BOE=∠F+∠OBF =45°， 因为∠BAC=180°-∠B-∠C, 所以∠F<45°，所以∠BEF>45°.…10分 所以∠BAE=}(180°-∠B-∠C)=90-号∠B 当∠EBF=3∠F时，∠F=30°， C. 所以∠BEF=60°， 所以∠OBE=180°-∠BOE-∠BEF=75°， 因为∠BEF=∠B+∠BAE, 所以∠OBF=∠EBF-∠OBE=15°， 所以∠BEF-∠B+90-合∠B-名∠C-90+ 所以∠ABO=2∠OBF=30°， 所以∠BAO=90°-∠ABO=60°.…11分 3∠B∠c 当∠BEF=3∠F时. 因为FD⊥BC,所以∠FDC=90°， 因为∠BEF+∠F=90°， 所以∠EFD=90-∠BEF=90-(90+号∠B 所以∠F=22.5°， 所以∠BEF=67.5°， 2∠c)-2zc-∠B. 10分 所以∠OBE=180°-∠BOE-∠BEF=67.5°， 所以∠OBF=∠EBF-∠OBE=22.5°， 24.解：(1)证明：因为ON⊥GM,CD⊥AB, 所以∠ABO=2∠OBF=45°， 所以∠ABE=∠AOF=90°， 所以∠BAO=90°-∠ABO=45°. 所以∠BEF+∠BAE=90°，∠OAE+∠AFO=90°. 综上所述，∠BAO的度数为60°或45°.…12分 …2分 93。一李初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 第《 章 综合检测·培优卷 ⊙时间：90分钟号分值：120分 凸得分： @答案：P47 一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列说法正确的是 弥 A.一个直角三角形一定不是等腰三角形 n B.一个钝角三角形一定不是等腰三角形 C.一个等腰三角形一定不是锐角三角形 D.一个等边三角形一定不是钝角三角形 2.新考法跨学科试题体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为 如图2所示的几何图形，若∠1=120°，则∠2的度数为() 00 侧压腿 拟 图1 图2 封 A.30 B.40° C.60° D.1209 3.新考法真实问题情境为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆 围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB,BC,CD,这三 段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB,CD可分别绕轴BE,CF 转动若要围成一个三角形的空地，则在篱笆CD上接上的新的 篱笆长度可以为 () m m 8m C A.3 m B.4 m C.8 m D.9 m 线 4.新考法跨学科试题如图，光线α照射到平面镜CD上，然后在平 面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于人射角.若已 知∠1=45°，∠3=65°，则∠2的度数为 () 禁 62 C D A70° B.75 C.80° D.85 5.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角 形类型的是 B 6.若等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的 底边长为 A.7 B.3 C.7或3 D.8 7.如图，BD,CE分别为△ABC,△BCD的中线，若△ABD的面 积为16，则△CDE的面积为 A.4 B.8 C.2 D.16 8.下列条件：①∠A十∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3; ③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=∠C;⑤∠A=2∠B=3∠C. 其中能确定△ABC是直角三角形的条件有 () A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 9.如图，在△ABC中，角平分线AD,BE,CF相交于点H,过点H 作HG⊥AC,垂足为G,则∠AHE和∠CHG的大小关系为 () EG A.∠AHE>∠CHG B.∠AHE<∠CHG C.∠AHE=∠CHG D.不一定 10.新考法推理能力如图，已知△ABC的内角∠A=a,分别作内 角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1,得 ∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2…以 此类推得到∠A2o26,则∠A226的度数为 () B. 2025 C.a 22026 D.90°+g 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，O是△ABC的重心，则BD CD.(填“>”“<”或 “=”) 12.如图，AD,CE为等边三角形ABC的两条高，且AD与CE相 交于点P,则图中的直角三角形共有 个 B D 13.已知三角形的两边长分别为3和5，第三条边长为偶数，则这个 三角形的周长为 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，将 △CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处.若 ∠A=25°，则∠CDE= C B4--- 15.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB外角的平 分线，若∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A十∠P= 20° 50 B C M 16.如图，O是△ABC三条角平分线的交点，∠BAO=35°，则 ∠BOC= B 三、解答题（共72分） 17.(6分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=4∠B,求∠B的度数. 。03· 一本初中数学周末小测卷|八年级上册RJ版 18.□易错题(8分)已知等腰三角形一条腰上的中线将三角形的 周长分成15和21两部分，求该三角形的腰长和底边长。 19.(8分)如图，AD平分∠BAC,F是AD反向延长线上的一点， EF⊥BC,∠1=40°，∠C=60°，求∠F的度数. D E 20.(9分)如图，在△ABC中，∠ABD=24°，∠A=45°，∠ACE=12° (1)求∠BFC的度数； (2)若∠ABC=90,求证：∠BCF=2∠CBE. 21.新定义问题(9分)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一 个角的？，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友 爱三角形”.例如，在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么 ∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC是“友爱三角形”.如图， △ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A> ∠B),∠ACB=90°. (1)求∠A,∠B的度数. (2)在△ABC中，若CD是边AB上的高，则△ACD,△BCD 。04。 都是“友爱三角形”吗？为什么？ 22.(10分)如图，有一根长度为18cm的木条，从两端各截取长度 为xcm的木条， (1)若得到的三根木条能组成等边三角形，求x的值； (2)若得到的三根木条能组成三角形，求x的取值范围. x cm x cm 23.D(10分)如图1，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AE平分 ∠BAC(∠C>∠B). (1)试探究∠EAD与∠B,∠C之间的关系，并说明理由. (2)若F是AE上一动点. ①如图2，若点F移动到AE之间的位置时，FD⊥BC,探究此 时∠EFD与∠B,∠C之间的关系，并说明理由， ②当点F继续移动到AE的延长线上时，FD⊥BC,①中的结 论是否还成立.如果成立，请说明理由，如果不成立，写出新的 结论 ED 图1 图2 24.(12分)已知ON⊥GM,垂足为O,直线CD交ON于点B, 点A在射线OM上. (1)如图1，若CD⊥AB于点B,AE平分∠OAB,交CD于点 E,交ON于点F,求证：∠BEF=∠BFE; (2)如图2，若CD平分∠NBA,OE平分∠BOG交CD于 点E,∠OAB=58°，求∠OEB的度数； (3)如图3，若CD平分∠NBA,OE平分∠BOG交CD于 点E,BF平分∠OBA交OE的反向延长线于点F,在△BEF弥 中，如果一个角是另一个角的3倍，求∠BAO的度数 N N C B E E D D E F G G G F 图1 图2 图3 封 线