第14章 全等三角形 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十四章综合评价 1.D2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.A9.A10.C11.70°12.213.边 角边（或SAS)14.315.1116.217.①②③④18.95°19.证明：AE⊥AB, ∠BAE=90°.：△ACE≌△AFB,∴.∠CAE=∠BAF,∠C=∠F,.∠CAB十 ∠BAE=∠BAC+∠CAF,∠CAF=∠BAE=90°.∠C=∠F,∴.∠FMC=∠CAF =90°，∴.CE⊥BF.20.解：(1)：∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，∠B+∠A+ ∠A=∠ECD, ∠ACB=180°，∠ACE=∠B,.∠A=∠ECD.在△ABC和△CDE中，∠B=∠D, BC=DE, .△ABC≌△CDE(AAS);(2).△ABC≌△CDE,.CD=AB=3.∴.BD=BC+CD= 2+3=5.21.解：(1)，BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE.在△ABE和△DBE中， (AB=DB, ∠ABE=∠DBE,∴.△ABE≌△DBE(SAS);(2):∠A=100°，∠C=50°，∴∠ABC= BE=BE. 180°-∠A-∠C=180°-100°-50°=30.：BE平分∠ABC,.∠DBE=号∠ABC= 号×30=15，∠AEB=∠DBE+∠C=15°+50=65. 22.解：∠C=100°， ∠ADC=65°，∴.∠CAD=15°，∴.∠CAD=∠BEC.在△ACD和△ECB中， ∠A=∠E, ∠C=∠C,△ACD≌△ECB(AAS)..AC=CE.又CB=CD,AB=DE= CD=CB, 30m.23.解：(1)：∠EAD=∠EDA=45°，∠BAC=90°，∠BAE=∠CDE=135°. 点D是AC的中点，∴AC=2CD.又：AC=2AB,.CD=AB.在△ABE和△DCE (AB=DC. 中，∠BAE=∠CDE,∴△ABE≌△DCE(SAS);(2)BE=EC,BE⊥EC,理由如下：由 AE-DE, (1)知，△ABE≌△DCE,∴.BE=EC,∠AEB=∠DEC.∠AED=90°，.∠AEB+ ∠BED=90°，∠DEC十∠BED=90°，即∠BEC=90°，∴.BE⊥EC.24.解：(1)②@① ③(2)①(3)过点D作DF⊥BC于点F.:DE⊥AB于点E,BD平分∠ABC,∴DE -DF.BC=12,SAmDF BC=30.DE-DF-5.AB=18.Sam 号AB·DE=号×18X5=45,25,解：I):0B10C,∠B0D+∠00E=90.又 CE⊥OA,BD⊥OA,∠CEO=∠ODB=90°，∠BOD+∠B=90°，∴∠COE= ∠B:(2)由题意，得OC=OB=OA=17cm.由(1)，得∠COE=∠B,∠CEO=∠ODB= ∠CEO=∠ODB, 90°.在△COE和△OBD中，∠COE=∠B,.△COE≌△OBD(AAS),.OE=BD OC=BO, =8cm.:OB=OA=OC=17cm,.AE=OA-OE=17-8=9(cm).26.解：(1)在 AC=BC, △ACE和△BCD中，J ∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌△BCD(SAS).∴.∠EAC= EC=DC, ∠EBF,AE=BD.∠AEC=∠BEF,.180°-∠EAC-∠AEC=180°-∠EBF- ∠BEF,即∠BFE=∠ACE=90°，AE⊥BD;(2)(1)中结论仍然成立.证明如下：设 AC与BD相交于点O.,∠ACB=∠ECD,.∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD,即 AC=BC, ∠BCD=∠ACE.在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌△BCD EC=DC, 第37页（共60页） (SAS).∴∠CAE=∠CBD,AE=BD.:∠AOD=∠BOC,.180°-∠CAE-∠AOD= 180°-∠CBD-∠BOC,即∠BFA=∠BCA=90°..AF⊥BD:(3)∠AFG的大小确 定，∠AFG=45°.过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M,N.:△ACE≌ △BCD.=SAE=BD.:SxE=AECN,Sam=BD·CM. CM=CN.CM⊥BD,CN⊥AE,CF平分∠BFE.AF⊥BD,.∠BFE=90°，. ∠EFC=45°，∴.∠AFG=45°. 第十五章综合评价 1.C2.D3.B4.D5.A6.D7.C8.D9.A10.D11.70°12.713.5 14.115.46°16.517.618.130°19.证明：AB=AC,AM是边BC上的中线， .AM⊥BC,AM垂直平分BC.,点N在AM上，∴.NB=NC.20.解：，AB=AC, ∠BAC=120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC=号×(180°-120)=30.：AE⊥ AB,∴∠BAE=90°，∴.∠EAC=∠BAC-∠BAE=120°-90°=30°，∴.∠C=∠EAC, .EC=AE=3cm.在Rt△ABE中，∠B=30°，∴.BE=2AE=2X3=6(cm),∴.BC=BE +EC=6+3=9(cm).21.解：(1)AB=AC,.∠B=∠C.在△BDE和△CFD中， BE=CD, ∠B=∠C,∴.△BDE≌△CFD(SAS);(2).∠A=40°，∴.∠B=∠C=70°..△BDE BD=CF, ≌△CFD,∠BED=∠CDF.:∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF,∴∠EDF =∠B=70°.22.解：：∠CBD是△ABC的外角，∴∠BCA=∠CBD-∠A=60°- 30°=30°，∴∠BCA=∠A,.BC=AB=2×40=80(n mile).在Rt△BDC中，∠CBD =60,∠BCD=30,BD=号BC=之×80=40(nmil0).答：当轮船到达灯塔C的 正东方向D处时，又航行了40 n mile..23.解：(1).△ABD和△ACE都是等边三角 形，.∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB,AE=AC,.∠DAB+∠BAC=∠EAC+ (AD=AB, ∠BAC,即∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE中，∠DAC=∠BAE,∴.△DAC≌ AC=AE, △BAE(SAS),.DC=BE;(2)'△DAC≌△BAE,∴.∠ADC=∠ABE,∴.∠ADB= ∠ODB+∠ADC=∠ODB+∠ABE=60°，∴.∠BOC=∠ODB+∠OBD=∠ODB+ ∠ABD+∠ABE=(∠ODB十∠ABE)+∠ABD=60°+60°=120°.24.解：(1)如图； (2)如图，△A'B'C'即为所求：(3)点B'的坐标为(2,1)：(4)如 图，点P即为所求.25.证明：(1).AD平分∠BAC,.∠CAD=∠BAD.DE∥ AC,∠CAD=∠ADE,.∠ADE=∠BAD.BD⊥AD,∠BAD+∠ABD=90°， ∠ADE十∠BDE=90°，∴∠BDE=∠ABD,DE=BE,.△BDE是等腰三角形； (2)由(1)，知∠ADE=∠BAD,∴AE=DE.:CD∥AB,.∠EAD=∠CDA.在△ACD ∠CAD=∠EDA, 和△DEA中，AD=DA, △ACD≌△DEA(ASA),∴.CD=AE,.CD=DE. ∠CDA=∠EAD, 由(1)，知DE=BE,.CD=BE.26.解：(1)△BOC≌△ADC,∴.OC=DC. :∠OCD=60°，∴.△OCD是等边三角形：(2)△AOD是直角三角形.理由如下： :△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°.：△BOC2△ADC,a=150°，.∠ADC= ∠BOC=a=150°，∴.∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴.△AOD是直角三 第38页（共60页） 角形；(3)：△OCD是等边三角形，∴.∠COD=∠ODC=60°.：∠AOB=110°，∠ADC =∠BOC=a,.∠AOD=360°-∠A0B-∠BOC-∠COD=360°-110°-a-60°= 190°-a,∠ADO=∠ADC-∠ODC=a-60°，∴.∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO= 180°-(190°-a)-(a-60)=50°.①当∠A0D=∠AD0时，190°-a=a-60°，∴a= 125°.②当∠AOD=∠OAD时，190°-a=50°，a=140°.③当∠ADO=∠OAD时，a- 60°=50°，.a=110°.综上所述，当a=110°或125°或140时，△A0D是等腰三角形. 期中综合评价 1.A2.D3.C4.C5.D6.B7.B8.B9.A10.C11.812.213.4 14.(-1,3)或(-1，-1)15.65°16.617.1518.419.证明：AC是∠BAE的 ∠BAC=∠DAE, 平分线，∴.∠BAC=∠DAE.在△BAC和△DAE中， ∠C=∠E, ..△BAC2 AB=AD, △DAE(AAS),∴.BC=DE.20.解：(1)如图，点E即为所求； (2)8 21.解：(1)点B为线段DE的中点，BD=BE.又∠DBC=∠EBA,BC=BA, .△DBC≌△EBA(SAS),∠CDB=∠E,.CD∥EF:(2)CD∥EF,∠CDF+ ∠DFE=180°.∠DFE=58°，∴.∠CDF=122°.：DE平分∠CDF,∠CDB= ∠CDF=61°，∠E=∠CDB=61°.22.解：(1)如图，△ABC即为所求；C,(1, 1 0):(2)5.5(3)如图，点P即为所求 23.解：(1)∠C= 3∠B,∠C=75°，∴∠B=25°，∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.AD平分∠BAC, ∠BAD=号∠BAC=40,.∠ADE=∠BAD+∠B=65.:AE⊥BC,.∠AED= 90°，∠DAE=90°-∠ADE=90°-65°=25°：(2)设∠B=a,则∠C=3a,∠BAC= 180-∠B-∠C=180-4,“AD平分∠BAC,∠BAD=号∠BAC=90-2a, DF⊥AD,∴∠ADF=90°，∴∠AFD=90°-∠BAD=2a.·∠AFD=∠B+∠BDF ·∠BDF=a=∠B,.BF=DF,24解：(1)等腰三角形三线合一角平分线上的点 到角两边的距离相等(2)有.证明如下：：CA=CB,∠ACB=90°，∴.∠A=∠B=45°. OF⊥AC,OE⊥BC,.∠AMO=∠BNO=90°.O为AB的中点，∴.AO=BO.在 ∠AMO=∠BNO, △AMO和△BNO中， ∠A=∠B, .△AMO≌△BNO(AAS),.OM=ON. AO=BO, 25.解：(1)①34°②·△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=60°，.∠EAC=∠ACB ∠E=60°-∠E.:∠DAE=120°，.∠D=180°-∠DAE-∠E=60°-∠E,∠D= ∠EAC;(2):△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°，∴∠EBC+ ∠BEC=120°.∠APB=120°，∴.∠EBC+∠ADB=120°，∴.∠BEC=∠ADB.在 ∠ADB=∠BEC, △ABD和△BCE中，∠ABD=∠BCE,∴.△ABD≌△BCE(AAS),∴.AD=BE. AB=BC. 26.解：(1)AD=DE等边三角形(2)结论：AD=DE.证明如下：如图②， 第39页（共60页）第十四章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，若图中的两个三角形全等，则∠α等于 母 A.509 B.71 C.58 D.599 柔 50° a (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D 弥 下列结论错误的是 A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC 3.要测量河两岸相对的两点A,B的距离，先在AB的垂线BF上 取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在 同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC,所以ED= AB,因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的 理由是 ( A.SAS B.ASA C.SSS D.HL 封4.如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.下列结论不 正确的是 ( A.∠BAD=∠CAE B.△ABD≌△ACE C.AB=BC D.BD-CE E (第4题图) (第5题图) (第6题图) 线 5.如图，AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点，CE⊥AD, BF⊥AD.若CE=5,BF=3,EF=2,则AD的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，△AOB为等 腰直角三角形，∠AOB=90°，则点B的坐标为 ( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-3,2) D.(-1.5,3) 到 7.如图，已知四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平 分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,DE⊥AB于点 口 E,则四边形ABCD的面积是 A.24 B.30 C.36 D.42 第1页（共6页） 8.如图，在AB,AC上各取一点E,D,使AE=AD,连接BD,CE 相交于点O,再连接AO,BC.若∠1=∠2，则图中全等三角形 共有 ( ) A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 D (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M,与 CF相交于点D,AB与CF相交于N,∠E=∠F=90°，∠EAC ∠FAB,AE=AF.给出下列结论：①∠B=∠C;②CF=BM; ③BE=CF;④△ACN≌△ABM.其中，正确的结论是( A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④ 10.如图，在△ADE和△ABC中，AD=AB,DE=BC,EA=CA, 过A作AF⊥DE,垂足为F,过A作AH⊥BC,垂足为H,DE 交CB的延长线于点G,连接AG.四边形DGBA的面积为 12,AF=4,则FG的长是 ( ) A.2 B.2.5 10 .3 D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.已知△ABC≌△DEF,∠A=60°，∠F=50°，则∠B的度数是 12.如图，△ABD2△AEC,且AB=8,BD=7,AD=6,则BC的长 为 (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起，使AA',BB 可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A'B的 长等于内槽宽AB,那么判定△AOB≌△A'OB'的理由是 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半 径画弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心， 以大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点O,作射线AO交 BC于点D,若CD=3,P为AB上一动点，则PD的最小值为 15.一个三角形的三条边长分别为6,7，x,另一个三角形的三条 边长分别为y,6,4,若这两个三角形全等，则x十y= 第2页（共6页） 16.如图，AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC 于点E,且OE=1,则AB与CD之间的距离等于 (第16题图) (第17题图) (第18题图) 17.如图，AD是△ABC的中线，E,F分别是AD和AD延长线上 的点，且DE=DF,连接BF,CE.下列说法：①CE=BF; ②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE;④△BDF≌ △CDE.其中，正确的是 .(填序号) 18.如图，在△AOC,△AOB和△DOB中，AO=DO,CO=BO, AB=AC=DB,OC与BD交于点E,已知∠D=25°.若∠C= 15°，则∠BEC的度数为 三、解答题（共66分） 19.(6分)如图，已知AE⊥AB,△ACE≌△AFB,CE与AB,BF 分别交于点D,M.求证：CE⊥BF. 20.(6分)如图，点B,C,D在同一条直线上，BC=DE,点A和点 E在BD的同侧，∠ACE=∠B=∠D. (1)求证：△ABC≌△CDE; (2)若BC=2,AB=3,求BD的长度. 21.(8分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB,BE 平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE. (1)求证：△ABE≌△DBE; 第3页（共6页） (2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数. 22.(8分)学习完全等三角形相关知识后，数学兴趣小组同学就 “测量河两岸A,B两点间距离”这一问题，设计了如下方案。 课题 测量河两岸A,B两点间距离. 测量工具测量角度的仪器，皮尺等！ 测量方案 示意图 E D ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D,使得点 A,B,C在一条直线上，且CD=BC; 测量步骤 ②测得∠DCB=100°，∠ADC=65°； ③在CD的延长线上取点E,使得∠BEC=15°； ④测得DE的长度为30m. 请你根据以上方案求出A,B两点间的距离AB. 23.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB,点D 是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三角尺如图放置，使 三角尺斜边的两个端点分别与A,D重合，连接BE,EC. (1)求证：△ABE≌△DCE; (2)试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想. 第4页（共6页） 24.(8分)如图，在△ABC中， (1)下列选项中，作∠ABC的平分线的正确顺序是 (将序号按正确的顺序写在横线上) ①分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半径作圆 弧，在∠ABC内，两弧交于点P;②以点B为圆心，适当长 为半径作圆弧，交AB于点M,交BC于点N;③画射线 BP,交AC于点D (2)能说明∠ABD=∠CBD的依据是 ;(填序号) ①SSS ②ASA ③AAS ④角平分线上的点到角两边的距离相等 (3)若AB=18,BC=12,S△DBc=30,过点D作DE⊥AB于点 E,求S△DBA· 25.(10分)【实践主题】从数学角度探究钟摆运动过程中的规律. 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等. 【实践操作】在支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球， 小球可以自由摆动.如图①，点A表示小球静止时的位置.小 明将小球从OA摆到OB的位置，并向右推动小球，OC是小 球在摆动过程中某一瞬间的位置，且OB与OC恰好垂直，A, B,O,C在同一平面上. 【数学建模】如图②是小球摆动过程的示意图，OB⊥OC,过点 B作BD⊥OA于点D.过点C作CE⊥OA于点E. 【数据测量】BD=8cm,OA=17cm, 【问题解决】 (1)求证：∠COE=∠B; (2)求AE的长. 图① 图② 第5页（共6页） 26.(12分)【问题情境】在△ABC和△DEC中，AC=BC,DC= EC,∠ACB=∠DCE=90°. (1)【初步探究】如图①，当点A,C,D在同一条直线上时，连接 BD,AE,延长AE交BD于点F,则AE与BD之间有什 么关系？ (2)【类比探究】如图②，当点A,C,D不在同一条直线上时，连 接AE交DC于点H,连接BD交AE于点F,(1)中结论 是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图③，在(2)的条件下，连接CF并延长CF 交AD于点G,∠AFG的大小确定吗？若确定，求出 ∠AFG的度数；若不确定，请说明理由. G D 图① 图② 图③ 第6页（共6页）