23.4中位线（教学课件）2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦三角形中位线的概念、定理及应用，课堂导入从已学的相似三角形和平行线分线段成比例入手，通过问题链引导学生猜想中点连线与第三边的位置和数量关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于注重定理探究过程，从猜想到用相似三角形证明，应用中通过例1转化为平行四边形问题、例2转化为相似比例问题，培养推理意识和转化思想。课堂练习结合实际情境，体现几何直观和应用意识。总结清晰，学生能发展探究能力，教师可高效备课。

华东师大版·九年级上册 23.4中位线 23.4中位线 第二十三章 相似三角形 学 习 目 标 1 2 3 理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理，能运用定理解决相关问题。 经历三角形中位线定理的探索、猜想、证明过程，培养学生的观察、分析、推理能力，体会转化的数学思想。 通过对三角形中位线定理的探究，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、合作交流的精神。 知识导入 图23.4.1 问题1：如图23.4.1,在△ABC中,DE∥BC,你得到什么结论？ 结论：△ABC∽△ADE 理论依据：平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似。 知识导入 图23.4.1 问题2：由DE∥BC，你得到关于边的哪些结论结论？ 结论：== 理论依据：平行线分线段成比例的基本事实 问题3：当点D是AB的中点时，DE与BC的比值是多少？ ∵D是AB的中点 ∴AD=AB = = 知识导入 图23.4.1 思考：换一个角度考虑,如果已知点 D、E 分别是 AB与 AC 的中点,那么是否可以推出 DE∥BC? DE 与 BC 之间又存在怎样的数量关系呢? 点 D、E 分别是 AB与 AC 的中点 今天我们一起来探究一下这个问题。 新知探究 1.提出猜想： 如图 23. 4. 2,在△ABC 中,点 D、 E 分别是 AB 与 AC 的中点. 根据画出的图形,可以猜想: 图 23. 4. 2 DE ∥ BC,且 DE =BC. 请你证明你的猜想 新知探究 2.证明猜想： 已知：在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点。 求证：DE∥BC，且DE = BC。 图 23. 4. 2 证明： 在△ABC中， ∵点D、E分别是AB与AC 的中点， ∴== ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠ABC， ==， ∴DE∥BC,且DE=BC 中点的定义，将线段分为相等的两部分，所以比例为 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 相似三角形对应叫相等 相似三角形对应边成比例 同位角相等，两直线平行 新知探究 归纳与小结 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线, 并且有: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 符号语言： 在△ABC中， ∵点D、点E为AB、AC的中点 ∴DE∥BC DE=BC 典例解析 例1 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知: 如图 23. 4. 3, 在 △ABC 中,AD = DB,BE =EC,AF = FC. 求证: AE、DF 互相平分 思路解析： 连结DE、EF：辅助线的作法，为了构建平行四边形。 证明DE∥ AC 证明EF∥BA 证明四边形ADEF是平行四边形 得出AE、DF互相平分 典例解析 例1 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知: 如图 23. 4. 3, 在 △ABC 中,AD = DB,BE =EC,AF = FC. 求证: AE、DF 互相平分 证明： 连结DE、EF. ∵AD=DB,BE=EC ∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半） 同理可得EF∥BA ∴四边形ADEF是平行四边形 ∴AE、DF互相平分。 本题运用了三角形中位线定理和平行四边形的判定及性质，体现了转化的数学思想，将证明线段互相平分的问题转化为证明四边形是平行四边形的问题。 典例解析 例2 如图23. 4. 4,在△ABC 中,D、E 分别是边 BC、AB 的中点,AD、CE 相交于点 G. 求证:== 思路解析： 连结ED 证明DE∥ AC且= 得出比例关系：=== 推导== 典例解析 例2 如图23. 4. 4,在△ABC 中,D、E 分别是边 BC、AB 的中点,AD、CE 相交于点 G. 求证:== 证明： 连结ED ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE∥AC，=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半） ∴△ACG∽△DEG ∴=== ∴== 本题运用了三角形中位线定理、相似三角形的判定及性质，体现了转化的数学思想，将证明线段比例的问题转化为证明三角形相似的问题。 拓展延伸 我们之前在例 2 中，研究AD与CE的交点G时，是通过连接DE，利用三角形中位线定理证明△ACG∽△DEG，进而得到比例关系=,现在研究AD与BF(F为AC的中点)的交点G'，能否用类似的方法？ 典例解析 如图23. 4. 5,在△ABC 中,D、F 分别是边 BC、AC的中点,AD、BF 相交于点 G'. 求证:= 证明： 连结DF ∵D、F分别是边BC、AC的中点， ∴DF∥AB，=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半） ∴△ABG'∽△DFG' ∴== ∴=同理 GD = G'D，所以点G和G'在AD上的位置相同，即点G与G'重合。 拓展延伸 归纳与小结 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的。 数学上的“重心” 与 物 理 上 的“重心”是一致的. 课堂练习 第1题图 1.如图， ， 两处被池塘隔开，为了测 量 ， 两处的距离，在 外选一适当的点 ， 连接 ， ，并分别取线段 ， 的中点 ， ，测得 ，则 ____ . 40 课堂练习 第2题图 2.如图，在 中， ， , ，则 的度数是 ( ) D A. B. C. D. 第3题图 3.如图，把两根钢条 ， 的一个 端点连在一起， ， 分别是 ， 的中点.若 ，则该工件内槽宽 的长为___ . 8 课堂练习 4.如图,在 中, , , ， 分别是 ， 的中点.若 ,求 的长. 解： ， 分别是 ， 的中点, , . 在 中, , , 则 . 课堂练习 5.如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点.求证： 是等腰三角形. 证明： ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， . 又 ， . 是等腰三角形. 课堂练习 第6题图 6.如图，在 中， , 分别是 , 的中点.若 ， ，则 的度数为_____， 的长为___. 课堂练习 7.如图，在 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，已知 ， ，求四边形 的周长. 解： ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， ， ， . 四边形 是平行四边形. 四边形 的周长为 . 课堂总结 三角形的中位线 定义 连结三角形两边中点的线段 定理 应用 平行于第三边 等于第三边的一半 例1：证明线段互相平分（转化为平行四边形问题） 例2：证明线段比例（转化为相似三角形问题） 涉及数学思想：转化思想 感谢聆听! $