专题4.2 对数（第一课时）（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题4.2 对数（第一课时） 教学目标 1.理解对数的概念； 2.知道自然对数和常用对数； 3.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化。 4.通过理解和掌握对数的概念，求简单的对数值，培养学生的数学抽象及数学运算素养 教学重难点 1.重点 理解和掌握对数的概念； 2.难点 熟练掌握指对数形式的互化，会求简单的对数值. 知识点01 对数的概念 1.对数的概念： 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中，a叫作对数的底数，N叫作真数． 2.对数（且）的性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3.两种特殊的对数 （1）常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，； （2）自然对数：以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 【即学即练】 1．有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 2．若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 知识点02 对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 【即学即练】 1．将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】根据对数的定义化指数式为对数式即可. 【解析】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 2．将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；（4） 【分析】根据指数与对数的运算规则即可将（1）~（4）化为相对应的指数式. 【解析】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 知识点03 对数恒等式 已知a>0，a≠1，N＞0，b∈R.（1）logaab＝b；(2) alogaN＝N 【即学即练】 1．计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【解析】因为． 故选：B． 2．计算（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：. 故选：B. 题型01 对数的概念 【典例1】若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】下列命题中：①；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对①，，故①正确； 对②，对数式中的真数恒大于0，所以一个数如果不是正数，它就没有对数，故 ②正确； 对③，因为，但它不能化成对数式，故③错误； 对④，由对数式知，所以，故④错误. 故选B. 【变式2】若，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】由. 故选B. 【变式3】对数中实数a的取值范围是____________ 【答案】 【解析】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故答案为： 题型02 指数式与对数式的互化 【典例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． 将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】答案见解析 【解析】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式 【变式1】将下列指数式与对数式互化． (1)log216＝4； (2) ＝6； (3)43＝64； (4)3－3＝. 【答案】答案见解析 【解析】(1)因为log216＝4，所以24＝16. (2)因为＝6，所以()6＝x. (3)因为43＝64，所以log464＝3. (4)因为3－3＝，所以log3＝－3. 【变式2】已知，，则 . 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【解析】因为，则， 又因为，则. 故答案为： 【变式3】已知（，且），求的值； 【答案】12 【解析】由得，因此． 【变式4】已知且，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据对数式和指数式的互化，结合指数幂的运算，即可求得答案. 【解析】由已知且，， 得，则， 故， 故答案为： 【变式5】解关于的方程： 【答案】 【解析】由得， 所以， 由于，所以，故， 故方程的解为 题型03 利用对数恒等式化简求值 【典例1】计算： ． 【答案】3 【解析】． 故答案为：3. 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式1】计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【解析】. 故选：D 【变式2】 ． 【答案】18 【解析】. 故答案为：18 【变式3】计算 . 【答案】4 【解析】原式. 故答案为：4. 题型04 对数的性质 【典例1】求下列各式中x的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log3(log4(log5x))＝0. 【答案】答案见解析 【解析】(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. (3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，∴x＝54＝625. 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂； (2)已知指数与幂，用指数式求底数； (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． 【变式1】已知log23＝a，则4a＋4－a的值为________． 【答案】 【解析】因为log23＝a，所以4a＋4－a＝＋＝＋ ＝＋＝32＋3－2＝ 【变式2】若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________． 【答案】 【解析】∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，∴10b＝3，∴＝＝ 【变式3】若logm2＝a，logm3＝b，则的值为________． 【答案】18 【解析】因为logm2＝a，logm3＝b，所以ma＝2，mb＝3，即＝ma×(mb)2＝2×32＝18 1．下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对于A，，所以A错误；对于B，，所以B正确；对于C，由，得，所以C错误；对于D，无意义，所以D错误． 故选：B 2．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】依题意， 原方程等价于 即，显然只有一个正实根. 故选：B. 3．方程9x－6·3x－7＝0，则x＝（    ） A．log37 B．log73 C．7 D．－1 【答案】A 【解析】设3x＝t(t＞0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，即3x＝7.∴x＝log37. 故选：A 4．方程解的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【答案】A 【解析】根据对数符号有意义可得，即且， 再根据题意可得，即， 解得或， 因为和均不满足且， 所以原方程解的个数为0. 故选：A. 5．春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 【答案】A 【解析】静止时，即时，， 时，， 所以， 故选：A. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以10为底的对数叫作常用对数 D.以e为底的对数叫作自然对数 【答案】ACD 【解析】A，C，D正确，B不正确，任何一个底大于零且不等于1的指数式都可以化为对数式，这是对数的定义，如(－5)2＝25就不能写成log(－5)25＝2. 故选：ACD. 8．（多选）下列结论正确的是（    ） A.lg(lg10)＝0 B.若10＝lg x，则x＝10 C.若e＝ln x，则x＝e2 D.使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是(1，2)∪(2，＋∞) 【答案】AD 【解析】lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；若10＝lg x，则x＝1010，故B错误；若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；要使log(x－1)(x＋2)有意义，需 ∴∴D正确. 故选：AD. 9．（多选）下列指数式与对数式互化正确的有(　　) A.e0＝1与ln 1＝0 B.log39＝2与9＝3 C.8－＝与log8＝－ D.log77＝1与71＝7 【答案】ACD 【解析】log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误；A，C，D正确. 故选：ACD. 10．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝0，则x＝________，y＝________. 【答案】3 4 【解析】∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1，∴x＝3. ∵log3(log4y)＝0，∴log4y＝1，∴y＝4. 故答案为：3 4 11．已知，，则 . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【解析】由，得，而， 所以. 故答案为： 12．方程3log2x＝的解是x＝________. 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【解析】　∵3 log2x＝3－3， ∴log2x＝－3，x＝2－3＝.　　. 故答案为： 13．求值 【解析】 . 14．已知函数． (1)解关于x的方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）根据题意得，，即， 解得或舍去，所以； （2）不等式对任意恒成立，即恒成立， 当时，有，所以，则， 所以实数的取值范围为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 对数（第一课时） 教学目标 1.理解对数的概念； 2.知道自然对数和常用对数； 3.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化。 4.通过理解和掌握对数的概念，求简单的对数值，培养学生的数学抽象及数学运算素养 教学重难点 1.重点 理解和掌握对数的概念； 2.难点 熟练掌握指对数形式的互化，会求简单的对数值. 知识点01 对数的概念 1.对数的概念： 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作__________.其中，a叫作对数的底数，N叫作真数． 2.对数（且）的性质： （1）__________没有对数，即； （2）1的对数为0，即__________； （3）底的对数等于1，即__________． 3.两种特殊的对数 （1）常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，； （2）自然对数：以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 【即学即练】 1．有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点02 对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 【即学即练】 1．将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 2．将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03 对数恒等式 已知a>0，a≠1，N＞0，b∈R.（1）logaab＝b；(2) alogaN＝N 【即学即练】 1．计算（   ） A．14 B．49 C． D． 2．计算（   ） A． B．7 C． D． 题型01 对数的概念 【典例1】若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式1】下列命题中：①；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】若，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式3】对数中实数a的取值范围是____________ 题型02 指数式与对数式的互化 【典例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． 将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式 【变式1】将下列指数式与对数式互化． (1)log216＝4； (2) ＝6； (3)43＝64； (4)3－3＝. 【变式2】已知，，则 . 【变式3】已知（，且），求的值； 【变式4】已知且，若，则 ． 【变式5】解关于的方程： 题型03 利用对数恒等式化简求值 【典例1】计算： ． 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式1】计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【变式2】 ． 【变式3】计算 . 题型04 对数的性质 【典例1】求下列各式中x的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log3(log4(log5x))＝0. 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂； (2)已知指数与幂，用指数式求底数； (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． 【变式1】已知log23＝a，则4a＋4－a的值为________． 【变式2】若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________． 【变式3】若logm2＝a，logm3＝b，则的值为________． 1．下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 2．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．方程9x－6·3x－7＝0，则x＝（    ） A．log37 B．log73 C．7 D．－1 4．方程解的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 5．春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以10为底的对数叫作常用对数 D.以e为底的对数叫作自然对数 8．（多选）下列结论正确的是（    ） A.lg(lg10)＝0 B.若10＝lg x，则x＝10 C.若e＝ln x，则x＝e2 D.使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是(1，2)∪(2，＋∞) 9．（多选）下列指数式与对数式互化正确的有(　　) A.e0＝1与ln 1＝0 B.log39＝2与9＝3 C.8－＝与log8＝－ D.log77＝1与71＝7 10．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝0，则x＝________，y＝________. 11．已知，，则 . 12．方程3log2x＝的解是x＝________. 13．求值 14．已知函数． (1)解关于x的方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $