15.3等腰三角形课件2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 15.3等腰三角形 1.理解等腰三角形的概念. 2.探索并证明等腰三角形的性质定理，并用以解决实际问题.（重难点） 学 习 目 标 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形. 如图，△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，则AB，AC为腰，BC为底边，两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角. 知 识 回 顾 A B C D 如图，在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角. 情 境 导 入 重合的线段： 重合的角： A B C D 猜想:等腰三角形的两个底角相等. ☀思考：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. AB与AC，BD与CD； ∠BAD与∠CAD，∠B与∠C，∠ADB与∠ADC. 讲 授 新 课 在△ABD和△ACD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， A B C D 已知：△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C. 还有其他的证法吗？ 证明：作底边BC的中线AD． ∴△ABD ≌△ACD(SSS)． ∴∠B=∠C． 讲 授 新 课 已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C. A B C D 证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. AB=AC , ∠BAD=∠CAD , AD=AD , ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C . 在△BAD和△CAD中 讲 授 新 课 ☀注意 应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中. ☀归纳 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. 新 知 小 结 ☀思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC= 90°， 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . 讲 授 新 课 ☀归纳 等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ①∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD. ②∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC ，BD=CD. ③∵AB=AC，BD=CD，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. 新 知 小 结 （1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相等或线段垂直. （2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 新 知 小 结 例 如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 解：∵AB=AC,BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD（等边对等角）. 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36° 所以在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 典 例 精 析 1.已知等腰三角形的底角为顶角的2倍，则这个等腰三角形的顶角的度数为___________. 36° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ） A.40° B.36° C.80° D.25° B 随 堂 检 测 3.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（　　） A.10 B.5 C.4 D.3 B 随 堂 检 测 4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠BAC=100°,求∠B和∠1的度数. 解：∵AB＝AC,D是BC边上的中点， ∴∠B＝∠C,AD⊥BC. ∴∠B＝(180°－∠BAC) ＝(180°－100°) ＝40°, ∠1＝90°－∠B＝90°－40°＝50°. 随 堂 检 测 解：∵∠BAD=26°，AB=AD， ∴∠B=∠ADB= ×(180°-26°)=77°. ∵AD=CD， ∴∠C=∠DAC. ∵∠ADB=77°，∠ADB=∠C+∠DAC， ∴∠C= ∠ADB=38.5°. 5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 随 堂 检 测 “等边对等角” 等腰三角形的性质 “三线合一” 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 课 堂 总 结 15.3.1等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 1.理解等腰三角形的判定，体会等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”的区别.（重点） 2.探索并掌握等腰三角形的判定的过程，并用以解决实际问题.（难点） 学 习 目 标 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）. 知 识 回 顾 我们知道，如果有一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等. ☀思考 你能证明这个结论吗？ 情 境 导 入 ∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， 如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC. A C B D 证明：如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D， ∴∠BAD=∠CAD. ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴ AB=AC. 讲 授 新 课 ☀注意 应用“等角对等边”的前提条件是在同一个三角形中. ☀归纳 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，（简写成“等角对等边”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴△ABC是等腰三角形，即AB=AC. 新 知 小 结 “等边对等角”与“等角对等边”的区别： 等腰三角形的性质： 两边相等 这两边所对的角相等 等腰三角形的判定： 两角相等 这两角所对的边相等 拓 展 提 升 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 分析：命题的证明首先需要将命题转化为已知、求证的格式，再要根据题意画出图形，最后证明结论的成立. 已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD//BC 求证：AB=AC. 典 例 精 析 ∵AD平分∠CAE， ∴∠1=∠2. 分析：要证明AB=AC，可先证明∠B= ∠C.因为∠1=∠2.所以可以设法找出∠B,∠C，与∠1，∠2的关系. 已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD//BC. 求证：AB=AC. 证明：∵AD//BC， ∴∠1=∠B,∠2=∠C. ∴∠B=∠C， ∴AB=AC. 典 例 精 析 则△ABC就是所求作的等腰三角形. 例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. a h A B C D M N 作法：（1）作线段AB=a. （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. （3）在MN上取一点C，使得DC=h. （4）连接AC，BC. 典 例 精 析 解：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°， ∴∠ABC=72°. ∵∠DBC=36°， ∴∠2=∠ABC-∠DBC=36°. ∵∠1=∠A+∠2=72°， ∴AD=BD=BC，AB=AC. 如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形. 图中的等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD. 针 对 练 习 1.下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是(　　) A．a＝3，b＝3，c＝4　　　　　　 B．a：b：c＝2：3：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B ：∠C＝1：1：2 B 随 堂 检 测 2.如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3　　　 　 　B．4　　　 　 　 C．5　　　 　 　D．6 C 随 堂 检 测 3.在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝120°，AB＝6，则AC的长为________． 4.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，则∠F的度数为( 　) A．30° B．35° C．55° D．60° 6 D 随 堂 检 测 5.如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形． 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵DE⊥BC， ∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BED＝90°. ∵∠BED＝∠AEF， ∴∠B＋∠AEF＝90°. ∴∠F＝∠AEF， ∴AE＝AF. ∴△AEF是等腰三角形． 随 堂 检 测 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形 用尺规作等腰三角形 课 堂 总 结 15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 1.理解等边三角形的定义、性质以及等边三角形的判定方法.（重点） 2.探索并掌握等边三角形性质、判定方法的证明过程，并用以解决几何推理问题.（难点） 学 习 目 标 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？ 可以设计出两种形状的三角形，如图所示. 情 境 导 入 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 两条边相等 三条边相等 等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质. 讲 授 新 课 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到等边三角形的什么性质？ 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 讲 授 新 课 A B C ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 如图，△ABC为等边三角形.证明：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：∵AB=BC=CA， ∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）. 讲 授 新 课 ☀归纳 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵AB=BC=AC， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 新 知 小 结 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. A B C 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线也相互重合. 讲 授 新 课 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线. A B C 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴. 讲 授 新 课 ☀思考1：等腰三角形如何判定？ 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 那么三角形的三个内角都相等是否可以判定它是等边三角形？如果能，你能给出证明过程吗？ 思 考 证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC. ∵∠B=∠C， ∴AC=AB. ∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形. ☀归纳 判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形. 新 知 小 结 ☀思考2：等腰三角形有两边相等，能否添加什么条件使等腰三角形成为等边三角形呢？ 结论：1.等腰三角形的腰和底边相等； 2.有一个角是60°的等腰三角形； 结论1其实就是三边相等的三角形，也即是等边三角形.你能证明结论2吗？ 思 考 如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=60°. 证明：△ABC是等边三角形. ∴∠A=∠B=∠C=60°. ∴△ABC是等边三角形. 证明：∵AB=AC，∴∠C=∠B . ∵∠A=60°∴∠B+∠C=180°-∠A=120°. 讲 授 新 课 ∴△ABC是等边三角形. 如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠B=60°. 证明：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB=AC，∠B=60°， ∴∠C=∠B=60° . ∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°， ∴∠A=∠B=∠C. 讲 授 新 课 这个角可以是顶角也可以是底角 ☀归纳 判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 新 知 小 结 例1 如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形. ∴△ADE是等边三角形. A B C D E 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C. ∵DE//BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴∠A=∠ADE=∠AED. 典 例 精 析 1.如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE交于点O，则∠BOC的度数为(　　) A.60° B.90° C.120° D.150° C 随 堂 检 测 2.下列四个说法中，正确的是（ ） ①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 D 随 堂 检 测 3.如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y＝________． 3 解析：因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC， 即2x＋3＝6－x＝2y－1，解方程2x＋3＝6－x，可得x＝1. 所以6－x＝5.所以2y－1＝5，解得y＝3. 随 堂 检 测 4.如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，连接BD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD. 求证：BF＝EF. 证明：∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE. ∵在等边三角形ABC中，D是AC的中点， ∴∠DCB＝60°，BD⊥AC. ∴∠DBC＝90°－60°＝30°. ∵∠BCD＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝×60°＝30°. ∴∠DBC＝∠E.∴BD＝ED. ∵DF⊥BC， ∴BF＝EF. 随 堂 检 测 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵D为AC的中点，∴AD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)． ∴∠A＝∠C，∴BA＝BC. ∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 随 堂 检 测 定义 等边三角形 三边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 性质 判定 1.三个角都相等的三角形是等边三角形; 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 课 堂 总 结 15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 1.掌握含有30°角的直角三角形的性质和应用.（重点） 2.探索并证明含有30°角的直角三角形的性质，并用以解决实际问题.（难点） 学 习 目 标 如图，在△ABC中，∠C=90，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论?再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗?证明你的结论. A C B 30° 通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半. 情 境 导 入 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB. A B C D 证明：延长BC到D，使 CD=BC，连接AD.则AC是BD的垂直平分线. ∴ AB=AD. 又BD=2BC，∴BC=AB. 又∵∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°， ∴△ABD是等边三角形.∴BD=AB. 讲 授 新 课 E A B C ∴BC= AB．　　 证明方法: 截半法 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵∠B=60°，BE=BC.∴ △BCE是等边三角形. ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°= 30°. ∴ AE=EC.∴ AE=BE=BC. ∴ AB=AE+BE=2BC 讲 授 新 课 ☀归纳 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ∵∠A=30°，∴BC= AB. 思 考 例 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°.立柱BC,DE的长? 答：立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85 m. 解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB,DE=AD. ∴BC=×7.4=3.7. 又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85. 典 例 精 析 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，CD=8 cm，则BC的长度是多少？ 解：∵CD是斜边AB边上的高， ∴∠BDC=90°. ∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8 cm， ∴BC=2CD=16 cm. B C A D 针 对 练 习 1.如图，一水库迎水坡AB的长度为20 m，斜坡与水平面的夹角α为30°，则迎水坡的高度是_______m. 2.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D.若PC＝4，则线段PD的长为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 10 B 随 堂 检 测 3.若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ） A.75°或15° B.75° C.15° D.75°或30° A 随 堂 检 测 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长． 解：连接AD. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠DAC＝ ∠BAC＝60°.∴∠C＝30°. ∵DE⊥AC，∴∠ADE＝30°. 在Rt△AED中，∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝4. 在Rt△ADC中，∠C＝30°，∴AC＝2AD＝8. ∴CE＝AC－AE＝8－2＝6. 随 堂 检 测 文字语言 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 几何语言 几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°∵∠A=30°，∴BC= AB. 课 堂 总 结 $