第1章 第2周 勾股定理的应用-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（北师大版2024）

一本初中数学周末小测卷|八年级上册BS版 6.13如图，将圆柱的侧面展开，得到长是12cm,宽是5cm 的长方形，连接AB,根据“两点之间，线段最短”可得，这条 D 彩带的最小长度是AB的长. 由勾股定理，得AB2=122+52=169=132,∴.AB= 13cm,即这条彩带的最小长度是13cm, G F 12分 第②周勾股定理的应用 解题大招 1B,东北方向和东南方向之间的夹角刚好是一直角， 求几何体上的最短距离时，一定要先把立体图 ∠AOB=90°.又OA=32m,OB=24m,∴.AB2= 形展开成平面图形，再灵活运用勾股定理及“两点之 0A2+OB2=322+242=402,.AB=40m,即水管的长为 间，线段最短”解决最短距离问题 40m. 2.B如图，过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°， 7.4.8如图，过点P作PQ⊥MN,垂足为Q,则车辆Q与 DE=BC=8m,BE=CD=2m,设旗杆AB的高度为 广告牌P的最近距离为PQ的长. xm,则AE=(x-2)m,AD=AB=xm.在Rt△AED '.'PM=8 m,PN =6 m,MN=10 m,.'MN2 PM2+ 中，由勾股定理，得 PN2,.△PMN是直角三角形 AE2十DE2=AD2,.(x-2)2+82=x2,解得x=17, .旗杆AB的高度为17m. ∴PQ=PM:PN6X MN 10 =4.8(m). M Q N 8.10如图，过点B作BC⊥AF交AF于点C,延长ND交 E D 2m AC于点M. B 8m C 3.A设AE=xkm,则BE=(14-x)km.,DA⊥AB, CB⊥AB,∴.∠DAE=∠CBE=90°.在Rt△ADE中，DE2 =DA2+AE2=62+x2.在Rt△BCE中，CE2=CB2+ BE2=82+(14-x)2..DE=CE,.62+x2=82+(14 x)2,解得x=8,∴.AE的长是8km. 8 MC F 4.B如图，将长方体的部分侧面展开，连接EC,则线段EC 由图可知，AC=AF一MF十MC=8一3十1=6(km), 的长就是小虫爬的最短路程 BC=2+6=8(km). 在R△EBC中，BE=12+8=20,BC=7AB=15,由勾 在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2=62+82=102, ∴.AB=10km. 股定理，得EC2=202十152=252，，∴.EC=25,即最短路程 9.5由题意，得BC=BD=25cm,∠BEC=∠BFD=90°. 是25. 在Rt△BEC中，由勾股定理，得BE=BC2一CE= 252-202=152,∴.BE=15cm.在Rt△BFD中，由勾股定 理，得BF2=BD2-DF2=252-152=202,∴.BF=20cm, .EF=BF-BE=20-15=5(cm). 10.解：如图，连接AC 5.A车宽2.4m<4m,∴.欲通过如题图所示的隧道，只 D 要比较距隧道中线1.2m处的高度与车高即可.在 A B Rt△OCD中，由勾股定理，得CD2=OC2-OD2=22 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102.… 1.22=1.62,.CD=1.6m,∴.CH=CD+DH=1.6+ …2分 2.5=4.1(m). 。52。 在△ABC中，AB2=262,BC2=242,AC2=102, ∴.AC2+BC2=AB2, ∴.∠ACB=90°， …4分 aw-vaC 2AD·CD= 号X10X24号X8X6=96(m2).…7 答：该空地的面积为96m2.…8分 解题大招 添加辅助线连接AC,在Rt△ACD中可求得AC 的长，由AC,AB,BC的长度关系可得△ABC为直 角三角形，且AB为斜边.由此看，利用转化思想把不 规则四边形ABCD的面积转化为Rt△ABC的面积 减去Rt△ACD的面积是解答本题的关键， 11.解：如图，将该圆柱的部分侧面展开，连接AB,则AB的 长就是蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B的最短路程. …2分 由题意可知，AC= 1 2 X48=24(cm),∠C=90°，BC= 7cm.…4分 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=252, .AB=25cm.…7分 答：从点A爬到点B的最短路程为25cm.…8分 12.解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是xm,则 BC=(22-x)m.…2分 由题意可知，AC=2.4m,DE=2m,AB=DB. 在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理，得AB2= BC2+AC2,DB2=BE2+DE2, .BC2十AC2=BE2十DE2,…4分 即(2.2-x)2十2.42=x2十22，…6分 解得x=1.5.…8分 答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5m.… …9分 13.B如图，连接AC. D B C 'AB =3 m,BC =4 m,AD=13 m,CD 12 m, ∠B=90°， .AC2=AB2+BC=42+32=25=52,∴.AC=5m 又.AD2-CD2=132-122=169-144=25=AC, ∴.△ADC为直角三角形，且∠ACD=90°， 六.S阳边形AD=SAc十SAAc=乞AB·BC+2CD· 1 1 AC=2×3×4+2×12X5=6+30=36(m),小需要 投入200×36=7200（元）. 14.A设OB=xm.由题意，得AC=1m,BD=1m,AO= 4m. 在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB2=AO2十OB2= 42+x2. 在Rt△COD中，根据勾股定理，得CD2=CO2+OD2= (4-1)2+(x+1)2. .'AB=CD, .42十x2=(4-1)2+(x+1)2,獬得x=3,AB2= AO2+OB2=42+32=52,∴.AB=5m,即梯子AB的长 为5m. 15.C:上底面对角线BC2=32+42=52,.BC=5cm. ,AC=12cm,.AB2=122+52=132,.AB=13cm, .能容下的最长木棒的长为l3cm. 16.101如图，取AB的中点O,连接DO,CO,过点D作 DE⊥AB于点E. 2寸 D/C A EO B 由题意，得OA=OB=AD=BC.设OA=OB=AD=BC =x寸，则AB=2z寸：DE=10寸，0E=号CD=1寸， .AE=(x-1)寸. 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2,即(x-1)2+102= x2,解得x=50.5, .2x=101,∴.AB=101寸. 17.4如图， K HG D C 在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠CBA,∠ECD= ∠CAB,EC=CA, .△CDE≌△ABC(AAS),.CD=AB,DE=BC, ..AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3. 同理可得，FG2+LK2=HL2=1,∴.S1十S2十S十S4= CE2+HL2=1+3=4. 解题大招 本题不能直接求出S1,S2,S,S4,但可以利用 三角形全等和勾股定理分别求出S1十S2,Sg十S4, 从而解决问题」 一李初中数学周未小测卷|八年级上册BS版 18.解：(1)是.理由如下： ,DE2=AD2-AE2=13002-12002=5002, '.'CB=2.5 km,CH=2.4 km,HB=0.7 km, DE=500m,…4分 ∴.CH2+HB2=2.42+0.72=6.25=2.52=CB2,… .∴.BD=BE-DE=900-500=400(m), …2分 .∴.速度为400÷16=25(m/s). ∴△CHB是直角三角形，∴.CH⊥AB,…3分 答：嫌疑汽车的速度为25m/s.…6分 ∴.CH是从村庄C到河边的最近道路.…4分 (2)能成功在C处拦截到嫌疑汽车。 (2)设CA=xkm. 证明：由题意可知，AC=2000m, .AB=CA, 在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2=AC2-AE2= .AB=xkm,AH=AB-BH=(x-0.7)km.…5分 20002-12002=16002, 在Rt△CHA中，AC2=AH2+CH, .CE=1600m.… …8分 即x2=(x-0.7)2+2.42, …7分 由(1)可知，DE=500m, 解得x-罗CA-罗 ∴.CD=DE+CE=500+1600=2100(m),·9分 8分 ∴.嫌疑凝汽车到达C处所需的时间为2100÷25=84(s). …10分 CA-CH=125-2.4≈2.06(km), ,警车的速度为24m/s, ∴.新修建的道路CH比原来的道路CA短了2.06km. …9分 ÷警察到达C处所需的时间为200÷24=83(. 19.解：如图，将容器的部分侧面展开，作点A关于EF的对 …11分 称点A', 连接AB,则A'B即为最短距离.…3分 .能成功在C处拦截到嫌疑汽车.…12分 第色章综合检测·培优卷 1.D对于A,12+2≠32，不能构成直角三角形，故不符合 题意；对于B,22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符 合题意；对于C,52十62≠72，不能构成直角三角形，故不 符合题意；对于D,72十24=252，能构成直角三角形，且 都是正整数，故符合题意. 由题意，得A'D=0.5m,BD=1.2m.…6分 2.B对于A,由∠A:∠B:∠C=2:3:4可得，∠C 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'B2=A'D2+BD= 0.52+1.22=1.32, 180°×2+3十4=80，故不能判定△ABC是直角三角形， ∴.A'B=1.3m, …9分 不符合题意；对于B,由∠A=2∠B=2∠C可得，∠A= 壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3m.…12分 90°，∠B=45°，∠C=45°，故能判定△ABC是直角三角 解题大招 形，符合题意；对于C,由a:b:c=2:2:3,可设a-2k, 将容器的部分侧面展开，作，点A关于EF的对 b=2k,c=3k(k≠0)，那么c2≠a2十b2,故不能判定 称点A',即将空间问题转化为平面问题，把曲面问题 △ABC是直角三角形，不符合题意；对于D,由a=32,b= 转化为平面问题，把曲线转化为直线，连接起，点和终 42,c=52,得c2≠a2+b2,故不能判定△ABC是直角三角 点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直 形，不符合题意. 角三角形，然后利用勾股定理求出最短距离。 3.B在Rt△ABC中，∠C=90°，∴.AB是斜边，AC和BC 20.解：(1)如图，过点A作 是直角边，由勾股定理，得AB2-BC2=AC2.AC=4, 公路 西 东 AE⊥BC于点E, AB2-BC2=AC2=16. 4.B根据题意，得BC=4m,AC=3m,△ABC是直角三 则∠AEB=∠AEC= 角形.根据勾股定理，得AB2=32+42=52,∴.AB=5m, 90°，AE=1200m. ∴.旗杆折断之前的高度为3十5=8(m). 由题意可知，AB=1500m,AD=1300m.…2分 5.C分为两种情况：①当第三边是斜边时，第三边的平方 由勾股定理，得BE2=AB2-AE2=15002-12002= 是52+132=194；②当第三边是直角边时，第三边的平方 9002,.BE=900m. …3分 是132-52=144. 易错謦示 得x=37,.其弦是37. 已知一个直角三角形的两条边长而不一定是直 13.45°根据勾股定理，得AB2=22+42=20,AC=22+ 角边时，要分类讨论. 42=20,BC2=22+62=40,.AB=AC,AB2+AC2= BC2,∴.△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， 6.B如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∠ABC的度数为45°. 14.7SAB+AC=4,(AB+AC)=16,÷AB23 AC2+2AB·AC=16. 0 ∠BAC=90°，.AB2+AC2=BC2=9,.AB·AC= :BC=6,AB=AC=5,BD=CD=号BC=3在 名：Sm-号AB·AC-号BC·AD,iAD Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=52 7 3=,5AD=6,△ABC的面积=号BC,AD=号× AB·AC_27 1 BC 3 6 15.6在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,由勾股定 6×4=12. 理，得AB2=AC2+BC2=32+42=52,∴.AB=5,.阴影 解题大招 通过“作垂线”构造直角三角形是利用勾股定理 部分的面积S=号×x()'+2x()}'+号×3× 解决实际问题常用的作辅助线的方法. 4-7xx(3》°-6 7.A如图. 解题大招 把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是 解此题的关键， 16.15其部分侧面展开图如图所示，作点A关于CD的对 称点A',连接A'B交CD于点E,则A'B即为最短路径. 由勾股定理，得AB2=132-122=25,.CD2+BD2= BC2=AB2=25,.阴影部分的面积是25+25=50. 8.D设大正方形的边长为c,则大正方形的面积为c2,根据 勾股定理，得a2+b2=c2.a2十b2=25,.c2=25,∴.黄 实为c2-4×2a6=25-4X2×8=9. 由题意，得AC=8-3=5(cm),.A'C=-5cm. 9.B∠ADE=∠AED,.AD=AE.设AE=xm,则 ,点B是对侧的中点，.BD=4cm,.A'F=5十4= AD=x m,.AB=AD+BD=(x+1)m,AC=AE+ 9(cm). EF+CF=(9+x)m在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2=AC2,即(x+1)2+122=(9+x)2,解得x= “底而圆的周长为24cam,∴BF-号×24=12(cm） 4,即AE=4m. 在Rt△A'FB中，A'B2=BF2+A'F2=122+92=152, 10.B如图，连接AC. .BA'=15cm. 17.解：BDDE.证明：连接BD(图略) B .'DE=60 cm,EC=24 cm, A D .CD=60-24=36(cm).…2分 AB=3,BC=4,∠B=90°， 在△BDC中，BC2=602=3600, ∴.AC=5.,AD=12,CD=13,.AC2+AD2=169=132 CD2+BD2=362+482=3600, =CD,∴.AC⊥AD,∴.四边形ABCD的面积为SAAIC+ BC2=CD2十BD2,…4分 Sm-号AB·BC+2AD·AC=6+30=36. 1 .△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， BDLDE.…6分 11.6cm8cm设a=6kcm(k≠0)，则b=8kcm. 18.解：这个零件符合要求理由如下：…2分 ∠C=90°，.c2=(6k)2+(8k)2=100k2,.c=10k= ,AD=12,AB=9,DC=17,BC=8,BD=15, l0,∴.k=1,∴.a=6cm,b=8cm. ..AB2+AD2=BD2, 12.37设其弦是x,则股为x-2,∴.122+(x-2)2=x2,獬 BD十BC2=DC2.…4分 。53。一本初中数学周末小测卷八年级上册BS版 第 周 勾股定理的应用 ©时间：45分钟 号分值：100分 8得分： ⑦答案：P51 基础测·教材变式 弥 一、选择题（每题3分，共15分） 1.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,在 n AB间修一条直水管，则水管的长为 () A.45m B.40m C.50m D.56m 北 西 D B 8m C 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆AB的底端点B处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端 拟 封 拉到点D处，发现此时点D到旗杆AB的水平距离为8m,点D到地面的距离CD为2m,则旗杆 AB的高度为 A.23m B.17m C.15m D.10m 3.如图，高速公路上有A,B两点相距14km,点C,D为两个村庄，已知DA=6km,CB=8km, DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,现要在AB上建造一个服务站点E,使得C,D两个村庄到服务 站点E的距离相等，则AE的长是 () A.8 km B.7 km C.7.2 km D.8.5 km 蜜 4.如图，已知长方体的长、宽、高分别是12,8,30，在AB上的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从点E处 爬到点C处去吃，有无数种爬法，则最短路程是 () A.15 B.25 C.35 D.45 线 D 2.5m 1.2m1.2m H -4m 第4题图 第5题图 5.新考法真实问题情境一辆宽为2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道，已知OC=2m,则卡车的外形 高必须低于 () A.4.1m B.4.0m C.3.9m D.3.8m 二、填空题（每题3分，共12分） 6.如图，若圆柱的底面周长是12cm,高是5cm,从圆柱底部点A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部，点B 处，则这条彩带的最小长度是 cm. 东 6 O M 8 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 7.如图，点M,N处各有一个路灯，点P处立有一广告牌，测得PM=8m,PN=6m,MN=10m,现 有一车辆Q沿直线MN从左向右行驶，那么在行驶过程中，车辆Q与广告牌P的最近距离为 m 8.如图，国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8k,再 往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再往北走到6km处往东拐，仅走了1km,就找到了宝藏， 则门口A到藏宝点B的直线距离是km. 9.一台笔记本电脑平放在桌上，其示意图如图所示，屏幕宽BC为25cm,当电脑张角为∠ABC时，顶 部边缘C处离桌面的距离CE为20cm,调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本 电脑顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF为15cm,则E处与F处之间的距离EF 的长为 cm. 三、解答题（共25分） 10.(8分)如图，某中学有一块空地，为了绿化环境，该校计划在空地上种植草皮，经测量AD=8m, CD=6m,∠D=90°，AB=26m,BC=24m.求该空地的面积. D 11.(8分)如图，一圆柱高为7cm,底面周长为48cm,一只蚂蚁在圆柱表面爬行，求从点A爬到点B 的最短路程。 12.新考法真实问题情境(9分)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2m.一架梯 子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C的距离是2.4m如果保持梯子底端B位置不动，将 梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E的距离是2m.求此时梯子底端B到右墙角点E的距 离是多少 。03。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册BS版 能力测·迁移运用 一、选择题（每题3分，共9分） 13.如图，在一块四边形ABCD空地上种植草皮，已知AB=3m,BC=4m,AD=13m,CD=12m, 且∠ABC=90°.若种植1m2草皮需要200元，则需要投入 () A.16800元 B.7200元 C.5100元 D.无法确定 D D C 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=4m,若梯子的顶端沿墙下滑1m,这时梯子 的底端右滑1m,则梯子AB的长为 () A.5 m B.6 m C.3 m D.7 m 15.如图，一个长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm的长方体盒子能容下的最长木棒的长为 A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm 二、填空题（每题3分，共6分） 16.新考法传统文化《九章算术》是古代东方的数学代表作之一，书中记载：“今有开门去阃（读kǔ，门 槛的意思)一尺，不合二寸.问门广几何？”题目大意是：如图1、图2（图2为图1的平面示意图），推 开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的 长是 寸（尺、寸为我国非法定计量单位）： 2十 门槛B 图1 图2 17.如图，在直线1上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3，正放置 的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1十S2十S3十S4= 三、解答题（共33分） 18.(9分)如图，在河流的一侧有一村庄C,河边有两个取水点A,B,村庄修建了道路CA和CB,其中 AB=CA.由于某种原因，道路CA不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 H(点A,H,B在一条直线上)，并修建道路CH.经测量，知CB=2.5km,CH=2.4km, 。04。 HB =0.7 km. (I)判断CH是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修建的道路CH比原来的道路CA短了多少千米.（结果保留两位小数） B H 弥 19.(12分)一圆柱形容器如图所示，高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3与蚊子相对的点A处，求壁虎捕 捉蚊子的最短距离.（容器厚度忽略不计） 封 思维测·拓展创新 20.(12分)如图，警察在距离东西公路1200m处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆嫌疑汽车在公 路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距1500m的B处，16s后， 嫌疑汽车到达与他相距1300m的D处. (1)求嫌疑汽车的速度. (2)侦察站A到东西公路只有一条长为2000m的小路AC.当嫌疑汽车到达D处时，警察同时开 车从侦察站A出发，沿小路AC进行拦截，若警车的速度为24m/s,能否成功在C处拦截到嫌疑 线 汽车？请通过计算进行证明. B D 公路 东