第2章 有理数基础过关测试卷-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第2章 有理数基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2025的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 2．若某条河的水位上升，记作，则水位下降，应记作（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ）． A．5 B． C．9 D． 4．用四舍五入法把1.7375精确到0.01，所得的近似数是（     ） A．1.73 B．1.738 C．1.74 D．1.737 5．一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7个单位长度到了，则点A所表示的数是（    ） A．6或8 B．8 C． D．8或 6．下列各组数中，相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．已知有理数，所对应的点在数轴上的位置如图所示，则有（    ） A． B． C． D． 8．质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 9．若，，且a，b为正数，则等于（   ） A． B． C．1 D．5 10．下列说法正确的是（    ） A．最小的整数是0 B．最大的负数是 C．0是有理数 D．没有绝对值最小的数 11．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知、孩子自出生后的天数是（   ） A．41 B．65 C．167 D．181 12．已知为有理数，表示不大于的最大整数，如 ， ， 等，则计算的结果为（　　） A．5 B．3 C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．哈尔滨月日的最低气温为，最高气温为，那么哈尔滨这天的温差是 ． 14．点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的数是 ． 15．比较大小： （用“＞”或“＜”表示）． 16．一种数学运算，规则是这样的：，例如，则 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）用适当方法计算 (1) (2) 19．（8分）【项目主题】去露营基地野餐 【项目背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【项目素材】从家出发，先向西骑行到炸鸡店，继续向西骑行到达面包店，然后向东骑行到达水果店，继续向东骑行到露营基地． 【项目任务】任务一：以家为原点，向东为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示各个地点的位置； 任务二：水果店离家有多远？ 任务三：一共骑行了多少千米？ 20．（8分）观察下面各数：，，，，，，，，，...... (1)写出这列数中的第100个数和第2023个数． (2)在前2024个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)2025是否在这列数中？若在，请写出2025是第几个数；若不在，请说明理由． 21．（8分）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足；如． (1)求的值； (2)求的值． 22．（10分）身体健康是人生最大的财富．小张老师是某中学“教师跑团”的成员之一，天天坚持跑步锻炼，他每天以3000米为标准，超过记为正数，不足记为负数．下表记录了小张老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)小张老师星期三跑了______米； (2)上周小张老师跑步最多的一天比最少的一天多跑了多少米？ (3)若小张老师跑步的平均速度为200米/分钟，则上周他用了多少分钟跑步锻炼？ 23．（10分）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： _________， _________； （2）关于除方，下列说法错误的是（   ）； A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n， C．， D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下面运算结果直接写成幂的形式： _________； （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式： _________； （5）算一算：． 24．（12分）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时， 可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时， 原式； ③当时， 原式； 综上讨论， 原式 通过以上阅读， 请你解决以下问题： (1)当时， ； (2)化简代数式；（写出解答过程） (3)直接写出的最大值 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2025的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 2．若某条河的水位上升，记作，则水位下降，应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，明确题目的规定是解答的关键．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【详解】解：水位上升，记作，则水位下降，应记作， 故选：A． 3．计算的结果是（   ）． A．5 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的运算，掌握底数为负数时的有理数乘方运算是解题的关键． 直接根据有理数乘方的定义求解即可． 【详解】解：． 故选C． 4．用四舍五入法把1.7375精确到0.01，所得的近似数是（     ） A．1.73 B．1.738 C．1.74 D．1.737 【答案】C 【分析】本题考查近似数，利用四舍五入法进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 5．一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7个单位长度到了，则点A所表示的数是（    ） A．6或8 B．8 C． D．8或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，有理数的加减，分类讨论是解题的关键． 根据题意由或即可求解． 【详解】依题意，一只蚂蚁从数轴上点出发爬了7个单位长度到了表示的点， 则点所表示的数为：或． ∴点所表示的数为：8或． 故选：D． 6．下列各组数中，相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法，有理数的乘方运算，求一个数的绝对值，化简多重符号等知识，先分别计算出各值，再判断即可得出答案． 【详解】解：．，，故该选项不符合题意； ．，，故该选项不符合题意； ．，，故该选项不符合题意； ．，，，故该选项符合题意； 故选：D． 7．已知有理数，所对应的点在数轴上的位置如图所示，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，熟练掌握根据点在数轴上的位置判断式子的正负是解题的关键．由题意得：，且，根据点在数轴的位置判断式子的正负的方法即可求解． 【详解】解：由题意得：，且， A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8．质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴质量最好的零件是第四个． 故选：D． 9．若，，且a，b为正数，则等于（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数加法运算．根据，，可得、的值，根据a，b为正数，从而可以求得． 【详解】解：，，且a，b为正数， ∴，， ∴． 故选：D． 10．下列说法正确的是（    ） A．最小的整数是0 B．最大的负数是 C．0是有理数 D．没有绝对值最小的数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类、绝对值，熟练掌握有理数的分类和绝对值的定义是解题的关键． 根据有理数的分类和绝对值的定义分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：A. 没有最小的整数，选项错误；     B. 最大的负整数是，没有最大的负数，选项错误； C. 0是有理数，故本选项正确；     D. 绝对值最小的数是0，选项错误． 故选：C． 11．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知、孩子自出生后的天数是（   ） A．41 B．65 C．167 D．181 【答案】C 【分析】本题考查了进位制的概念及七进制数与十进制数的转换，解题的关键是理解“满七进一”的计数规则，即每个数位的权值为7的相应幂次，通过各数位的数值乘以对应权值再求和完成转换． 明确“满七进一”为七进制计数法，从右到左各数位的权值依次为、、；对应数位数值：右起第一位6权值、第二位2权值、第三位3权值；计算总和：，得到十进制天数. 【详解】解：根据“满七进一”的计数规则，该数为七进制数，从右到左各数位的权值依次为、、 由图可知，从右到左的打结数依次为6、2、3，因此对应的十进制天数计算如下： 故选：C． 12．已知为有理数，表示不大于的最大整数，如 ， ， 等，则计算的结果为（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算及新定义．根据题意，可以先对所求式子化简，然后即可求得所求式子的值． 【详解】解： ， 故选：D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．哈尔滨月日的最低气温为，最高气温为，那么哈尔滨这天的温差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 14．点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的数是 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了数轴上点平移的性质，有理数的加减，根据平移的性质，分两种情况求点B所表示的数即可． 【详解】解：根据平移的性质得，点B所表示的数是或， 故答案为：2或． 15．比较大小： （用“＞”或“＜”表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求绝对值，化简多重符号，有理数的大小比较． 化简两数后比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 16．一种数学运算，规则是这样的：，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，有理数的减法运算，理解，再根据进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】此题考查的是有理数的乘法及乘法分配律，掌握乘法分配律和有理数的各个运算法则是解决此题的关键． （1）逆用乘法分配律进行简便计算； （2）利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： = = ； （2）解：原式 ． 19．（8分）【项目主题】去露营基地野餐 【项目背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【项目素材】从家出发，先向西骑行到炸鸡店，继续向西骑行到达面包店，然后向东骑行到达水果店，继续向东骑行到露营基地． 【项目任务】任务一：以家为原点，向东为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示各个地点的位置； 任务二：水果店离家有多远？ 任务三：一共骑行了多少千米？ 【答案】任务一：见解析；任务二：水果店离家有1千米远；任务三：一共骑行了17千米 【分析】本题考查了复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了数轴； （1）向西为负方向，则炸鸡店对应的数为，面包店对应的数为，水果店对应的数为，露营基地对应的数为，描点即可； （2）利用有理数的加减法计算即可； （3）把李明和朋友所走的路程相加即可． 【详解】解：任务一： 任务二：（千米）， 答：水果店离家有1千米远； 任务三：（千米）， 答：一共骑行了17千米． 20．（8分）观察下面各数：，，，，，，，，，...... (1)写出这列数中的第100个数和第2023个数． (2)在前2024个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)2025是否在这列数中？若在，请写出2025是第几个数；若不在，请说明理由． 【答案】(1)第100个数为100，第2023个数为 (2)正数有1012个，负数有1012个 (3)不在，理由见解析 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）先分别从奇数位和偶数位，符号和绝对值方面进行找规律，再分别代入计算； （2）利用规律进行求解； （3）根据奇数位是负数即可判断． 【详解】（1）解：因为这列数中奇数位是负数，偶数位是正数，所以这列数中的第100个数为100，第2023个数为． （2）解：在前2024个数中，正数有1012个，负数有1012个． （3）．解：2025不在这列数中。理由：因为这列数的绝对值等于其项数，所以如果2025在这列数中，它必然是第2025个数。根据规律，奇数项为负数，所以第2025个数应为，故2025不在这列数中． 21．（8分）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足；如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算； （1）根据定义的新运算代入计算即可； （2）先求出，再计算的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴ ． 22．（10分）身体健康是人生最大的财富．小张老师是某中学“教师跑团”的成员之一，天天坚持跑步锻炼，他每天以3000米为标准，超过记为正数，不足记为负数．下表记录了小张老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)小张老师星期三跑了______米； (2)上周小张老师跑步最多的一天比最少的一天多跑了多少米？ (3)若小张老师跑步的平均速度为200米/分钟，则上周他用了多少分钟跑步锻炼？ 【答案】(1)2800 (2)多跑了750米 (3)分钟 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据星期三跑步情况为，且结合每天以3000米为标准，超过记为正数，不足记为负数，进行列式计算，即可作答． （2）跑步最多的一天是星期日，跑步最少的一天是星期五，再进行列式计算，即可作答． （3）先运算总的跑步路程，再除以速度，得出上周他跑步锻炼的时间，即可作答． 【详解】（1）解：（米）， ∴小张老师星期三跑了2800米； （2）解：（米）， 答：上周小张老师跑步最多的一天比最少的一天多跑了750米； （3）解：（米）， （分钟） 答：上周他用了108.5分钟跑步锻炼． 23．（10分）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： _________， _________； （2）关于除方，下列说法错误的是（   ）； A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n， C．， D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下面运算结果直接写成幂的形式： _________； （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式： _________； （5）算一算：． 【答案】（1）4；；（2）B；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）根据新定义解答即可； （3）根据新定义把有理数的除方运算转化为乘方运算计算即可； （4）根据新定义把有理数的除方运算转化为乘方运算计算即可； （5）先根据新定义把有理数的除方运算转化为乘方，再计算即可． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：4； （2）A． 任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，所以选项A正确； B． 因为奇数个相除都是，偶数个相除都是1，所以 ，所以选项B错误； C．，所以选项C正确； D． 负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 故选：B （3） ； 故答案为： （4） ； 故答案为： （5） 【点睛】考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 24．（12分）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时， 可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时， 原式； ③当时， 原式； 综上讨论， 原式 通过以上阅读， 请你解决以下问题： (1)当时， ； (2)化简代数式；（写出解答过程） (3)直接写出的最大值 ． 【答案】(1) (2)原式 (3) 【分析】本题考查含绝对值的代数式化简问题， （1）根据绝对值的意义可得结论； （2）零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和，分三种情况找出的值即可； （3）分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 注意读懂题目的解答以及分类思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）令和，分别求得，， 可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式； （3）令和，分别求得，， 当时，原式； 当时，原式， ∴； 当时，原式， ∴的最大值为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $