第13章 勾股定理(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

第13章勾股定理 13.1勾股定理及其逆定理 13.1.1直角三角形三边的关系 第1课时勾股定理 知识梳理 直角三角形 的平方和等于 的平方，这就是我国古代所发现的 . 如果它的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么一定有a2十b= 当堂练习 1.在Rt△ABC中，已知两直角边的长分别为5,3，则斜边的长为 A.3 B.4 C.5 D.√/34 2.如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正 36 64 方形A的边长为 ( A.6 B.8 C.10 D.12 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c. (1)若a=40,c=41,求b的值； (2)若a=5,b=12,求c的值； (3)若a:b=1:2,c=5,求a,b的值. 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AB=17,BC=16. (1)求BC边上的中线AD的长； (2)求△ABC的面积. ·24· 第2课时勾股定理的简单应用 当堂练习 1.如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B与墙壁的距离为3m, 则该竹竿的顶端A距离地面的竖直高度为 A.2 m B.3 m C.4m D.√/34m 10m 6 m B B B E (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第5题图) 2.如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC的三边长a,b,c的大小关系是 A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 3.如图，在高为6m,坡面长为10m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 A.12m B.13m C.14m D.15m 4.已知甲、乙从同一地点同时出发，甲向北走了300m,乙向东走了400m,此时两人的距离 为 m. 5.如图，一架梯子AB长5m,底端离墙的距离BC为3m.当梯子下滑到DE时，AD= 1m,则BE的长为m 6.如图，一棵大树在一次台风中折断，折断处A到树顶C的距离是17，树顶C落在离树 根B15m处.科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B6m的D处竖起一个梯子 AD,点D,B,C在同一条直线上，求这个梯子AD的长. ·25· 13.1.2直角三角形的判定 知识梳理 ①如果三角形的三边长a,b,c有关系 ,那么这个三角形是直角三角形，且边 所对的角为直角，这称为勾股定理的逆定理， ②能够成为直角三角形三条边长的三个 ,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后， 仍为勾股数.常用的勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13等. 当堂练习 1.一个直角三角形的三边长分别为6,8,10，对应的角分别为∠A,∠B,∠C,则直角 是 A.∠A B.∠B C.∠C D.不能确定 2.下列各组数中，属于勾股数的是 A.5,12,13 B.1.2,2,2.5 C.9,16,25 D.3,w4,5 3.如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的形状为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 B D (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ADC中，AD=17cm,AC=15cm,CD=8cm,B是CD延长线上的点，连结 AB.若AB=25cm,则BD的长为 cm. 5.根据下列条件，能判断以a,b,c为边的三角形是直角三角形的是 .(填序号) ①a=7,b=8,c=10;②a=√/41，b=4,c=5;③a:b:c=35:12:37. 6.如图，在△ABC中，AB=13,AC=15,D是BC边上一点，BD=5,AD=12,求BC的长. ·26· 13.1.3 反证法 当堂练习 1.用反证法证明“a<b”时，首先应假设 A.a<b B.a≥b C.a≤b D.a>b 2.用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于60°，证明的第一步是( A.假设最大的内角小于60° B.假设最大的内角大于60 C.假设最大的内角大于或等于60° D.假设最大的内角小于或等于60° 3.求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等. 13.2勾股定理的应用 当堂练习 1.如果梯子的底端离建筑物9m,那么15m长的梯子可以到达建筑物的最高高度 是 A.10m B.11m C.12m D.13m 2.如图，一圆柱的底面周长为14cm,高AB为24cm,BC为直径，则一只蚂蚁从 B 点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是 A.31 cm B.24 cm C.25 cm D.50 cm 3.如图，三级台阶每一级的长、宽、高分别为55cm,10cm,6cm.已知A,B是这个台阶上 两个相对的端点，求一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路径 ·27…12.2.4边边边 知识梳理 ①全等边边边SSS②SAS ASA AAS SSS 当堂练习 1.B2.D3.SSS4.①②③④5.证明：：AF=CE,AF+EF=CE+EF,即AE AD=CB. =CF.在△ADE和△CBF中，DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SSS). AE=CF, 12.2.5斜边直角边 知识梳理 ①斜边一条直角边斜边直角边HL②ASA AAS SSS SAS HL 当堂练习 1.A2.D3.①②③4.65.证明：BF=EC,.BF+FC=EC十FC,即BC=EF (AC=DF, 在Rt△ABC和Rt△DEF中， .Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)..AB=DE. BC=EF. 12.3等腰三角形 12.3.1等腰三角形的性质 知识梳理 ①两条边相等②相等等边对等角③中线顶角的平分线④相等相等60° 当堂练习 1.C2.B3.204.15°5.证明：，AB=AC,.∠B=∠C.AD∥CB,.∠B= ∠EAD,∠C=∠CAD..∠EAD=∠CAD..AD平分∠CAE 12.3.2等腰三角形的判定 当堂练习 1.B2.C3.B4.45.①②③④ 12.4逆命题和逆定理 12.4.1互逆命题和互逆定理 当堂练习 1.B2.如果(x-a)(x一b)=0,那么x=a假3.两锐角互余的三角形是直角三角 形4.解：(1)逆命题：如果∠α十∠B=180°，那么∠α与∠B是邻补角，是假命题.(2)逆 命题：如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的内角相等，是真命题， 12.4.2线段垂直平分线 知识梳理 ①垂直平分线②相等③垂直平分线 当堂练习 1.B2.B3.105°4.解：DE是线段AC的垂直平分线，∴.EA=EC.∠EAC= ∠C.:∠FAE=18°，∴.∠FAC=∠EAC+∠FAE=∠C+18°.：AF平分∠BAC, ∠BAC=2∠FAC=2∠C+36°.：∠B+∠BAC+∠C=180°，∠B=69°，.69°+ 2∠C+36°+∠C=180°..∠C=25°. -94 12.4.3角平分线 知识梳理 ①角平分线所在的直线②相等③角的平分线上 当堂练习 1.C2.B3.35°4.35.证明：∠C=90°，DF⊥AB,∠BFD=∠C=90°.在 (DE=DB, Rt△CDE和Rt△FDB中， .Rt△CDE≌Rt△FDB(HL)..DC=DF CE=FB, :∠C=90°，DC⊥AC.又：DF⊥AB,点D在∠A的平分线上 第13章勾股定理 13.1勾股定理及其逆定理 13.1.1直角三角形三边的关系 第1课时勾股定理 知识梳理 两直角边斜边勾股定理2 当堂练习 1.D2.C3.解：(1)a2+b2=c2,.b=√c2-a=√41-40=9.(2)a2+= c2,c=√a2+b=√5+12=13.(3)a:b=1:2,.设a=x,b=2x.由勾股定理， 得x2十(2x)2=5,解得x=√5（负值已舍去）.a=√5，b=2√5.4.解：(1)：AB= AC,AD是△ABC的中线，“ADLBC,BD=号BC=号X16=8.在R△ABD中，由勾 股定理，得AD=VAB-BD=7-8=15.(2)Sac=乞BC·AD=之X16X15 =120. 第2课时勾股定理的简单应用 当堂练习 1.C2.C3.C4.5005.16.解：根据题意，得AC=17m,BC=15m,BD=6m, AB⊥CD.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=√AC-BC=√17-15=8(m). 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=√AB十BD=√82+6=10(m).答：梯子 AD的长为10m. 13.1.2直角三角形的判定 知识梳理 ①a2十b2=2c②正整数 当堂练习 1.C2.A3.A4.125.②③6.解：AB=13,BD=5,AD=12,.BD+AD2= 52+12=169,AB=13=169..BD2+AD=AB.∴.∠ADB=90°.∴.∠ADC=180 -∠ADB=90°.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD=√AC-AD=9.∴.BC=BD +CD=14. 13.1.3反证法 当堂练习 1.B2.A3.证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定 一 95 理“等边对等角”，得这两条边所对的角也相等，这与已知条件：两个角不相等相矛盾， 假设不成立..在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等. 13.2勾股定理的应用 当堂练习 1.C2.C3.解：如图是这个三级台阶的平面展开图，最短路径为AB的长. 由题意，得∠C=90°，AC=55cm,BC=3×10十3×6=48(cm).由勾股定 理，得AB=√AC十BC=73cm.答：一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短 路径为73cm. 第14章数据的收集与表示 14.1数据的收集 14.1.1数据有用吗 14.1.2亲自调查获取一手数据 当堂练习 1.826合 14.1.3检索文献获取二手数据 当堂练习 解：从数据中能获得以下信息：①我国人口总数在逐年增加.②我国城镇人口比重在逐 年提高，2000年以前提高的速度相对较慢，2000年以后提高的速度明显加快.（答案不 唯一，合理即可) 14.2数据的表示 14.2.1频数分布直方图 当堂练习 1.C2.解：(1)正正10正5(2)补全频数分布直方图如图. 十颜数 (3)由频数分布直方图知，气温x满足17≤x<22的天数最多， 15 10 1217222732温度/℃ 有10天.（答案不唯一） 14.2.2扇形统计图 当堂练习 1.C2.15 14.2.3容易误导读者的统计图 1.D2.甲3.解：(1)由图可知：小苗的年龄最大，小强的年龄最小.(2)小苗比小强大 18-13=5(岁).(3)容易.因为纵轴上的数值不是从0开始的.(4)纵轴上的数值应从0 开始即可. 96