专题02 有理数的运算（必备知识+18题型+分层检测）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材浙教版

专题02 有理数的运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题， 注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在选择题 有理数混合运算 能正确进行有理数的混合运算 高频考点，经常出现在大题 有理数四则运算的 实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注 意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 近似数 会求近似数，会确定近似数的精确度 易错必考点，一般出现在小题中 知识点01 有理数的加法 ★有理数的加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． 【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 知识点02 有理数的加法运算律 ★1、有理数的加法交换律： 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．即a + b = b + a. ★2、有理数的加法结合律： 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). 知识点03 有理数的减法 ★1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：a-b=a+(-b)． ★2、有理数减法的运算方法： ①把减号变为加号(改变运算符号)． ②把减数变为它的相反数(改变性质符号)． ③按照加法运算的步骤进行运算． 【注意】在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点04 有理数的加减混合运算 ★有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) 方法 步骤 直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算. 统一为加法计算 （1）利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算; （2）适当运用加法运算律简化运算. 知识点05 有理数的乘法 ★1、有理数的乘法法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 拓展： （1）一个数与1相乘等于它本身，与 −1相乘等于它的相反数. （2）若 a，b同号，则ab>0；反之，若 ab>0，则 a，b同号. 若a，b异号，则ab<0；反之，若 ab<0，则 a，b异号. ★2、有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． ★3、多个有理数相乘 （1）几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． （2）几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. 知识点06 倒数 ★1、倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ★2、倒数的性质：如果 a, b互为倒数，那么 ab=1. ★3、倒数的判定：若 ab=1，则 a，b两数互为倒数. ★4、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不称其为倒数． 知识点07 有理数的乘法运算律 ★1、有理数的乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.即a b = b a. ★2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ★3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac 知识点08 有理数的除法 ★1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. ★2、方法指引： ①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； ②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； ★3、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 知识点09 有理数的乘方的意义 ★有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） 知识点10 有理数的乘方的运算 ★1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ★2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有相反意义的量就可以用负数表示． ★3、底数为互为相反数的两个数（≠0）的幂的关系： (1)互为相反数的两个非零数的同偶次幂相等，即若a+b=0，则a2n=b2n (n为正整数，a≠0，b≠0). (2)互为相反数的两个非零数的同奇次幂仍然互为相反数， 即若a+b=0，则a2n−1 +b2n−1=0(n为正整数，a≠0，b≠0) （注：若n为正整数，则通常用2n表示整数，2n﹣1表示奇数） 知识点11 科学记数法 ★1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． （3）小于−10 的数也可以用科学记数法表示，只是多了一个负号：记作−a×10 n,其中−10＜−a≤−1. ★2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点12 有理数的混合运算 ★有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点13 近似数 ★1、准确数与近似数： 意 义 示 例 准确数 与实际完全符合的数. 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级. 近似数 与实际接近的数. 某同学的身高约为156 cm，体重约为53 kg . ★2、判断准确数与近似数的方法： 一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数. 【注意】 有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数.例如，人口普查. 知识点14 近似数的精确度 ★1、近似数的精确度：是指与准确数的接近程度.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. ★2、近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等. 【注意】 一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度.例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位. ★3、近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该数精确到哪一位. 【说明 】对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位. ★4、用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 题型一 有理数的加法 解｜题｜技｜巧 有理数加法运算的步骤： 1. 先判断类型（同号、异号等）； 2. 再确定和的符号； 3. 最后进行绝对值的加减运算. 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）将点沿数轴向左移动个单位长度可到达点，若点B在数轴上对应的数为，则点对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴的知识，解题的关键是根据数轴的性质，点向左移动的单位长度得到点，已知点在数轴上对应的数为，则，即可，求出点对应的数． 【详解】解：∵点沿数轴向左移动个单位长度可到达点，若点B在数轴上对应的数为， ∴点对应的数为：． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·浙江·期中）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，理解题意，正确的列式是解题的关键． 根据正放表示正数，斜放表示负数，列式计算即可． 【详解】解：4个小棍正放表示，8个小棍斜放表示，因此图2可列的算式为， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）当，，且，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法运算，确定有两种情况：分别进行计算即可求解． 【详解】解：，， ，， ， 时，或时，； 当，时， ； 当，， ； 的值为或． 故选：B． 题型二 有理数的减法 解｜题｜技｜巧 有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题. 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）某次数学测试的平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了　　分 A．67 B．62 C．72 D．83 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，有理数计算．关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算． 【详解】解：平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分， 则（分， 即小李得了72分， 答：小李的成绩记作分，表示得了72分， 故选：C． 【变式1】某地区某天的最高气温为，最低气温为，则最高气温与最低气温的差为 ． 【答案】 【分析】用最高气温减去最低气温进行计算即可. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是有理数的减法，依据题意准确列出算式是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．2或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法，求出、的值是解答本题的关键．根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：由，，且满足，得： ，． 的值为， 故选：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算： (1)7﹣（﹣4）+（﹣5） (2)﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6 (3) (4) 【答案】(1)6； (2)−2； (3)； (4) 【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据有理数的加减法法则计算即可； （3）根据有理数的加减法法则计算即可； （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：7-（-4）+（-5）， =7+4+（-5）， =11+（-5）， =6 （2）解：， =−2 （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的加减法运算，熟练掌握加减法法则是解题的关键，熟练利用加法运算律是简便计算的关键． 题型三 有理数的乘法 解｜题｜技｜巧 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同 0 相乘，都得 0. 3．多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【典例1】下列算式中，积为正数的是（　　） A．（﹣2）×（） B．（﹣6）×（﹣2） C．0×（﹣1） D．（+5）×（﹣2） 【答案】B． 【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘，都得0，逐项进行计算即可得出答案． 【详解】解：A．（﹣2）1，故A选项不符合题意； B．（﹣6）×（﹣2）＝12，故B选项符合题意； C.0×（﹣1）＝0，故C选项不符合题意； D．（+5）×（﹣2）＝﹣10，故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则计算可判断A、C、D三项，根据乘法分配律计算可判断B项，进而可得答案． 本题考查了有理数的乘法运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A．，故错误， B．，故错误， C．,故错误， D. ，故正确． 故选D． 【变式2】计算： （1）（﹣2）×（﹣15）×（﹣18）； （2）（）×（）； （3）（﹣1.2）×（）； （4）﹣0.01（﹣15）×0×（﹣2023）． 【分析】根据有理数的乘法法则计算各题即可． 【详解】解：（1）原式＝﹣（2×15×18）＝﹣540； （2）原式＝+（）； （3）原式＝+（）； （4）原式＝0． 【点睛】本题考查有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 【答案】(1) (2) (3)，，，． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大， ∴比较和，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择和，它们的乘积为， 故答案为：； （2）解：根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小， ∴在这些数中，是较大的绝对值，\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是， 故答案为：； （3）解：根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数， ∴按此规律满足3张卡片乘积结果为的等式有， ， ， ， ． 题型四 有理数的除法 解｜题｜技｜巧 1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； 2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； 【典例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）要使算式□3的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，有理数的比较，熟练掌握运算法则是解题关键．将各选项的运算符号代入计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 使算式的运算结果最小，应填入的运算符号是， 故选：C． 【变式1】某同学在计算时，误将“”看成“+”，结果是，则的正确结果是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法，先利用错误的结果求出a的值，再把a代入计算正确的结果即可． 【详解】解：依题意， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在，2，0，，这5个数中，任取两个数相除，所得的商最小的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的大小比较，根据最小的负数除以最大的正数即可得到最小的负数． 【详解】解：在数，2，0，，中任取两个数相除，所得商中最小数是， 故选：B． 题型五 有理数的简便运算 解｜题｜技｜巧 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 4. 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. 【典例1】（24-25七年级上·浙江·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律： （1）根据乘法分配律求解即可； （2）先把原式变形为，再根据根据乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可； （2）原式逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：；     ； （2）解：．           ． 【变式2】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将999写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 有理数的乘方 解｜题｜技｜巧 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列各组数中，数值相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查相反数、绝对值及有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相反数、绝对值及有理数的乘方进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A.，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算，有理数的大小比较，先根据有理数的乘方法则进行计算，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，判断大小即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选C． 【变式2】为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 设，则，然后由即可求解． 【详解】解：设 ∴， 得： ∴，即， 故选：． 题型七 利用有理数的乘方解决实际问题 解｜题｜技｜巧 用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的问题有 拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等都利用2n或. 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题侧重考查探究规律，乘方的知识，找准规律是解决此题的关键． 在七进制中，可以表示为． 【详解】解：∵由图可得图中的数字是， ∴根据七进制的规律可知，孩子自出生后的天数为． 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝……”大意：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝……文中的树枝共有（   ）． A．根 B．根 C．根 D．根 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方．由题意得出算式，再求解即可． 【详解】解：（个）； 答：文中的鸟巢共有个． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂1次，每次一分为二， 若这种细菌由1个分裂到8个，那么这个过程要经过（    ） A．3小时 B．小时 C．2小时 D．8小时 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，根据有理数的乘方的定义可得． 【详解】解：由题意可得：， 每半小时分裂1次， 这个过程要经过：小时． 故选：B． 题型八 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【典例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （）先根据有理数乘法分配律计算，然后进行有理数减法运算即可； 本题主要考查了有理数混合运算和运算律，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）先去括号，再进行加减运算； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，有括号先算括号里面的． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（23-24七年级上·浙江湖州·期中）计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2) (3) (4)49 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握有理数的相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用有理数加减运算法则计算即可； （2）先算乘方，再运用有理数的乘除混合运算法则计算即可； （3）先算乘方，再运用有理数的混合运算法则计算即可； （4）先算乘方，再运用有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型九 乘方与相反数、倒数、绝对值的综合 解｜题｜技｜巧 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. 【典例1】已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【答案】 【分析】根据相反数和倒数的定义求出，再根据非负数的性质求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了非负数的性质、乘方运算、相反数和倒数的意义，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式1】（1）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，求的值． （2）如果a，b表示有理数，且，求的值． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，有理数的除法和绝对值的意义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）由题意可得，，，，再把相应的值代入所求的式子运算即可． （2）根据有理数的乘法，可得a、b异号，化简绝对值，根据有理数的除法，可得答案． 【详解】(1)解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：8． （2）解：∵， ∴a，b异号， 不妨设， ∴． 【变式2】若互为相反数，互为倒数，． （1）填空：______；______；______． （2）求的值． 【答案】（1）；； （2）1 【分析】（1）根据相反数、倒数、绝对值的意义，即可求解； （2）将（1）中的结果代入代数式，即可求解． 【详解】（1）互为相反数，互为倒数，， ∴， 故答案为：；；； （2）由（1）得， 原式 ． 【点睛】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，熟练掌握相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义是解题的关键． 题型十 科学记数法 解｜题｜技｜巧 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）年月日，杭州用一场“潮起亚细亚”为总主题的盛大开幕式，为第19届亚洲运动会开幕．以体育为媒，杭州敞开热情怀抱，向世界呈现中华文化之美，展现各方携手推动构建亚洲命运共同体的澎湃力量．其中最后的主火炬点火仪式是由主火炬手与超过个数字火炬手一起点燃，用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）2025年3月份新能源汽车市场占有率持续攀升，成为车市增 长的重要驱动力．根据中汽协最新数据显示，3月份新能源汽车销售量约为883000辆，该数据用科学记数 法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）最新数据显示，我国经济运行总体平稳、稳中有进．海关总署 发布数据显示，今年前7个月，我国货物进出口总值248300亿元，同比增长了，其中248300用科学 记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 题型十一 近似数 解｜题｜技｜巧 求一个数的近似数，一般用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据题意利用近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：精确到十分位，故选项错误； 万精确到千位，故B选项错误； 精确到十位，故C选项错误； 精确到万位，故D选项正确． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法错误的是（    ） A．近似数0.350精确到0.001 B．35600精确到千位是3.6万 C．近似数302.51精确到十分位 D．近似数2.20是由数四舍五入得到的，那么数的取值是 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：A、0.350是精确到0.001的近似数，所以A选项的说法正确，不符合题意； B、35600精确到千位是3.6万，所以B选项的说法正确，不符合题意； C、近似数302.51精确到百分位，所以C选项的说法错误，符合题意； D、近似数2.20是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是，所以D选项的说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的 体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 题型十二 有理数的实际应用 解｜题｜技｜巧 利用有理数的混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有10筐蔬菜，每筐以为基准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下． 筐数 2 3 2 1 2 与标准质量比较 (1)与标准质量比较，10筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)求这10筐蔬菜的总质量． (3)若蔬菜每千克售价2元，则出售这10筐蔬菜可获得多少元？ 【答案】(1)超过 (2)总质量为 (3)可获得元 【分析】本题考查了正数和负数的意义及有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键， （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）先计算10筐的总标准质量，再加上总计超过的即可； （3）根据单价乘以数量等于总价格，可得答案． 【详解】（1）解： 答：10筐白菜总计超过； （2）； 答：总质量为kg （3）元 答：可获得元． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）一辆出租车从公司出发，在南北向的北京路上连续接送5批客 人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 5千米 2千米 千米 千米 6千米 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)该出租车送完第五批客人之后回到公司，若出租车每千米耗油升，那么在这过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边6千米处． (2)在这个过程中共耗油升． 【分析】本题考查正负数的意义，有理数的混合运算的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义，本题属于基础题型． （1）根据有理数加法列式计算即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】（1）解：， 答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边6千米处． （2）解：（升） 答：在这个过程中共耗油升． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）杭州亚运会已圆满结束，这离不开亚运网约车司机们的辛勤付出．老姚某天上午的营运全是在一条笔直的东西走向的路上进行．如果规定向东为正，向西为负，那么他这天上午行车里程（单位：千米）记录如下：，，，，，，，，，． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午的出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午的出发点多远？在出发点的东面还是西面？ (3)若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元，则姚师傅在这天上午一共收入多少元？ 【答案】(1)将第7名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午的出发点 (2)将最后一名乘客送到时，老姚距上午的出发点，在出发点的东面 (3)姚师傅在这天上午一共收入120元 【分析】本题考查正数与负数，有理数的运算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据正负数的意义，求出送走的乘客后的写出里程是解答； （2）把行车里程相加，然后根据正数和负数的意义解答； （3）分别求出个乘客的收费，再求和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴将第7名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午的出发点． （2）解：∵， ∴将最后一名乘客送到时，老姚距上午的出发点，在出发点的东面． （3）解：(元)． ∴姚师傅在这天上午一共收入120元． 题型十三 有理数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 本题考查数字变化的规律，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【典例1】下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 【答案】A． 【分析】根据所给数列，发现后一个数总是前一个数的2倍，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为1＝20，2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，…， 所以第n个数可表示为：2n﹣1（n为正整数）． 当n＝2024时， 2n﹣1＝22023， 即第2024个数是22023． 故选：A． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列发现第n个数可表示为2n﹣1（n为正整数）是解题的关键． 【变式1】a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈 利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈 利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 【答案】C． 【分析】分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案， 【详解】解：根据题意有， a1＝3， ， ， ， ， ……， 该数列每4个数为1周期循环， 2023÷4＝505⋯3， a2023＝a3． 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【变式2】一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…， ，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 【答案】D． 【分析】先算出前几个的值，找到规律，再求解． 【详解】解：∵a1＝﹣1， ∴， ， ，…， ∴这列数按照：﹣1，，2，依次循环出现， ∵， ∵2024÷3＝674……2， ∴a2023＝﹣1，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 题型十四 有理数的乘除法的规律探究题 解｜题｜技｜巧 裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【典例1】（21-22七年级上·浙江金华·期中）我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解； （2）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解； （3）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算，根据题意，找到规律是解题的关键． 【变式2】观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解答】解：（1）∵ … ∴ 故答案为：； （2）①原式（）×（）×…×（）×（） ； ②由题意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016 ＝1． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可； （2）与（1）一样得到1，然后进行合并； （3）把原式变形为（2）中的形式得到[（1）+（）+（）+…+（）]，然后利用（2）中的方法计算． 【详解】解：（1）通过观察可得：； （2））①⋯ ＝1••• ＝1 ． ②根据规律可得：原式＝1． 故答案为：1． （3）原式[（1）+（）+（）+…+（）]（1）． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，正确记忆先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算有括号先算括号是解题关键． 题型十五 含乘方的规律探究题 解｜题｜技｜巧 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【典例1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ (1)第①行第8个数为______；第②行第8个数为______；第③行第8个数为______． (2)是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)256，258，128； (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）①后一个数是前一个数的−2倍，②的数的规律是在①每个对应数加2，③后一个数是前一个数的−2倍，由此可求解； （2）通过观察可得规律：①的第n个数是（−2）n，②的第n个数是（−2）n＋2，③的第n个数是（−1）n2n−1，再由（−2）n＋（−2）n＋2＋（−1）n×2n−1＝322，求n即可． 【详解】（1）解：（1）−2，4，−8，16，−32，64，…， 第n个数为（-2）n，当n=8时，（-2）8=256， ∴第8个数是256， ②的数的规律是在①每个对应数加2 ∴②的第8个数是256＋2＝258， ③的第n个数为（−1）n2n−1，当n=8时，（−1）8×27=27=128， ∴③的第8个数是128， 故答案为：256，258，128； （2）不存在一列数，使三个数的和为322，理由如下： ①的第n个数是（−2）n，②的第n个数是（−2）n＋2，③的第n个数是（−1）n2n−1， 由题意得，（−2）n＋（−2）n＋2＋（−1）n×2n−1＝322， 设n为偶数， ∴4×2n−1＋2n−1＝5×2n−1＝320， ∴2n−1＝64， ∴n＝7，与n为偶数互相矛盾， 设n为奇数， ∴-4×2n−1-2n−1＝-5×2n−1＝320， 此方程无解， ∴不存在一列数，使三个数的和为322． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子中各数间的规律是解题的关键． 【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；      ① 0，6，，18，，66，…；       ② ，，2，，8，，…；       ③ (1)请直接写出第①行数的第100项：______，第n项：______； (2)第②行数的第2012项：_____； (3)第③行数与第①行数有什么关系？ (4)取每行数第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)200， (2) (3)第一行的每一项都乘以等于第三行的项 (4) 【分析】本题考查了规律型，观察发现每行的规律是解题关键，利用的乘方得出每项的符号是解（1）的关键． （1）根据观察，可发现规律：第n个数是； （2）第①行的每一项都加2，可得第②行； （3）第①行的每一项都乘以，可得第③行； （4）根据每行的规律，可得第10个数，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）根据①中的数据可得， 请直接写出第①行数的第100项：200，第n项：； （2）第②行数的第2012项是； （3）第一行的每一项都乘以等于第三行的项； （4） 取每行数第10个数，计算这三个数的和 ． 【变式2】（23-24七年级上·北京西城·期中）观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： (1)第4个等式中， ； (2)写出第5个等式： ； (3)写出第n个等式： （其中n为正整数） 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律． （1）根据式子的规律，结果是奇数的平方； （2）由所给式子可得：； （3）有所给数可知，每行第一个是为这个行数，结果为奇数，可得． 【详解】（1）由题意可知，， ∴， 故答案为：7； （2）∵， ， ， ， ∴， 故答案为：． （3）， 故答案为． 题型十六 有理数的材料阅读问题 解｜题｜技｜巧 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. 【典例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）方方计算的过程如下： (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第______步，圆圆开始出错的是第______步； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)②；① (2)见解析 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据含乘方的有理数混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：以上计算过程中，方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①； （2）解：原式 ． 【变式1】计算： 王林的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 王林发现自己的答案和同学们的不一样． (1)解法中第二步运用了：______（运算律）； (2)请指出他从第______步开始出现错误，写出正确的解题过程． 【答案】(1)加法交换律、加法结合律 (2)三；见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据加法交换律和结合律即可解答； （2）根据有理数的加减法法则判断出错的步骤，然后根据有理数的加减法法则写出正确的解答不成． 【详解】（1）解：解法中第二步运用了：加法交换律、加法结合律． 故答案为：加法交换律、加法结合律； （2）他从第三步开始出现错误， 正确的解题过程如下： 原式 ． 故答案为：三． 【变式2】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算． 计算： 【答案】 【分析】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果． 【详解】解： ， ∴． 题型十七 有理数的程序图问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是（   ） A．4 B．9 C．64 D．49 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算，即可． 【详解】解：，继续输入： ，输出， 故选D． 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．21 C．156 D．231 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图计算，涉及有理数乘除运算，看懂程序流程图，按步骤计算即可得到答案，看懂程序流程图，掌握有理数乘除运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：由程序图可知，若开始输入的数为，则 第一次：，； 第二次：，； 第三次：，； 最后输出的结果是， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出结果是（    ）    A． B． C．8 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把5输入，计算出结果为8，再把8输入计算出结果为20，则输出结果为20． 【详解】解：输入5时，计算结果为， 输入8时，计算结果为， ∴输出结果为20， 故选D． 题型十八 有理数的新定义运算问题 解｜题｜技｜巧 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【典例1】 对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【答案】(1)16 (2)64 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义☆运算，观察下列运算： ， ， ， ， ， ． (1)两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把它们的绝对值______．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的______． (2)计算：______；______． (3)若，，且，求的值． 【答案】(1)得正，得负，相加，绝对值 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算以及化简绝对值，乘方运算，有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据新定义的内容，即可作答． （2）结合新定义的运算法则，即可作答． （3）先由，，得，因为，所以或，再代入，然后结合新定义运算法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正，得负，相加，绝对值； （2）解：依题意，：， ； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴或， 则或． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）【概念提出】 求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”；记作，读作“的圈4次方” 【初步思考】 (1)直接写出计算结果：2③＝ ，＝ ， 【归纳总结】 (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数a的圈n次方等于 (用代数式表示)． 【问题解决】 (3)计算． 【答案】(1)，； (2)； (3)18． 【分析】(1)根据题中给出的例子进行计算即可； (2)根据(1)中的结果即可得出结论； (3)根据(2)中的结论及有理数混合运算的法则进行计算即可． 本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出运算规律是解题的关键． 【详解】解：(1)由题意得， 故答案为：，； (2)由(1)可知，一个非零有理数的圈次方等于这个数的倒数的次方， 即， 故答案为：； (3) 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．﹣|﹣2025|的倒数是（　　） A． B．2025 C．﹣2025 D． 【分析】利用绝对值的定义可得原数为﹣2025，再根据倒数的定义即可求得答案． 【解答】解：﹣|﹣2025|＝﹣2025，其倒数为， 故选：D． 【点评】本题考查倒数，相反数及绝对值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）宁波市统计局发布数据，2024年宁波市第一季度的值为亿元，实际增速，增量亿元，名义增速．其中亿用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于时与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各组数中，计算结果不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方运算，计算求解即可； 【详解】A、，， 故，该选项不满足题意； B、，， 故，该选项不满足题意； C、，， 故，该选项满足题意； D、，该选项不满足题意； 故选：C 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，则涂色圆里的数为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的减法运算，解题的关键是理解题意；根据题意易得与左相邻的数是2，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：与左相邻的数是， 则涂色圆里的数为； 故选：C． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）定义一种新运算，，例如： ，则的值是 ． 【答案】21 【分析】本题考查定义新运算．根据新运算的法则，列出算式计算即可．掌握新运算的法则，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：21． 7．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质列出方程求出，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值意义，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键． 8．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)4.5 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现 有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，根据新定义求出各个数，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，将70写成，继而即可求得答案，熟练掌握将70写成是解决此题的关键． 【详解】 ， ∴十进制数字70写为二进制数字1000110， ∴十进制数字70是二进制下的7位数， 故选：B． 11．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A和点B表示的数分别时和5，点P到A，B两点的距离之和为8，则点P表示的数是 ． 【答案】或6 【分析】本题考查数轴与有理数，两点间的距离，根据两点间的距离，分点在的左侧，和在的右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点A和点B表示的数分别时和5， ∴点A和点B之间的距离为：， ∴点在的左侧或在的右侧， 当点在点的左侧时，， ∴， ∴点表示的数为：； 当点在点的右侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 故答案为：或6． 13．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3)2 (4) 【分析】（1）先计算有理数的加法运算、再计算有理数的减法即可； （2）先根据乘法分配律进行计算，再进行加减计算即可； （3）先计算乘方、再计算乘除，最后再计算加减即可； （4）先计算乘方、绝对值、再计算括号里的，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、含乘方的有理数的四则混合运算、有理数的运算法则及绝对值，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a与互为相反数，b与互为倒数，c的绝对值为3，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，绝对值，相反数和倒数的定义，根据绝对值，相反数和倒数的定义求出a、b、c的值是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得a的值，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得b的值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的想法是，据此可得c的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵a与互为相反数，b与互为倒数，c的绝对值为3， ∴， ∴或； 综上所述，的值为或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 16．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 【答案】(1)小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个 (2)一分钟最多跳绳173个 (3)累计跳绳827个 【分析】本题考查了正数和负数应用，以及有理数的混合运算的应用，解题关键是正确列出算式． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）分别求出11月1日至5日每日跳绳量即可得解； （3）把5天的跳绳量相加即可得解． 【详解】（1）个， 个， 答：小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个； （2）个， 个， 个， 答：一分钟最多跳绳173个； （3）个， 答：累计跳绳827个． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)，， (3)， (4) 【分析】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的验证计算即可； （4）根据上面的验证计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1，1； （2）解：猜想：，，， 理由：； ； ； 故答案为：，，； （3）解：依题意得：，； 验证：； ； 故答案为：，； （4）解：原式 ． 18．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1)B，6 (2)或5 (3)最大值为8，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值与数轴的知识，读懂题目信息，掌握数轴上两点间的距离的求法是解题的关键，也是本题的难点． （1）理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和，即可求解； （2）分情况讨论：当a在3的右边时，当a在3的左边时，当a在3与之间时，求解即可； （3）由，可得，，，据此求解即可． 【详解】（1）解：理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和， ∴当点a在和4之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：B，6； （2）解：当a在3的右边时，，解得：， 当a在的左边时，，解得：， 当a在3与之间时，距离为，即不成立； 故答案为：或5； （3）解：，， 可得，，，， ∵， 而，故，，， 从而，，或， 当，，时，最大为， 当，，时，最小为， 最大值为8，最小值为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题， 注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在选择题 有理数混合运算 能正确进行有理数的混合运算 高频考点，经常出现在大题 有理数四则运算的 实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注 意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 近似数 会求近似数，会确定近似数的精确度 易错必考点，一般出现在小题中 知识点01 有理数的加法 ★有理数的加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． 【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 知识点02 有理数的加法运算律 ★1、有理数的加法交换律： 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．即a + b = b + a. ★2、有理数的加法结合律： 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). 知识点03 有理数的减法 ★1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：a-b=a+(-b)． ★2、有理数减法的运算方法： ①把减号变为加号(改变运算符号)． ②把减数变为它的相反数(改变性质符号)． ③按照加法运算的步骤进行运算． 【注意】在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点04 有理数的加减混合运算 ★有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) 方法 步骤 直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算. 统一为加法计算 （1）利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算; （2）适当运用加法运算律简化运算. 知识点05 有理数的乘法 ★1、有理数的乘法法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 拓展： （1）一个数与1相乘等于它本身，与 −1相乘等于它的相反数. （2）若 a，b同号，则ab>0；反之，若 ab>0，则 a，b同号. 若a，b异号，则ab<0；反之，若 ab<0，则 a，b异号. ★2、有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． ★3、多个有理数相乘 （1）几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． （2）几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. 知识点06 倒数 ★1、倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ★2、倒数的性质：如果 a, b互为倒数，那么 ab=1. ★3、倒数的判定：若 ab=1，则 a，b两数互为倒数. ★4、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不称其为倒数． 知识点07 有理数的乘法运算律 ★1、有理数的乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.即a b = b a. ★2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ★3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac 知识点08 有理数的除法 ★1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. ★2、方法指引： ①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； ②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； ★3、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 知识点09 有理数的乘方的意义 ★有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） 知识点10 有理数的乘方的运算 ★1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ★2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有相反意义的量就可以用负数表示． ★3、底数为互为相反数的两个数（≠0）的幂的关系： (1)互为相反数的两个非零数的同偶次幂相等，即若a+b=0，则a2n=b2n (n为正整数，a≠0，b≠0). (2)互为相反数的两个非零数的同奇次幂仍然互为相反数， 即若a+b=0，则a2n−1 +b2n−1=0(n为正整数，a≠0，b≠0) （注：若n为正整数，则通常用2n表示整数，2n﹣1表示奇数） 知识点11 科学记数法 ★1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． （3）小于−10 的数也可以用科学记数法表示，只是多了一个负号：记作−a×10 n,其中−10＜−a≤−1. ★2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点12 有理数的混合运算 ★有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点13 近似数 ★1、准确数与近似数： 意 义 示 例 准确数 与实际完全符合的数. 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级. 近似数 与实际接近的数. 某同学的身高约为156 cm，体重约为53 kg . ★2、判断准确数与近似数的方法： 一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数. 【注意】 有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数.例如，人口普查. 知识点14 近似数的精确度 ★1、近似数的精确度：是指与准确数的接近程度.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. ★2、近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等. 【注意】 一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度.例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位. ★3、近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该数精确到哪一位. 【说明 】对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位. ★4、用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 题型一 有理数的加法 解｜题｜技｜巧 有理数加法运算的步骤： 1. 先判断类型（同号、异号等）； 2. 再确定和的符号； 3. 最后进行绝对值的加减运算. 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）将点沿数轴向左移动个单位长度可到达点，若点B在数轴上对应的数为，则点对应的数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江·期中）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）当，，且，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 题型二 有理数的减法 解｜题｜技｜巧 有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题. 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）某次数学测试的平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了　　分 A．67 B．62 C．72 D．83 【变式1】某地区某天的最高气温为，最低气温为，则最高气温与最低气温的差为 ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．2或 D．或 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算： (1)7﹣（﹣4）+（﹣5） (2)﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6 (3) (4) 题型三 有理数的乘法 解｜题｜技｜巧 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同 0 相乘，都得 0. 3．多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【典例1】下列算式中，积为正数的是（　　） A．（﹣2）×（） B．（﹣6）×（﹣2） C．0×（﹣1） D．（+5）×（﹣2） 【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】计算： （1）（﹣2）×（﹣15）×（﹣18）； （2）（）×（）； （3）（﹣1.2）×（）； （4）﹣0.01（﹣15）×0×（﹣2023）． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 题型四 有理数的除法 解｜题｜技｜巧 1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； 2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； 【典例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）要使算式□3的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【变式1】某同学在计算时，误将“”看成“+”，结果是，则的正确结果是（   ） A．6 B． C．4 D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在，2，0，，这5个数中，任取两个数相除，所得的商最小的是（   ） A． B． C． D．0 题型五 有理数的简便运算 解｜题｜技｜巧 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 4. 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. 【典例1】（24-25七年级上·浙江·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）简便计算： (1)； (2) 【变式2】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 题型六 有理数的乘方 解｜题｜技｜巧 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列各组数中，数值相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（　　） A． B． C． D． 题型七 利用有理数的乘方解决实际问题 解｜题｜技｜巧 用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的问题有 拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等都利用2n或 . 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝……”大意：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝……文中的树枝共有（   ）． A．根 B．根 C．根 D．根 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂1次，每次一分为 二，若这种细菌由1个分裂到8个，那么这个过程要经过（    ） A．3小时 B．小时 C．2小时 D．8小时 题型八 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【典例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2) 【变式2】（23-24七年级上·浙江湖州·期中）计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 题型九 乘方与相反数、倒数、绝对值的综合 解｜题｜技｜巧 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. 【典例1】已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【变式1】（1）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，求的值． （2）如果a，b表示有理数，且，求的值． 【变式2】若互为相反数，互为倒数，． （1）填空：______；______；______． （2）求的值． 题型十 科学记数法 解｜题｜技｜巧 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）年月日，杭州用一场“潮起亚细亚”为总主题的盛大开幕式，为第19届亚洲运动会开幕．以体育为媒，杭州敞开热情怀抱，向世界呈现中华文化之美，展现各方携手推动构建亚洲命运共同体的澎湃力量．其中最后的主火炬点火仪式是由主火炬手与超过个数字火炬手一起点燃，用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）2025年3月份新能源汽车市场占有率持续攀升，成为车市增 长的重要驱动力．根据中汽协最新数据显示，3月份新能源汽车销售量约为883000辆，该数据用科学记数 法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）最新数据显示，我国经济运行总体平稳、稳中有进．海关总 署发布数据显示，今年前7个月，我国货物进出口总值248300亿元，同比增长了，其中248300用科 学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型十一 近似数 解｜题｜技｜巧 求一个数的近似数，一般用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法错误的是（    ） A．近似数0.350精确到0.001 B．35600精确到千位是3.6万 C．近似数302.51精确到十分位 D．近似数2.20是由数四舍五入得到的，那么数的取值是 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的 体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十二 有理数的实际应用 解｜题｜技｜巧 利用有理数的混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有10筐蔬菜，每筐以为基准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下． 筐数 2 3 2 1 2 与标准质量比较 (1)与标准质量比较，10筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)求这10筐蔬菜的总质量． (3)若蔬菜每千克售价2元，则出售这10筐蔬菜可获得多少元？ 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）一辆出租车从公司出发，在南北向的北京路上连续接送5批 客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 5千米 2千米 千米 千米 6千米 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)该出租车送完第五批客人之后回到公司，若出租车每千米耗油升，那么在这过程中共耗油多少升？ 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）杭州亚运会已圆满结束，这离不开亚运网约车司机们的辛勤付出．老姚某天上午的营运全是在一条笔直的东西走向的路上进行．如果规定向东为正，向西为负，那么他这天上午行车里程（单位：千米）记录如下：，，，，，，，，，． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午的出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午的出发点多远？在出发点的东面还是西面？ (3)若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元，则姚师傅在这天上午一共收入多少元？ 题型十三 有理数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 本题考查数字变化的规律，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【典例1】下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 【变式1】a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈 利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈 利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 【变式2】一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…， ，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 题型十四 有理数的乘除法的规律探究题 解｜题｜技｜巧 裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【典例1】（21-22七年级上·浙江金华·期中）我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【变式2】观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【变式2】阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3） 类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 题型十五 含乘方的规律探究题 解｜题｜技｜巧 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【典例1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ (1)第①行第8个数为______；第②行第8个数为______；第③行第8个数为______． (2)是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；      ① 0，6，，18，，66，…；       ② ，，2，，8，，…；       ③ (1)请直接写出第①行数的第100项：______，第n项：______； (2)第②行数的第2012项：_____； (3)第③行数与第①行数有什么关系？ (4)取每行数第10个数，计算这三个数的和． 【变式2】（23-24七年级上·北京西城·期中）观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： (1)第4个等式中， ； (2)写出第5个等式： ； (3)写出第n个等式： （其中n为正整数） 题型十六 有理数的材料阅读问题 解｜题｜技｜巧 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. 【典例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）方方计算的过程如下： (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第______步，圆圆开始出错的是第______步； (2)写出你的计算过程． 【变式1】计算： 王林的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 王林发现自己的答案和同学们的不一样． (1)解法中第二步运用了：______（运算律）； (2)请指出他从第______步开始出现错误，写出正确的解题过程． 【变式2】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算． 计算： 题型十七 有理数的程序图问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是（   ） A．4 B．9 C．64 D．49 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．21 C．156 D．231 【变式2】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出结果是（    ）    A． B． C．8 D．20 题型十八 有理数的新定义运算问题 解｜题｜技｜巧 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【典例1】 对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义☆运算，观察下列运算： ， ， ， ， ， ． (1)两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把它们的绝对值______．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的______． (2)计算：______；______． (3)若，，且，求的值． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）【概念提出】 求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”；记作，读作“的圈4次方” 【初步思考】 (1)直接写出计算结果：2③＝ ，＝ ， 【归纳总结】 (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数a的圈n次方等于 (用代数式表示)． 【问题解决】 (3) 计算． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．﹣|﹣2025|的倒数是（　　） A． B．2025 C．﹣2025 D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）宁波市统计局发布数据，2024年宁波市第一季度的值为亿元，实际增速，增量亿元，名义增速．其中亿用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各组数中，计算结果不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，则涂色圆里的数为（   ） A． B． C．3 D．2 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）定义一种新运算，，例如： ，则的值是 ． 7．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）已知，则的值是 ． 8．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现 有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 11．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A和点B表示的数分别时和5，点P到A，B两点的距离之和为8，则点P表示的数是 ． 13．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 14．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a与互为相反数，b与互为倒数，c的绝对值为3，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 16．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 17．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 18．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $