15.1 图形的轴对称课件2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

15.1 图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 1.通过观察实例，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念.（重点） 2.掌握轴对称图形的性质和成轴对称的两个图形的性质.（难点） 学 习 目 标 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！ ☀思考 你还能举出生活中见到的对称现象吗？ 情 境 导 入 如图是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案(折痕处不要完全剪断)，再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗? 以上图形沿着一条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合. 讲 授 新 课 ☀归纳 轴对称图形的定义： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，我们也说这个图形关于这条直线对称. 讲 授 新 课 例1 判断以下图形是不是轴对称图形. 典 例 精 析 下面每对图形有什么共同点？ 把图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合。 思 考 D A′ A B C B′ C′ D′ 请你标出图中点A,B,C,D的对称点A′,B′,C′,D′. ☀归纳 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称，同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 新 知 小 结 仔细观察，下列两个图形有什么区别和联系？ 轴对称图形 两个图形成轴对称 思 考 联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. ☀归纳 区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能够重合；两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合. 讲 授 新 课 如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对称点，线段AA'，BB'，CC'与直线MN有什么关系？ C' B B' A' M N A C 合 作 探 究 ∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称， ∴将△ABC沿着MN折叠后能和△A'B'C'完全重合. 设AA'，BB'，CC'分别交直线MN于点P，E，F， 则有AP=A'P,∠MPA=∠MPA'=90°; BE=B'E，∠MEB=∠MEB'=90°； CF=C'F，∠MFC=∠MFC'=90°. C' B B' A' M N A C F E P 因此，对称轴经过对称点所连线段的 中点，并且垂直于这条线段. 合 作 探 究 轴对称图形也具有类似2的性质.如图，五边形ABCDE是轴对称图形，直线l是一条对称轴，则直线l垂直平分对称点所连线段AA'，BB'. A B D C l E ☀归纳 轴对称的性质： 1.成轴对称的两个图形全等. 2.成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 新 知 小 结 ☀归纳 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 新 知 小 结 例2 如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称，则以下结论中错误的是（ ） A.AB∥DF B.∠B=∠E C.AB=DE D.AD的连线被直线MN垂直平分 A B C D E F M N A △ABC≌△DEF 点A与点D是对称点 典 例 精 析 1.下列表情图中，属于轴对称图形的是（ ） 2.下列图形中，对称轴最多的是（ ） A.长方形 B.正方形 C.角 D.圆 D D 随 堂 检 测 3.如图，下面4组图形中，成轴对称的有（ ） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 4.小明从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是_________. A 12:01 随 堂 检 测 5.如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线l成轴对称． (1)在图中标出点A，B，C的对称点A′，B′，C′； (2)若AB＝5，则对应线段A′B′＝________； (3)若∠A＝50°，∠C′＝20°，求∠B的度数． 5 (3)∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠C＝∠C′＝20°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－50°－20°＝110°. 解：(1)点A′，B′，C′如图所示．　 随 堂 检 测 轴对称图形 轴对称及其性质 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称 两个图形成轴对称图形 轴对称和轴对称图形的性质 1.成轴对称的两个图形全等. 2.成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 课 堂 总 结 15.1.1 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 1.理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定.（重点） 2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.（难点) 3.掌握逆命题及逆定理的概念，会判定命题的逆命题及逆命题是否成立. 学 习 目 标 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的重直平分线的性质. 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反应了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离有什么关系？ 情 境 导 入 如图,直线l垂直平分线段AB,点P1,P2,P3,…在l上,分别比较点P1,P2,P3,…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B 通过测量发现： ＝ ＝ ＝ 讲 授 新 课 A B l P1 P2 P3 我把线段AB沿着直线l对折，发现线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等. ☀思考 由此你能得到什么结论？ 讲 授 新 课 ☀思考 你能证明这个性质吗？ ☀归纳 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 符号表示：如图, 直线l⊥AB,垂足为C， AC=BC，点P在l上，则有PA=PB. A B l C P 新 知 小 结 如图,直线l⊥AB,垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证：PA=PB. A B l C P 当点P与点C不重合时，∵ l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB. 又AC=BC，PC=PC， ∴△PAC≌△PBC（SAS）. ∴PA=PB. 证明：当点P与点C重合时，显然成立. 讲 授 新 课 A B P 如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 讲 授 新 课 证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O. A B P l O ∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. ∵l⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA=PB， PO=PO， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）. ∴AO=BO. 讲 授 新 课 A B l O P ☀归纳 线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 符号表示：如图，已知线段AB， ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 新 知 小 结 从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 讲 授 新 课 例1 如图，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D为AE上一点，求证：∠ABD=∠ACD. E B C D A 在△ABD和△ACD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， 证明：∵AE是线段BC的垂直平分线，D为AE上一点，∴AB=AC，BD=DC. ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠ABD=∠ACD. 典 例 精 析 ☀思考 分析前面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 这两个命题的题设和结论正好相反. 讲 授 新 课 ☀归纳 前面的两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题. 讲 授 新 课 例2 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立？ （1）对顶角相等； （2）两直线平行，内错角相等. 解：（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.不成立. （2）内错角相等，两直线平行.成立. 典 例 精 析 1.如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB，AC，BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在(　　) A.三边垂直平分线的交点 B.三边中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边上高所在直线的交点 A 随 堂 检 测 2.下列命题的逆命题是成立的是的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．全等三角形的对应边相等 D．对顶角相等 D 随 堂 检 测 3.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是________． 13 解析：∵DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝AD＋BD. ∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝5＋8＝13. 随 堂 检 测 4.如图，C是△ABE的边BE上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE.其中正确的结论有(　　) A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 B 解析：∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 又∵AB＝AC，∴直线AD是BC的垂直平分线．故①正确． ∵AB＝CE，∴AB＋BD＝CE＋CD＝DE. 故④正确．②③不能得出．故选B. 随 堂 检 测 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接BE.求证：BE垂直平分CD. 证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠ACB＝90°. ∵BD＝BC，BE＝BE， ∴Rt△BED≌Rt△BEC，点B在CD的垂直平分线上， ∴DE＝CE，∴点E在CD的垂直平分线上， ∴BE垂直平分CD. 随 堂 检 测 性质 线段的垂直平分线的性质与判定 判定 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 逆命题与逆定理 课 堂 总 结 15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的作法与应用 1. 会用尺规作图作线段的作垂直平分线；（重点） 2. 能作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图.（难点） 3.会用尺规作图经过一已知点作已知直线的垂线.(重点) 学 习 目 标 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 符号表示：如图, 直线l⊥AB,垂足为C， AC=BC，点P在l上，则有PA=PB. A B l C P 知 识 回 顾 A B l O P 线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 符号表示：如图，已知线段AB， ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 知 识 回 顾 思考：如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ A B 如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线，由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两点.根据与A,B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点. 讲 授 新 课 A B C D （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点. （2）作直线CD. CD就是线段AB的垂直平分线. 作法： 讲 授 新 课 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此，我们只要找到一对应点，作出连接它们的线段的垂直平分可以得到这两个图形的对称轴. A B C A′ C′ B′ 1.有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢?不折叠图形能准确地作出轴对称图形的对称轴吗? 思 考 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ C A B (2)作直线CD. 作法: (1) 连接AB,分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧(想一想为什么)，两弧相交于点C，D两点. D 直线CD就是所求作的垂线. 这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图.我们也可以用这种方法确定线段的中点. 讲 授 新 课 对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 图中的五角星,我们可以找出它的一对对应点A和A′,连接AA′,作出线段AA′的垂直平分线,则就是这个五角星的条对称轴. A A′ 2.对于轴对称图形，我们作出它们的对称轴？ 如图中的五角星，你能作出它的称轴吗？ 思 考 例1 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴. 解：延长BC，B′C′交于点P，延长AC，A′C′交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l. A B C A ′ B ′ C ′ l P Q 典 例 精 析 (1)作对称轴的依据:如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; (2)作对称轴的步骤: ①找:找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； ②连:连接这对对应点； ③作:作出对应点所连线段的垂直平分线这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 新 知 小 结 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C(如图).求作：AB的垂线，使它经过点C. A B C . 分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线.我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点.根据前面关于线段垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可. 典 例 精 析 A B C D E 作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点D和E； 典 例 精 析 F A B C D E （2）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F; （3）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. 典 例 精 析 1.如图，电信部门要在公路l旁修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在(　　) A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 C 随 堂 检 测 2．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是(　　) B 　 随 堂 练 习 3.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN交AB于点D，连接CD.若∠A＝∠ADC=50°，则∠ACB的度数为________． 105° 随 堂 检 测 4.如题图，△ABC与△DFE关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在题图①与②中分别作出直线 l. 解：如答图①，过BC，EF的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l.如答图②，过BC，FE的延长线的交点和AC，DE的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l. 随 堂 检 测 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，请你用直尺和圆规作边AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E.(要求：保留作图痕迹，不写作法) 解：如题图所示，直线DE即为所求． 随 堂 练 习 尺规作图—作线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的作法与应用 尺规作图—作对称轴 过已知点作已知直线的垂线 课 堂 总 结 $