专题04 分式不等式、绝对值不等式、高次不等式、三角不等式（期中专项训练）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题04 分式不等式、绝对值不等式、高次不等式、三角不等式 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式不等式 1．（24-25高一下·上海·期中）不等式的解集为 . 2．（2025·上海普陀·二模）不等式的解集是 . 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）不等式的解集为 4．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）不等式的解集为 ． 5．（24-25高二下·上海·期末）不等式的解集为 . 6．（24-25高三上·上海·期中）不等式的解集为 ． 7．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知，则不等式的解集为 ． 8．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 9．（24-25高二下·上海杨浦·期末）不等式的解集是 ． 10．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 11．（2025·上海黄浦·三模）已知集合，，则 12．（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知全集，，，则 ． 13．（2025·安徽·三模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·河北衡水·阶段练习）已知集合，，则 . 15．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 题型二 绝对值不等式 16．（2025·上海·模拟预测）设，则不等式的解集为 . 17．（24-25高三上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 18．（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 19．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·安徽马鞍山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·上海·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 22．（24-25高二下·上海·阶段练习）（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集 23．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 题型三 高次不等式 24．（24-25高一上·上海静安·期末）不等式的解集为 . 25．（23-24高一·上海·课堂例题）解不等式：． 26．（24-25高一上·上海·期中）若x满足，则x的取值范围为 ． 27．（2023高一·上海·专题练习）不等式的解集为 ． 28．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 29．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式； （2）； （3）. 30．（2023高一·上海·专题练习）解下列关于的不等式． (1)； (2)． 31．（22-23高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 32．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2). 33．（22-23高一上·上海徐汇·期中）不等式的解集为 . 题型四 三角不等式 43．（24-25高三上·上海长宁·期中）为实数，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 44．（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 45．（2023高一·上海·专题练习）设、为实数，求证：. $专题04 分式不等式、绝对值不等式、高次不等式、三角不等式 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式不等式 1．（24-25高一下·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】应用分式不等式的解法求解集即可. 【详解】由题设，解集为. 故答案为： 2．（2025·上海普陀·二模）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为, 所以原不等式的解集为：. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）不等式的解集为 【答案】 【分析】化分式不等式为一元二次不等式，进而求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，等价于，求解即可. 【详解】，即，所以， 解得：或，所以不等式的解集为． 故答案为：． 5．（24-25高二下·上海·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据两式相乘或相除时，同号为正，异号为负，列出不等式组求解即可得到解集. 【详解】由可得： ，解得， 或，此种情况无解， 综上，的解集为. 故答案为：. 6．（24-25高三上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】原不等式可化为，结合一元二次不等式解法求结论. 【详解】原不等式等价于， 则或， 所以不等式的解集为或， 故答案为：或 7．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 8．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 解得且，即， 所以不等式的解集是. 故答案为： 9．（24-25高二下·上海杨浦·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】变形，等价于，求出解集. 【详解】， 等价于，解得， 解集为. 故答案为； 10．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】或. 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 11．（2025·上海黄浦·三模）已知集合，，则 【答案】 【分析】由分式不等式和交集的运算可得. 【详解】由可得，， 由可得， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知全集，，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，求得或，利用补集的定义得，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由得到或，所以或， 又，则，所以， 故答案为：. 13．（2025·安徽·三模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合移项整理解得，运用并集的运算解得结果. 【详解】根据题意，，解得，， 结合得，即． 故选：C． 14．（23-24高二下·河北衡水·阶段练习）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】化简两个集合，即可利用交集的定义求解. 【详解】由可得， 可得， 故， 故答案为： 15．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可． 【详解】， 故答案为：． 题型二 绝对值不等式 16．（2025·上海·模拟预测）设，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】解含绝对值的不等式可得解集. 【详解】由. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 17．（24-25高三上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】去绝对值直接求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以原不等式的解集为：， 故答案为： 18．（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 【答案】 【分析】先求解绝对值不等式解得集合，再根据补运算求解即可. 【详解】，又，故. 故答案为：. 19．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解绝对值不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以，则. 故选：B 20．（2025·安徽马鞍山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解绝对值不等式求解集合A，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以，又，则. 故选：A. 21．（24-25高一上·上海·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可； （2）根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得或， 所以或， 所以不等式的解集为或； （2）由，得， 解得， 所以不等式的解集为. 22．（24-25高二下·上海·阶段练习）（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）移项、作差转化为一元二次不等式即可； （2）对于绝对值不等式，平方后可去掉绝对值，然后解不等式即可. 【详解】（1）移项有，即，即，且， 解得或， 则其解集为. （2）由不等式，可得， 即，即， 解得，即原不等式的解集为. 23．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化分式不等式的右边为0，通分转化为一元二次不等式求解. （2）分段去绝对值符号求解不等式. 【详解】（1）不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：或或， 解得；不等式组无解；解得， 所以原不等式的解集为. 题型三 高次不等式 24．（24-25高一上·上海静安·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式化为求解即可. 【详解】， 令，因为，所以恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 25．（23-24高一·上海·课堂例题）解不等式：． 【答案】且. 【分析】转化为高次不等式求解即可. 【详解】原不等式可转化为且， 整理得且，即且， 因为，所以恒成立， 解得且， 故不等式的解集为且. 26．（24-25高一上·上海·期中）若x满足，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】将给定不等式转化为不等式组求解. 【详解】由，得或， 解，得，解，得， 所以x的取值范围为或. 故答案为：或 27．（2023高一·上海·专题练习）不等式的解集为 ． 【答案】或或 【分析】首先讲分式不等式等价转换为且，，利用数轴“穿针引线”法并画出图形即可求解. 【详解】原不等式可化为， 此不等式等价于且，． 分别令各个因式为，可得根依次为，，， 如图所示，    利用数轴“穿针引线”法可得不等式的解集为或或． 故答案为：或或. 28．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集. 【详解】由， 可得， 所以 方程的根为， 由数轴标根法可得. 故答案为：. 29．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】（1）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （2）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （3）将分式不等式转化为整式高次不等式后，结合分母不为零计算即可得； 【详解】（1），即， 令，有或或， 则该不等式的解集为； （2） ，即， 令，有或或， 又恒成立， 故该不等式的解集为； （3） ，即， 由，故， 对： 令，有或或， 又恒成立，故有， 故该不等式的解集为. 30．（2023高一·上海·专题练习）解下列关于的不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2) 或 或 【分析】（1）由题意不等式等价于，由零点标根法画图即可求解. （2）由题意不等式等价于，由零点标根法画图即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于， 所以， 如图所示： 解得或且， 所以原不等式解集为或或. （2） 由得，， 原不等式等价于，即， 如图所示： 解得 或 或， 所以原不等式的解集为 或 或． 31．（22-23高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简不等式，等价转化后画数轴，利用穿根法求出不等式的解集. 【详解】    由，得， 等价于， 由穿根法可得不等式的解集为. 故选：B 32．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可. 【详解】（1），由数轴标根法得，解集为； （2）或， 易得解集为. 33．（22-23高一上·上海徐汇·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式变形为，利用数轴标根法得到不等式的解集. 【详解】解：不等式，即， 方程的根有（2重根），，，，（2重根）， 按照数轴标根法可得不等式的解集为. 故答案为： 题型四 三角不等式 故答案为：. 43．（24-25高三上·上海长宁·期中）为实数，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由绝对值三角不等式可得出的最小值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】因为不等式对任意的实数恒成立，则， 由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以，. 故答案为：. 44．（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于，当且仅当时取等号， 因此有， 两边平方，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 45．（2023高一·上海·专题练习）设、为实数，求证：. 【答案】证明见详解. 【分析】利用绝对值三角不等式即可证明. 【详解】因为， 所以，由三角不等式可得， 即. $