5.1直角三角形的性质定理（第2课时含30°角的直角三角形的性质）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形的性质及逆定理，通过复习直角三角形两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半等旧知，结合判定条件搭建学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于以猜想-证明驱动思维，如性质证明用斜边上中线构造等边三角形，逆定理通过两种方法推导，培养推理意识。融入轮船触礁等实际问题，引导学生用数学眼光观察现实，多样例题和分层练习帮助学生掌握知识，教师可高效备课，提升教学效果。

湘教版2024·八年级上册 5.1直角三角形的性质定理 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 第5章 直角三角形 导入新课 1、直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述。 Rt∆ABC中，∠C=90°，D是AB的中点 D C B A ∠A+ ∠B=90° CD=AD=BD = AB 1 2 2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形? (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。 学 习 目 标 1 2 3 探索并掌握含30°角的直角三角形的性质（重点） 掌握“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30º.”（重点） 利用“有一个角为30°的直角三角形的性质与逆命题”开展实际应用.（重点） 在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系? 新知探究 思 考 猜想: _____________ 这个锐角所对直角边的长度等于斜边的一半 证明:在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点D，连接CD. 根据直角三角形的性质定理得，CD=AB=BD， 于是△DBC是等腰三角形. 由于∠ACB=90°，∠A=30°， 因此∠B=60°. 于是△DBC是等边三角形， 因此BC=BD=AB. 你能证明它吗? 可以运用轴对称知识证明结论成立吗? 试一试. 新知探究 总结归纳 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 在Rt△ABC 中， ∵∠C=90°，∠A=30°，　　 ∴BC= AB．　　 C A B 30° 典例分析 例2 在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里，如图所示.若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗?(已知≈1.732). 分析： 如图，取轮船航向所在的直线为OB.过点A作AD⊥OB，垂足为D.AD的长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 典例分析 例2 在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里，如图所示.若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗?(已知≈1.732) 解 如图，取轮船航向所在的直线 OB.过点A作AD⊥OB，垂足为D，连接AO. 在Rt△AOD中，AO=30海里，∠AOD=30°， 于是 AD=AO=30=15√3≈25.98(海里).因为AD≈25.98>20， 所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 典例分析 例3 如图5.1-7，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC= AB，求证:∠A=30°. 解：取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边上的中线， 则有：CD= AB=BD 1 2 又BC= AB ，所以BC=BD=CD， 1 2 即：△BDC为等边三角形，于是∠B=60°. 而∠A+∠B=90°，所以∠A=30°. D (方法一) 典例分析 例3 如图5.1-7，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，求证:∠A=30°. (方法二)如图，延长BC到F，使CF=BC，连接AF. 因为∠BCA=90°，BC=CF， 所以AC垂直平分BF， 于是AB=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 又BC=AB, BC=CF=BF, 所以BF=AB, 因此BF=AB=AF，即△ABF是等边三角形. 所以∠B=60°，因此∠CAB=90°-∠B=30°. 你能得出什么结论呢？ 新知探究 总结归纳 直角三角形的性质: 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 几何语言： 在Rt△ABC 中， ∵∠C=90°，　　 BC= AB．　　 C A B 30° ∴∠A=30° 新知应用 基础巩固题 1.如图，某山坡的坡面的长为 ，坡角 ，则山坡的高为_____ ． 100 2.如图，在中， ， ， ，则 的长是( ) . A.8 B.1 C.2 D.4 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A 新知应用 基础巩固题 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(　　) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3 A 垂线段最短 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 新知应用 基础巩固题 4.如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2米，∠A＝30°，则AB等于(　　)    A．8米     B．4米    C．2米     D．1米 5.如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝10，S△ABC＝20，则∠B的度数是(　　)    A．15°     B．30°      C．45°     D．60° A B 新知应用 基础巩固题 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝18，AC＝9，则∠B＝________. 15° 7.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是(　　)    A．30°     B．60°    C．30°或150°    D．不能确定 C 分类讨论 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 新知应用 基础巩固题 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD上AB，垂足为点D，∠A=30°. 求证:AB=4BD. 证明:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴.BC=AB,∠B=60°. 又∵在△BCD中,CD⊥AB,∴∠BCD=30°. ∴.BD=BC.∴BD=AB,即 AB=4BD. 新知应用 能力提升题 9. 如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在BC上(如图中的点A')，折痕交AB于点G，那么∠ADG等于多少度? 解:因为四边形ABCD是长方形， 所以CD =AB,AD // BC. 由题意,得A'D=AD,∠ADG= ∠A'DG，又AD=2AB,所以在Rt∆ACD中，A'D=2CD， 所以∠CA'D=30°. 因为AD// BC,所以∠ADA'= ∠CA'D =30°, 所以∠ADG=∠ADA' =15°. 新知应用 能力提升题 10.如图， 在△ ABC 中，AB=AC，∠ B=30°，线段AB 的垂直平分线MN 交BC 于D，求证：CD=2BD． 分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得证． 解法提醒： 在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2 倍， 关键是证明两点： 一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30° . 新知应用 能力提升题 证明：如图，连接AD， ∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线， ∴ AD=BD， ∴∠ DAB= ∠ B=30° . 又∵ AB=AC， ∴∠ B= ∠ C=30°， ∴∠ BAC=120°， ∴∠ DAC=90°. ∴ CD=2AD. 又∵ AD=BD，∴ CD=2BD． 新知应用 能力提升题 11.某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元． 课堂小结 含30°角的直角三角形的性质 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 逆定理 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 感谢聆听! $