2.1圆的方程同步步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

2．1　圆 的 方 程 2.1.1　圆的方程(1) 一、 单项选择题 1 (2024马鞍山一中月考)圆心为(－3，1)，半径为的圆的方程为(　　) A. (x－3)2＋(y－1)2＝5 B. (x＋3)2＋(y－1)2＝5 C. (x＋3)2＋(y－1)2＝25 D. (x＋3)2＋(y－1)2＝ 2 (2024赣州一中期中)若原点在圆(x－3)2＋(y＋4)2＝m的外部，则实数m的取值范围是(　　) A. m>25 B. m>5 C. 0<m<25 D. 0<m<5 3 已知圆C经过点A(1，3)，若圆C上存在点B与点A关于直线y＝x对称，且圆心C为(－1，a)，则圆C的半径为(　　) A. B. 2 C. 10 D. 20 4 (2024南通中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为(　　) A. x2＋(y＋5)2＝5 B. x2＋(y－5)2＝5 C. x2＋(y＋5)2＝25 D. x2＋(y－5)2＝25 5 (2024盐城七校期中联考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的标准方程为(　　) A. (x－2)2＋(y＋2)2＝3 B. (x＋2)2＋(y＋2)2＝3 C. (x＋2)2＋(y－2)2＝3 D. (x－2)2＋(y－2)2＝3 6 已知直线x＋y＋4＝0与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P在圆x2＋(y－2)2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　) A. [2，6] B. [4，8] C. [8，16] D. [4，8] 二、 多项选择题 7 (2025启东汇龙中学月考)过点A(1，－1)与B(－1，1)且半径为2的圆的方程可以为(　　) A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4 B. (x－1)2＋(y－1)2＝4 C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4 D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4 8 (2025如皋搬经中学月考)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列说法中正确的是(　　) A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B. 所有圆Ck均不经过点(3，0) C. 经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D. 所有圆的面积均为4π 三、 填空题 9 (2024苏州十中月考)与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6同圆心且过点P(－1，1)的圆的方程是________． 10 (2024海门中学月考) 与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x－y＋6＝0上的圆的标准方程是________． 11 (2025重庆七中期中)已知从点(－5，3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆(x－1)2＋(y－1)2＝5的圆周，则反射光线所在的直线方程为________． 四、 解答题 12 已知点A(－1，1)，B(1，3). (1) 求线段AB的垂直平分线的方程； (2) 若圆C经过A，B两点，且圆心在 x轴上，求圆C的方程． 13 (2024海门证大中学月考)已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在边AD所在直线上． (1) 求边AD所在直线的方程； (2) 求矩形ABCD外接圆的方程． 2．1.2　圆的方程(2) 一、 单项选择题 1 (2024盐城一中期中)已知圆C的方程为x2＋y2＋8x＋8＝0，则圆C的半径为(　　) A. B. 2 C. 2 D. 8 2 (2024盐城中学期末)若方程x2＋y2＋4mx－2y＋4m2－m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　) A. (－∞，－1) B. (－∞，1) C. (－1，＋∞) D. [－1，＋∞) 3 已知圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A. (－∞，－3) B. (－∞，－3] C. D. 4 (2024泰州中学期中)方程x2＋y2－2mx－4y＋2m2－4m－1＝0所表示的圆的最大面积为(　　) A. 4π B. 9π C. 8π D. 16π 5 (2024镇江中学期中)已知圆C：x2＋y2－2y＝0，则的最大值为(　　) A. 4 B. 13 C. ＋1 D. 2＋11 6 (2024南京建业高级中学月考)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，且点P不在直线AB上，则△PAB面积的最大值为(　　) A. 1 B. C. 2 D. 2 二、 多项选择题 7 (2024徐州三中期初)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)，则下列说法中正确的是(　　) A. 圆心C的坐标为(2，7) B. 点Q在圆C外 C. 若点P(m，m＋1)在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则MQ的取值范围为[2，6] 8 (2024泰州中学质量检测)已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法中正确的是(　　) A. 当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆 B. 当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆 C. 当a＝0时，表示的圆的半径为4 D. 当a＝8时，表示的圆与y轴相切 三、 填空题 9 (2024天津新华中学月考)若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________． 10 (2024白蒲高级中学月考)在△ABC中，点A(0，3)，B(－，0)和C(，0)，则△ABC的外接圆方程为________． 11 (2025如皋长江中学月考)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，若点P满足2PO2＋PA2＝2，则△POA面积的最大值为________． 四、 解答题 12 (2024南京二十九中月考)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2). (1) 求圆C的一般方程； (2) 已知点P(a，1)在圆C外，求实数a的取值范围． 13 (2025海安中学月考)在①过点C(2，0)；②圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知圆E经过点A(0，0)，B(1，1)，且________． (1) 求圆E的一般方程； (2) 设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程． 2．1.3　圆的方程(3) 一、 单项选择题 1 (2024常州中学期中)已知圆O：x2＋y2－4x＋6y＋5＝0，则圆心O和半径r分别为(　　) A. O(－2，3)，r＝3 B. O(2，－3)，r＝2 C. O(－2，3)，r＝2 D. O(2，－3)，r＝3 2 (2024天津南开中学期末)以直线l：x＋(m＋2)y－3－m＝0恒过的定点为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A. x2＋y2－2x－2y＝2 B. x2＋y2－2x－2y＝1 C. x2＋y2－2x－2y＋1＝0 D. x2＋y2－2x－2y＝0 3 (2024启东一中月考)已知圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1与圆N关于直线x－y＝0对称，则圆N的方程为(　　) A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝1 B. (x－2)2＋(y＋1)2＝1 C. (x＋2)2＋(y＋1)2＝1 D. (x－1)2＋(y－2)2＝1 4 如图，已知ACB为一弓形，且点A，B，C的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，(0，2)，则弓形ACB所在圆的方程为(　　) A. x2＋y2＝16 B. x2＋y2＝4 C. x2＋(y＋2)2＝20 D. x2＋(y＋3)2＝25 5 (2024仙桃一中期中)已知点P(0，2)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q在圆C：x2＋y2＋2x＋m＝0外，则实数m的取值范围是(　　) A. (－4，＋∞) B. (－∞，1) C. (－4，1) D. (－∞，－4)∪(1，＋∞) 6 (2024北京东城期末)在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过(－2，－2)，(－2，6)，(4，－2)三点，则该圆经过的整点共有(　　) A. 6个 B. 8个 C. 10个 D. 12个 二、 多项选择题 7 (2024徐州一中期中)已知圆C：x2＋y2＋kx－2y＋k2＝0，k∈R，则下列说法中正确的是(　　) A. 当k＝0时，圆C的面积是π B. 实数k的取值范围是(－，) C. 点(0，－1)在圆C内 D. 当圆C的周长最大时，圆心坐标为(0，－1) 8 已知动点P与两定点A(0，0)，B(3，0)的距离之比为1∶2，则下列说法中正确的是(　　) A. 点P的轨迹所围成的图形的面积是4π B. 点P到点A距离的最大值是2 C. 点P到点B距离的最大值是6 D. 当点P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是3 三、 填空题 9 (2024邯郸一中期中)若圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4上存在两点关于直线ax＋y－1＝0对称，则实数a的值为________． 10 已知M是直线x＝4上的动点，点N在线段OM上(O是坐标原点)，且满足OM·ON＝16，则动点N的轨迹方程为__________________． 11 (2024启东中学月考)设A(x，y)为圆x2＋(y－2)2＝1上任意一点，则的取值范围是________． 四、 解答题 12 (2024连云港四校期中联考)赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16 m，拱高为4 m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系． (1) 求这座圆拱桥所在圆的方程； (2) 若该景区游船的宽为10m，水面以上的高为3m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由．(参考数据：≈1.732) 　 13 (2024扬州一中期中)已知圆C过A(4，1)，B(0，1)，M(2，3)三点，直线l：y＝x＋2. (1) 求圆C的方程； (2) 求圆C关于直线l对称的圆C′的方程； (3) 若P为直线l上的动点，Q为圆C上的动点，O为坐标原点，求OP＋PQ的最小值． 2．1　圆 的 方 程 2.1.1　圆的方程(1) 1. B　由圆的标准方程公式，得所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝5. 2. C　由题意，得圆(x－3)2＋(y＋4)2＝m的圆心为(3，－4)，半径为，所以m>0.若原点在圆(x－3)2＋(y＋4)2＝m的外部，则(0－3)2＋(0＋4)2>m，所以m<25.综上，0<m<25. 3. B　由题意，得直线y＝x经过圆心(－1，a)，所以a＝－1，所以r＝AC＝＝2. 4. B　由题意，得圆心M的坐标为(0，5)，半径为MQ＝＝，所以圆M的标准方程为x2＋(y－5)2＝5. 5. A　由题意，得两圆的圆心C1(－1，1)和C2关于直线x－y－1＝0对称，且两圆的半径相等为.设点C2(a，b)，则解得所以圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝3. 6. C　由题意，得直线x＋y＋4＝0交x轴于点A(－4，0)，交y轴于点B(0，－4)，所以AB＝4.又圆x2＋(y－2)2＝2的圆心(0，2)到直线AB的距离d1＝＝3，圆的半径为，所以圆x2＋(y－2)2＝2上的点P到直线AB的距离d2的取值范围为[2，4]，所以△ABP的面积S△ABP＝AB·d2∈[8，16]. 7. BC　设圆心为C(a，b)，则圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，故a＝b，则圆心C(a，a).由CA＝2，得(a－1)2＋(a＋1)2＝4，解得a＝±1，故圆心C(1，1)或C(－1，－1)，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4或(x＋1)2＋(y＋1)2＝4.故选BC. 8. ABD　对于A，圆心为(k，k)，一定在直线y＝x上，故A正确；对于B，将点(3，0)代入，得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C，将点(2，2)代入，得k2－4k＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，所以经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；对于D，所有圆的半径为2，面积为4π，故D正确．故选ABD. 9. (x－2)2＋(y＋3)2＝25　圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6的圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的圆心坐标为(2，－3)，半径为R＝＝5，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 10. (x＋2)2＋(y－2)2＝4或(x＋6)2＋(y＋6)2＝36　由圆心在直线2x－y＋6＝0上，可设圆心为C(a，2a＋6)，由圆与两坐标轴都相切，可得|a|＝|2a＋6|，解得a＝－6或a＝－2.若a＝－6，则圆心为(－6，－6)，半径为6，圆的方程为(x＋6)2＋(y＋6)2＝36；若a＝－2，则圆心为(－2，2)，半径为2，圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.综上，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4或(x＋6)2＋(y＋6)2＝36. 11. 2x－3y＋1＝0　设点A的坐标为(－5，3)，圆(x－1)2＋(y－1)2＝5的圆心坐标为B(1，1).设C(x，0)是x轴上一点．因为反射光线恰好平分圆(x－1)2＋(y－1)2＝5的圆周，所以反射光线经过点B(1，1).由反射的性质可知kAC＋kBC＝0，即＋＝0，解得x＝－，所以kBC＝＝，所以反射光线所在的直线方程为y＝，即2x－3y＋1＝0. 12. (1) 因为点A(－1，1)，B(1，3)， 所以线段AB的中点为(0，2). 又kAB＝＝1， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为－1， 所以线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－0)，即x＋y－2＝0. (2) 由(1)知，线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－2＝0， 因为圆C经过A，B两点， 所以线段AB的垂直平分线经过圆心C. 因为圆C的圆心在x轴上， 所以在方程x＋y－2＝0中，令y＝0，得x＝2，即圆心为C(2，0)， 所以圆的半径为r＝AC＝＝， 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 13. (1) 因为边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为－3. 又因为点T(－1，1)在直线AD上， 所以边AD所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0. (2) 由解得 所以点A的坐标为(0，－2). 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为M(2，0)， 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又AM＝＝2， 所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. 2．1.2　圆的方程(2) 1. C　圆C的方程为x2＋y2＋8x＋8＝0，即(x＋4)2＋y2＝8，所以圆C的半径为＝2. 2. C　由D2＋E2－4F>0，得(4m)2＋(－2)2－4(4m2－m)>0，即4m＋4>0，解得m>－1，即实数m的取值范围是(－1，＋∞). 3. A　由x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0，得(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，所以圆心的坐标为(a，－2a)，半径为3.因为圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上的所有点都在第二象限，所以解得a<－3. 4. B　将圆的方程化为(x－m)2＋(y－2)2＝－m2＋4m＋5，则－m2＋4m＋5>0，解得－1<m<5，所以圆的半径r＝＝≤3，当且仅当m＝2时，等号成立，所以圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为9π. 5. C　易知d＝＝表示圆C上的点(x，y)到点(1，－2)的距离. 因为圆C：x2＋(y－1)2＝1，圆心C(0，1)，半径r＝1.显然dmax＝＋r＝＋1. 6. B　以A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0).设点P(x，y)，由＝，得3PA2＝PB2，即3x2＋3y2＝(x－2)2＋y2，整理，得(x＋1)2＋y2＝3，所以点P的轨迹是以点C(－1，0)为圆心，为半径的圆，则点P到直线AB距离的最大值为，所以△PAB面积的最大值为S＝×AB×＝. 7. AB　对于A，由x2＋y2－4x－14y＋45＝0，得(x－2)2＋(y－7)2＝8，显然该圆的圆心C的坐标为(2，7)，故A正确；对于B，因为(－2－2)2＋(3－7)2>8，所以点Q在圆C外，故B正确；对于C，若点点P(m，m＋1)在圆C上，则(m－2)2＋(m＋1－7)2＝8，解得m＝4，即点P(4，5)，所以直线PQ的斜率为＝，故C错误；对于D，因为CQ＝＝4，该圆的半径为2，所以4－2≤MQ≤4＋2，即2≤MQ≤6，故D错误．故选AB. 8. BD　方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0可化为(x－2)2＋(y＋4)2＝20－2a.对于A，当a＝10时，20－2a＝0，故A错误；对于B，当a<10时，20－2a>0，表示圆心为(2，－4)的圆，故B正确；对于C，当a＝0时，20－2a＝20，表示的圆的半径为r＝2，故C错误；对于D，当a＝8时，20－2a＝4，方程表示的圆半径为r＝2.又圆心坐标为(2，－4)，所以圆心到y轴的距离等于半径，所以圆与y轴相切，故D正确．故选BD. 9. 2　因为圆心为(1，2)，半径为1的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0，所以a＝2，b＝－4，c＝4，所以a＋b＋c＝2. 10. x2＋y2－2y－3＝0　由题意，设外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，代入三个点的坐标，可得解得所以△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2y－3＝0， 11. 　设点P(x，y)，由2PO2＋PA2＝2，得2(x2＋y2)＋(x－1)2＋y2＝2，整理，得x2＋y2－x－＝0，即＋y2＝，所以点P的轨迹是以为圆心，r＝为半径的圆，所以△POA面积的最大值为OA×r＝×1×＝. 12. (1) 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 代入A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)，得 解得 所以圆C的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0. (2) 因为点P(a，1)在圆C外， 所以a2＋6a－7>0， 解得a>1或a<－7， 所以实数a的取值范围为(－∞，－7)∪(1，＋∞). 13. (1) 若选①：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则解得 所以圆E的方程为x2＋y2－2x＝0. 若选②：易知直线mx－y－m＝0恒过点(1，0). 因为圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分， 所以mx－y－m＝0恒过圆心， 所以圆心坐标为(1，0). 又圆E经过点A(0，0)，所以圆的半径r＝1， 所以圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0. 若选③：设圆E的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由题意，得解得 所以圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0. (2) 设点M(x，y). 因为M为线段AP的中点，所以P(2x，2y). 因为P是圆E上的动点， 所以(2x)2＋(2y)2－2×2x＝0，即x2＋y2－x＝0， 所以点M的轨迹方程为x2＋y2－x＝0. 2．1.3　圆的方程(3) 1. B　圆O的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝8，所以圆心O(2，－3)，半径r＝2. 2. D　由x＋(m＋2)y－3－m＝0，得x＋2y－3＋(y－1)m＝0，则解得所以直线l恒过定点(1，1)，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝()2，即x2＋y2－2x－2y＝0. 3. D　由题意，得圆M的圆心为M(2，1)，半径为1，点M(2，1)关于直线x－y＝0的对称点是N(1，2)，所以圆N的圆心是N(1，2)，半径是1，所以圆N的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1. 4. D　因为圆心在弦AB的中垂线上，所以圆心在y轴上，可设圆心为P(0，b).因为AP＝CP，所以＝|2－b|，解得b＝－3，所以圆心P(0，－3)，半径r＝CP＝5，所以圆的标准方程为x2＋(y＋3)2＝25. 5. C　设点Q(a，b)，则 解得a＝1，b＝1，即Q(1，1).因为点Q(1，1)在圆C外，所以1＋1＋2＋m＞0，解得m＞－4.因为x2＋y2＋2x＋m＝0表示圆，所以4－4m＞0，解得m＜1，综上，－4＜m＜1. 6. D　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意，得解得所以圆的方程为x2＋y2－2x－4y－20＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝25，故该圆经过的整点有(1，7)，(1，－3)，(4，6)，(4，－2)，(5，5)，(5，－1)，(6，2)，(－2，－2)，(－2，6)，(－3，5)，(－3，－1)，(－4，2)，共12个． 7. AB　由x2＋y2＋kx－2y＋k2＝0，得＋(y－1)2＝1－k2. 对于A，当k＝0时，圆C的半径为1，所以圆C的面积为π×12＝π，故A正确；对于B，由半径的平方大于0，得1－k2>0，解得－<k<，故B正确；对于C，由02＋12＋0＋2＋k2＞0，得点在圆C外，故C错误；对于D，当k＝0时，半径取得最大值1，即圆C的周长最大，此时圆心坐标为(0，1)，故D错误．故选AB. 8. ACD　对于A，设点P(x，y).因为动点P与两定点A(0，0)，B(3，0)的距离之比为1∶2，所以(x－0)2＋(y－0)2＝[(x－3)2＋(y－0)2]，即x2＋y2＋2x＝3，即(x＋1)2＋y2＝4，所以P是以点(－1，0)为圆心，2为半径的圆上的一点，所以点P的轨迹所围成的图形的面积是4π，故A正确；对于B，点P到点A的距离的最大值为圆心C(－1，0)到点A的距离加上圆的半径．又AC＝1，所以点P到点A的距离的最大值为1＋2＝3，故B错误；对于C，点P到点B的距离的最大值为圆心C(－1，0)到点B的距离加上圆的半径．又BC＝4，所以点P到点B的距离的最大值是4＋2＝6，故C正确；对于D，当P，A，B三点不共线时，点P到直线AB的最大距离为2，则△PAB面积的最大值为×3×2＝3，故D正确．故选ACD. 9. 2　由题意，得直线ax＋y－1＝0过圆C的圆心(2，－3)，所以2a－3－1＝0，解得a＝2. 10. (x－2)2＋y2＝4(0<x≤4)　设点M(4，t)，t∈R，N(x，y)，依题意可知0<x≤4.因为O，N，M三点共线，所以＝，即t＝，所以点M.因为OM·ON＝16，所以×＝4×＝＝16，整理，得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4(0<x≤4). 11. (－∞，－]∪[，＋∞)　如图，作出圆x2＋(y－2)2＝1的图象．因为A(x，y)是圆上一点，所以可看成圆上的点与原点连线的斜率．当直线与圆相切时，设切线斜率为k，则圆心(0，2)到直线kx－y＝0的距离为＝1，解得k＝±.由图知要使过原点的直线与圆有公共点，需使直线倾斜角不小于切线OA1的倾斜角60°，或不超过切线OA2的倾斜角120°，所以直线的斜率k≥tan 60°＝或k≤tan 120°＝－，即的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞). 12. (1) 设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). 因为该拱圆过点A(－8，0)，B(8，0)，C(0，4), 所以解得 所以拱圆的一般方程为x2＋y2＋12y－64＝0， 即x2＋(y＋6)2＝100. (2) 当x＝5时，52＋(y＋6)2＝100， 解得y＝5－6≈2.66<3， 所以该景区游船不能从桥下通过． 13. (1) 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 代入点A(4，1)，B(0，1)，M(2，3)， 得解得 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. (2) 设点C′(m，n)，则 解得所以C′(－1，4). 又因为对称圆的半径不变， 所以圆C′的方程为(x＋1)2＋(y－4)2＝4. (3) 因为OP＋PQ≥OP＋PC－2， 由(2) 可知点C关于直线l的对称点为C′， 所以OP＋PC＝OP＋PC′≥OC′＝＝， 当且仅当O，P，C′三点共线时取等号， 所以OP＋PQ≥－2，即OP＋PQ的最小值为－2. 学科网（北京）股份有限公司 $