精品解析：山东省实验中学2026届高三科创班上学期开学测试数学试题

山东省实验中学高三科创班开学测试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 实数满足 ， 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 0 C. 3 D. - 3 2. 已知复数z满足， 则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 3. 二次函数过点，且对任意实数都有，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 5. 已知正实数， 且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 的外心为O、垂心为 H ， 连接QH ． 若， △PQR 的外接圆半径为6， 则QH 的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 3 D. 4 7. 在□中，，设点E为AB上靠近A点的四等分点，F在BC上运动，连接EF ，在平面内取点 G (G 在直线 EF 右侧)，使得， 连接EG 、FG， 且△EFG的面积为 ，连接DG，则DG 的最小值为（ ） A. 12 B. 8 C. 13 D. 7 8. △ABC的三个顶点分别在 的图象上，则 上一定有△ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为的三个内角，则（ ） A. B. 若不是直角三角形，则 C. ，则为直角三角形 D. 为等腰三角形 10. 如图，在边长为的等边三角形ABC中，D为边中点，E为上动点，则 的可能值有（ ） A. B. C. D. 3 11. 设 ，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若且当时， 则有 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分． 12. 函数 的最大值为______． 13. 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 14. 平面直角坐标系中 P从O出发，沿 以5的速度向上运动，，同时Q从A出发，沿直线以6的速度向上运动，若P与Q能相遇，k的值为______． 四、解答题：本题共3小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数 （1）若单调递增，，求a的值; （2）若且对任意的都有(可取到等号)，求的最小值． 16. 通常地，复数z可以被表示为的形式．这称为复数的三角形式． （1）证明： （2）设，求方程 的所有根，并用w表示． 17. （1）抛物线 的两条弦AB、CD交于点， M、N分别为AB、CD中点； （i）证明： 若 (b为常数)，则直线MN过定点； （ii）若 (c为常数)，求与直线MN 平行的定直线； （2）抛物线 交y轴于C，抛物线 交y轴于D．设A为抛物线顶点右侧一点，过点A作切线交y轴于B．设M为上一点，作轴交直线AB于点N．若B为CD中点，且MN最小值的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学高三科创班开学测试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 实数满足 ， 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 0 C. 3 D. - 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式，结合平方数的性质即可求解. 【详解】, 故故，当且仅当且取到等号， 故或时取到等号，则的最小值为2， 故选；A 2. 已知复数z满足， 则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数z的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】设复数，因为，可得，即， 所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 对于复数，则表示点到点的距离， 因点到原点的距离为， 由图可知，点到点的距离最小值为，也即． 故选：B． 3. 二次函数过点，且对任意实数都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】注意到时，，则过点，且在处的切线为，结合导数的几何意义计算即可得，再检验即可得解. 【详解】当时，、， 故有，则过点，且在处的切线为， 则可设二次函数， ，有，故， 则， 此时， ，符合要求. 故选：C. 4. 已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】将变成，然后根据取值范围分析即可 【详解】因为,所以 两边同除以,得 因为,所以. 所以 即 所以为锐角,又为最大角,所以此三角形是锐角三角形 故选：A 5. 已知正实数， 且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，从而 ，再利用不等式性质得，再构造函数利用函数单调性即可. 【详解】先证：， 故 另一方面，不妨设， 则，即， 先证是单调减函数， ， 故， 即， 同理可证是单调减函数， 故， 即， 故， 综上所述：取值范围为 故选：D. 6. 已知 的外心为O、垂心为 H ， 连接QH ． 若， △PQR 的外接圆半径为6， 则QH 的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过作于,利用三角形外心和垂心的性质即可解题 【详解】已知，和分别是弧所对的圆周角和圆心角， 所以 连接，过作于 因为是外心，所以（外接圆半径） 在中，，， 根据等腰三角形的性质， 又因为，所以 根据三角形外心和垂心的性质，在中， 已知,所以 故选：B 7. 在□中，，设点E为AB上靠近A点的四等分点，F在BC上运动，连接EF ，在平面内取点 G (G 在直线 EF 右侧)，使得， 连接EG 、FG， 且△EFG的面积为 ，连接DG，则DG 的最小值为（ ） A. 12 B. 8 C. 13 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先根据几何关系分析出点在圆上运动，再利用点到圆心的距离减去半径即可得到DG 的最小值. 【详解】作，垂足为，在上右侧取点，使得， 由于，，点E为AB上靠近A点的四等分点， 则，，，， 由于，则， 在直角中，可得， 由，可得， 作，垂足为，则在直角中，， 所以，点与点重合，所以， 取中点，则， 所以点在以为圆心，6为半径的圆上， 分别过点，点作的垂线，垂足为，， 则，，， ，， 所以的水平距离为12，垂直距离为5，可得， 当共线且按照此顺序排列时，的最小值为， 故选：D. 8. △ABC的三个顶点分别在 的图象上，则 上一定有△ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 【答案】A 【解析】 【分析】设的坐标为，令垂心，利用垂心定义，计算得到，可判断A；不妨取，再取，根据三角形的重心，内心，外心的性质，求出对应的“心”的坐标，代入双曲线方程检验即可判断BCD. 【详解】设的坐标分别为， 对于A，令的垂心为，直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，， 则，整理得， 展开化简，，即得， 因为，可得，所以的垂心在上，故A正确； 对于C，不妨取，可得，再取，三点显然不共线， 可得的重心为，显然点不在上，故C错误； 对于B ,根据C项设点，则直线，即直线的方程为， 直线，即直线的方程为， 直线，即直线的方程为， 因为关于直线对称，则的平分线方程为， 故可设的内心为，由点到直线的距离相等， 可得，化简得，解得 则得或，显然两点都不在曲线上，故B错误； 对于D，由上分析，的中垂线方程为， 因的中点为，则的中垂线方程为，即， 将两中垂线方程联立，可求得外心为，显然，此时外心不在曲线上，故D错误. 故选：A. 二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为的三个内角，则（ ） A. B. 若不是直角三角形，则 C. ，则为直角三角形 D. 为等腰三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦定理即可化简判断A；根据两角和的正切公式，结合诱导公式即可判断B；根据二倍角公式得，然后利用直角三角形的性质及诱导公式推出矛盾判断C；根据正弦定理、二倍角正弦公式即可判断D. 【详解】对于A， ，正确； 对于B，因为不是直角三角形，所以，，均有意义， ， 所以，正确； 对于C，由得， 所以， 若为直角三角形，不妨设，则， 此时， 与矛盾，故C错误； 对于D，由得，由正弦定理可得， 所以，所以， 结合，故或，即或， 故三角形为等腰三角形或者直角三角形，错误. 故选：AB 10. 如图，在边长为的等边三角形ABC中，D为边中点，E为上动点，则 的可能值有（ ） A. B. C. D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】设，则，根据余弦定理求得，则，再根据函数单调性得到范围即可. 【详解】设，则， ， ， ， 又，当，即时取等， 所以， 则， 所以. 故选：AB. 11. 设 ，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若且当时， 则有 【答案】AC 【解析】 【分析】先写出二项式的展开式的通项，根据各选项中对各项系数的要求，对照可得其表达式，分别求解可判断A，C两项；采用赋值法即可判断B项；根据题意先求出，即得时，，将其代入化简计算即可判断D项 【详解】因二项式的展开式的通项为， 对于A，由题意，故A正确； 对于B，在中， 取，可得，故B错误； 对于C，， 因，当时，的最小值为，故C正确； 对于D，由二项式的通项， 令，可得， 因且当时， 则当时，， 于是当时， ， 故，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分． 12. 函数 的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】，则， 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增， 故当时，取极大值也是最大值，故最大值为 故答案为： 13. 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作交于点，利用几何知识可证得，再由余弦定理求得，再结合，从而可求解. 【详解】作交于点， 因为点为中点，所以点为中点，即， 又因为为中点，即， 又因为，所以，即， 在，由余弦定理可得， 在中，， 则 ， 所以，则. 故答案为：. 14. 平面直角坐标系中 P从O出发，沿 以5的速度向上运动，，同时Q从A出发，沿直线以6的速度向上运动，若P与Q能相遇，k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设相遇点坐标，利用两点距离公式解方程即可. 【详解】设两点相遇于，则， 解之得， 则 故答案为：. 四、解答题：本题共3小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数 （1）若单调递增，，求a的值; （2）若且对任意的都有(可取到等号)，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据函数的单调性有或，整理即可得； （2）应用导数研究的区间单调性及极值点，令，构造证得，结合已知不等式恒成立得，进而有，代入目标式求最值. 【小问1详解】 由题设且，则， 由单调递增，则，故或，， 所以或（注意不等式组中等号同时成立）， 所以，可得； 【小问2详解】 由题设且，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，时， 结合题设，对任意的都有（可取等号）， 若，则，令，则， 令，且， 所以， 令，则， 所以在上单调递增，又，即， 所以在上单调递减，， 所以，即， 由在上单调递增，所以恒成立， 所以，可得，故， 所以， 当时，最小为. 16. 通常地，复数z可以被表示为的形式．这称为复数的三角形式． （1）证明： （2）设，求方程 的所有根，并用w表示． 【答案】（1）证明见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）利用数学归纳法，即可证明结论； （2）由，可得，设，可得，结合，，分类求解，即可求得答案. 【小问1详解】 证明：用数学归纳法证明：当时，，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 则当时， ， 即当时，结论也成立， 综合上述可知 【小问2详解】 由可知，则可得， 设，则，而， 故， 由，则，， 由，可得， 当时，，此时无意义； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 故方程 的所有根为：，，，. 17. （1）抛物线 的两条弦AB、CD交于点， M、N分别为AB、CD中点； （i）证明： 若 (b为常数)，则直线MN过定点； （ii）若 (c为常数)，求与直线MN 平行的定直线； （2）抛物线 交y轴于C，抛物线 交y轴于D．设A为抛物线顶点右侧一点，过点A作切线交y轴于B．设M为上一点，作轴交直线AB于点N．若B为CD中点，且MN最小值的最大值为4，求的值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii），其中；（2）2或10. 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线，利用韦达定理找到中点与的关系，同理，通过的坐标得到直线的方程，（i）根据，进一步得到直线的纵截距为定值，即过定点，（ii）根据，进一步得到为定值，要求与直线MN 平行的直线，注意不要重合即可； （2）设出点坐标用表示，根据与相切，联立后求出与的关系，写出切线的方程，再设出的横坐标，表示的长度，逐步以、、为主元，利用二次函数求出最值，得到、、的值即可. 【详解】（1）由题意，、斜率均存在， 设 ，直线方程：， 联立，消得：， 由韦达定理得， 由于为中点，故， 代入直线方程得， 设，同理，， 所以， 直线的方程：， 化简得： （i）由于， 则直线：， 令，则， 所以直线过定点. （ii）由于，则， ， 所以与直线MN 平行的直线方程为，其中. （2）由题意，，， 若，则无法过点作的切线， 若，则重合，不合题意，故， 设，且，则， 直线的方程为， 联立，消得， 由于与相切，则， 则，直线：， 设，则， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，，或， 则此时或10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $